第六章矩陣分析及其應用

第六章矩陣分析及其應用雖然在微積分開端時期貝克萊將無窮小稱為“上帝的幽靈”，進而導致“第二次數(shù)學危機”，直到柯西的“極限論”和戴德金等的“實數(shù)理論”的出現(xiàn)危機才算徹底解決。但微積分在近代社會的巨大作用我們早已深有體會，將微積分中的極限、導數(shù)、積分、級數(shù)等分析思想和方法應用于矩陣的研究，自然就在情理之中?！?、矩陣序列與矩陣級數(shù)

微積分的基礎是數(shù)列極限的收斂理論及其衍生出來的級數(shù)理論。矩陣可看成一個“超數(shù)”，因此類比可得矩陣序列與矩陣級數(shù)，只要找到度量兩個“超數(shù)”距離的適當工具。在矩陣里，這就是范數(shù)。盡管使用給定基下的分量和元素等也可以，但明顯用范數(shù)記號簡潔明晰，且有助于證明。一、矩陣序列的收斂性定義1

設有中的矩陣序列這里。如果，則稱此矩陣序列收斂，其極限為，記為根據(jù)矩陣序列收斂性的定義，可證明下列性質。定理2

中的矩陣序列分別收斂于，則定理3

中的矩陣系列分別收斂于，則定理4

中的矩陣序列收斂于，且所有

和都可逆，則注意定理中條件“所有和都可逆”必不可少，例如下面的不可逆，雖然可逆，且注意都是方陣用矩陣的范數(shù)理論來研究矩陣序列的收斂性是最常用、最簡潔的方法。特別地，若，則的充要條件是定理5

中的矩陣序列收斂于的充要條件是對任意一種矩陣范數(shù)，都有證明：所以由范數(shù)的等價性，對于上任意一個范數(shù)，必存在正常數(shù)，使由于向量是特殊的矩陣，因此我們有推論1

中的向量序列收斂于的充要條件是對任意一種向量范數(shù)，都有聯(lián)想到等比數(shù)列收斂當且僅當，類似地，我們有最常見的矩陣序列是方陣的冪構成的矩陣序列。定理6

中的矩陣是收斂矩陣，即的充要條件是矩陣的譜半徑小于1，即注意是方陣證明：設矩陣的Jordan分解為則從而由定理3可知，這里規(guī)定時，由于譜半徑不易計算，聯(lián)系到譜半徑不超過任何一種矩陣范數(shù)，實際常用范數(shù)來判斷矩陣是否是收斂矩陣。只有很難找到這樣的范數(shù)，才計算出矩陣的所有特征值，進而得到譜半徑。定理7

中的矩陣是收斂矩陣的充分條件是存在一種矩陣范數(shù)，使得二、矩陣級數(shù)定義8

設有中的矩陣序列，矩陣級數(shù)指的是無窮和稱矩陣級數(shù)收斂，且其和為，如果其部分和序列收斂于，即這是因為顯然，矩陣級數(shù)收斂時其通項收斂于，即這個結果與數(shù)項級數(shù)一致。定義9

中的矩陣級數(shù)稱為絕對收斂的，如果數(shù)項級數(shù)都絕對收斂。這里定理10

中的矩陣級數(shù)絕對收斂的充要條件是正項級數(shù)收斂，這里的矩陣范數(shù)是任意的。同數(shù)項級數(shù)相吻合的是，判定矩陣級數(shù)是否絕對收斂可借助范數(shù)理論轉化為判定正項級數(shù)的斂散性。證明：必要性。從而若級數(shù)絕對收斂，則都收斂，故所以正項級數(shù)收斂。根據(jù)范數(shù)的等價性，對任意矩陣范數(shù)，正項級數(shù)收斂。證明：充分性。若級數(shù)收斂，則正項級數(shù)

也收斂，故所以都收斂，即絕對收斂，因此矩陣級數(shù)絕對收斂。定義11

中的矩陣級數(shù)稱為矩陣的冪級數(shù)。這里.

由前可知矩陣的冪級數(shù)是實變量的冪級數(shù)以及復變量的冪級數(shù)的推廣，因此討論矩陣冪級數(shù)的收斂性問題自然就與復變量的冪級數(shù)的收斂半徑聯(lián)系起來。注意是方陣定理12

設冪級數(shù)的收斂半徑為，則當時冪級數(shù)收斂；當時冪級數(shù)發(fā)散。證明：設矩陣的Jordan分解為則從而其中這里規(guī)定時，絕對收斂，故矩陣冪級數(shù)絕對收斂。則當時冪級數(shù)當時矩陣必有某個特征值，從而冪級數(shù)發(fā)散，因此矩陣冪級數(shù)發(fā)散。絕對收斂，故矩陣冪級數(shù)絕對收斂。最后討論最特殊的諾伊曼(Neumann)級數(shù),即冪級數(shù)的收斂半徑是，并且收斂于所以我們通過類比可以得到定理13

上的諾伊曼(Neumann)級數(shù)收斂的充要條件是。并且諾伊曼(Neumann)級數(shù)收斂于定理14

對上滿足的相容矩陣范數(shù)，如果，則有誤差估計式定理14的證明需要用到上一節(jié)的定理34，即：定理34

對，若，則矩陣非奇異，且證明：所以Neumann級數(shù)收斂。則由于，由題知兩邊取范數(shù)，并利用引理6，得例15判斷方陣冪級數(shù)收斂，并求其和。解：方陣

的譜半徑滿足所以方陣冪級數(shù)收斂，并且§4、函數(shù)矩陣及矩陣從函數(shù)的眼光看，特征多項式和矩陣序列涉及的都是特殊的函數(shù)矩陣，即元素是函數(shù)的矩陣，這就自然引出對矩陣的研究，并進而發(fā)現(xiàn)它能夠簡化Jordan標準型的繁雜計算。一、函數(shù)矩陣定義1稱矩陣為函數(shù)矩陣，也稱為矩陣值函數(shù)，其中元素

為數(shù)域上關于實數(shù)的函數(shù)。特別地，當時是一個函數(shù)行向量；當時是一個函數(shù)列向量。兩者統(tǒng)稱向量值函數(shù)。

（3）矩陣值函數(shù)：初等變換，相似變換，矩陣多項式，矩陣指數(shù)函數(shù)，求特征值，求主元列，等定義域是矩陣或向量，值域也是矩陣或向量函數(shù)與矩陣

（2）標量函數(shù)：行列式，秩，二次型，跡，范數(shù)等定義域是矩陣或向量，值域是數(shù)集；

（1）函數(shù)矩陣：梯度，矩陣等定義域是數(shù)集，值域是矩陣或向量：定義2稱階函數(shù)矩陣是可逆的，如果有并稱為的逆矩陣。反之亦然。

視函數(shù)為“數(shù)”，則函數(shù)矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉置與常數(shù)矩陣的相應運算相同；方函數(shù)矩陣的行列式計算與常數(shù)矩陣也相同。定義3稱階函數(shù)矩陣在上是可逆的，當且僅當在上處處不為零，且這里為的伴隨矩陣。在上是可逆的，但在上卻不是可逆的。定義4

設有函數(shù)矩陣。如果函數(shù)在都有極限，則稱函數(shù)矩陣在有極限，記為如果，則稱函數(shù)矩陣在連續(xù)。

顯然函數(shù)矩陣求極限的加減法、數(shù)乘、乘法等運算法則與函數(shù)極限的相應運算法則相同。定義5

設有函數(shù)矩陣。稱矩陣

可導，如果其每個元素都是可微函數(shù)，且導數(shù)為定義6

設有函數(shù)矩陣。稱矩陣的導數(shù)為滿足下式的矩陣：聯(lián)想到普通函數(shù)的導數(shù)也滿足下式：定理7

設和都是可微矩陣，則這里為可微矩陣。遺憾的是，鏈氏法則對矩陣值函數(shù)并不成立。例如對矩陣多項式函數(shù)顯然上式中，要使法則成立，顯然需要補充條件如此，對多項式函數(shù)，才能成立鏈式法則定義8

設有函數(shù)矩陣。稱矩陣二階可微，如果其每個元素都是二階可微函數(shù)，且二階導數(shù)為一般地，不難給出函數(shù)矩陣的高階導數(shù)。例9

設矩陣，證明因為矩陣的跡是線性函數(shù)，即例13說明對函數(shù)矩陣A(t)而言，求導和A(t)的線性函數(shù)l(A(t))可以交換運算次序，即定義10

設有函數(shù)矩陣。稱在上可積，如果其每個元素都在上可積，且積分為容易驗證函數(shù)矩陣的積分具有下列性質：這里為常量矩陣。定理11

設和都在上可積，則定理12

設在上連續(xù)，則成立微積分基本定理：定理13

設在上連續(xù)，則成立牛頓-萊布尼茲公式：二、矩陣及其標準型定義14稱函數(shù)矩陣為矩陣，如果元素為數(shù)域上關于的多項式函數(shù)。定理15矩陣可逆的充要條件是其行列式為非零的常數(shù)，即定義16如果矩陣經過有限次的初等變換化成矩陣，則稱矩陣與等價，記為定理17矩陣與等價的充要條件是存在可逆矩陣，使得定理18任意階的矩陣都必定有一個與之等價的Smith標準型這里數(shù)稱為的秩，記為，非零對角元是首一（首項系數(shù)為1）多項式，并且定義19矩陣的Smith標準型中的非零對角元

稱為的不變因子。例20

求矩陣的Smith標準型，其中解：對矩陣進行初等變換，可得不滿足整除條件！即為所求的Smith標準型。定義21矩陣的所有非零階子式的首一（最高次項系數(shù)為1）最大公因式

稱為的階行列式因子。定理22等價矩陣具有相同的秩和相同的各級行列式因子。定理23

矩陣的Smith標準型是唯一的，并且定理23說明我們可以用行列式因子來確定不變因子，從而得到唯一的Smith標準型。但行列式因子的計算復雜，所以通過初等變換求Smith標準型顯然“勝出”。在線性代數(shù)中處理數(shù)字矩陣時也是如此。定理24矩陣與等價的充要條件是它們有相同的行列式因子（或相同的不變因子）。定義25

將矩陣的所有非常數(shù)不變因子分解為互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為的初等因子。例如例20中的不變因子為因此的初等因子為例26

矩陣的不變因子為則矩陣的所有初等因子為如果知道矩陣的所有初等因子，能否確定相應的不變因子呢？等價矩陣的初等因子是否相同呢？下面的兩個矩陣的初等因子相同，但不變因子不相同，也不是等價矩陣，因為它們的秩不相等：定理27矩陣與等價的充要條件是它們有相同的初等因子，并且秩相等。例28

求矩陣的Smith標準型，其中解：對矩陣進行初等變換，可得即為所求的Smith標準型。例28中的不變因子為因此的初等因子為反之，如果還知道的秩為3，則可知的三個不變因子，進而可確定的Smith標準型，因此也可唯一確定相應的Jordan塊，即：總結等價不變因子或行列式因子相同初等因子相同秩相同三、Smith標準型的應用定理29兩個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們的特征矩陣等價。定義30稱階數(shù)字矩陣的特征矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子為矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子。定理31兩個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子）。不變因子或行列式因子相同初等因子相同

與等價

與相似

與的秩都為定理32復數(shù)域上兩個數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的初等因子。由定理32和例28可知，初等因子與階Jordan塊存在一一對應關系。因此可利用特征矩陣的初等因子求矩陣的Jordan標準型。例33

求矩陣的Jordan標準型，其中解：對矩陣進行初等變換，可得因此的初等因子為從而所求Jordan標準型為初等因子法的優(yōu)缺點都是不能求出Jordan變換矩陣。

那么的最小多項式為定理34矩陣的最小多項式是矩陣的第個不變因子，也就是說，如果有

這里為的Jordan標準型中包含的最大Jordan塊的階數(shù)，即的指標。例35

求矩陣的最小多項式，其中并求矩陣的矩陣多項式解：對矩陣進行初等變換，可得因此的最小多項式為由于因此定理36矩陣可對角化的充要條件是的最小多項式沒有重根。例37

證明冪等矩陣一定相似于對角矩陣。證明：由于，因此是的零化多項式。由于沒有重根，因此也沒有重根。根據(jù)定理36，結論成立?！?、矩陣函數(shù)及其計算矩陣函數(shù)在力學、控制理論及信號處理等學科中具有重要應用。類比普通函數(shù)，矩陣函數(shù)的特殊之處在于其自變量與因變量都是方陣。對應于矩陣函數(shù)的多種表示方式(冪級數(shù)、Jordan表示、多項式表示、積分表示等)，定義矩陣函數(shù)的方式也很多。一、矩陣函數(shù)的定義及性質定義1

設一元函數(shù)可展開為收斂半徑為的冪級數(shù)，即而矩陣的譜半徑，則矩陣函數(shù)

即為相應的矩陣冪級數(shù)(收斂時)的和，即在高等數(shù)學和復變函數(shù)中，有冪級數(shù)展開式：相應地，我們有矩陣函數(shù)：以及含參矩陣函數(shù)：根據(jù)歐拉公式，可以推出：遺憾的是，指數(shù)運算規(guī)則一般不成立：例如，令有則可以驗證確實兩兩不等。那么什么條件下指數(shù)運算規(guī)則成立呢？定理2

如果，那么證明：而推論

設，則二、矩陣函數(shù)的計算由矩陣函數(shù)的定義，矩陣函數(shù)的計算轉化為矩陣冪級數(shù)和的計算，主要就是矩陣冪的計算。首先聯(lián)想到矩陣的對角化問題，即希望利用特征值分解來計算矩陣函數(shù)。由于對角矩陣的對角元就是矩陣的特征值，而相似矩陣就是相應的特征向量構成的矩陣。這樣對任意矩陣，則可以使用Jordan分解。這兩種方法的計算都比較復雜，因此最后我們給出待定系數(shù)法。Jordan分解法計算原理

設任意矩陣的Jordan分解為則對于任意復系數(shù)多項式，有其中特別地，當矩陣

可對角化時，我們有下面的特征值分解法。特征值分解法計算原理

設可對角化矩陣的特征值分解為則有例3

求矩陣函數(shù)、和，其中解：求得的Jordan分解為其中當時，則當時%exm612.mA=[-110;-430;102];

expm(A)%調用expm函數(shù)

%expmusesthePadéapproximationwithscaling

%andsquaring.ans=-2.71832.71830-10.87318.154800.76581.95257.3891%exm612.m（續(xù)）A=[-110;-430;102];

symst%聲明符號變量t

eAt=expm(A*t)；

eAt=simple(eAt)%簡化矩陣函數(shù)的結果eAt=

[-exp(t)*(2*t-1),t*exp(t),0][-4*t*exp(t),exp(t)*(2*t+1),0][exp(t)*(2*t-exp(t)+1),-exp(t)*(t-exp(t)+1),exp(2*t)]當時%exm612.m（續(xù)）A=[-110;-430;102];

symst%聲明符號變量t

sinAt=sin(A*t)%內置函數(shù)sin(A)給出錯誤結果sinAt=

[-sin(t),sin(t),0][-sin(4*t),sin(3*t),0][sin(t),0,sin(2*t)]%exm612.m（續(xù)）A=[-110;-430;102];sinAt=(expm(j*A*t)-expm((-1)*j*A*t))/(2*j)

%利用Euler公式，調用函數(shù)expmsinAt=simple(sinAt)%簡化矩陣函數(shù)的結果sinAt=

[sin(t)-2*t*cos(t),t*cos(t),0][-4*t*cos(t),sin(t)+2*t*cos(t),0][sin(t)-2*cos(t)*sin(t)+2*t*cos(t),2*cos(t)*sin(t)-sin(t)-t*cos(t),sin(2*t)]例4

求矩陣函數(shù)和，其中解：

矩陣的特征值為

對應的特征向量為

對應的特征向量為

因此相似矩陣為

從而%exm613.mA=[460;-3-50;-3-61];

symst%聲明符號變量t

eAt=expm(A*t)；

eAt=simple(eAt)%簡化矩陣函數(shù)的結果eAt=

[2*exp(t)-1/exp(2*t),2*exp(t)-2/exp(2*t),0][1/exp(2*t)-exp(t),2/exp(2*t)-exp(t),0][1/exp(2*t)-exp(t),2/exp(2*t)-2*exp(t),exp(t)]%exm613.m（續(xù)）A=[460;-3-50;-3-61];cosA=(expm(j*A)+expm((-1)*j*A))/2

%利用Euler公式，調用函數(shù)expmcosA=1.49681.91290-0.9564-1.37260-0.9564-1.91290.5403%ex613.m（續(xù)）

A=[460;-3-50;-3-61];

[P,D]=eig(A);cosA=P*((expm1(j*D)+expm1((-1)*j*D))/2)*inv(P)+eye(size(A))%函數(shù)expm1返回e(x)^-1cosA=1.49681.91290-0.9564-1.37260-0.9564-1.91290.5403利用冪級數(shù)求矩陣函數(shù)，要求相應的函數(shù)必須能夠展開成收斂的冪級數(shù)，這個條件一般不容易滿足。而根據(jù)特征值分解法，我們可以根據(jù)矩陣的譜即矩陣的特征值的集合來定義矩陣函數(shù)，這樣就拓寬了矩陣函數(shù)的定義范圍，尤其是對那些不能展開成收斂的冪級數(shù)的函數(shù)也可以定義出相應的矩陣函數(shù)。

一般地，如果矩陣的最小多項式為則對于任意復值函數(shù)，只要有意義，我們就說函數(shù)在矩陣的譜上有定義。則定義任意復值函數(shù)的矩陣函數(shù)為定義5

設復值函數(shù)在矩陣的譜上有定義，矩陣有Jordan分解其中例6

求矩陣函數(shù)和，其中解：求得的Jordan分解為其中顯然和在都有意義，因此和都有意義。%exm613.m（續(xù)）A=[-110;-430;102];lnA=logm(A)

%函數(shù)logm(A)返回lnAlnA=-2.00001.0000-0.0000-4.00002.000001.3069-0.30690.6931%exm613.m（續(xù)）A=[-110;-430;102];sqrtA=sqrtm(A）sqrtA=-0.00000.5000-0.0000-2.00002.00000.00000.5858-0.08581.4142需要指出的是，計算相應的矩陣函數(shù)時，涉及到的算法主要分為特征值方法（特征值分解、Jordan分解、Schur分解等）和逼近方法（泰勒逼近、pade逼近等）?？紤]到計算復雜性及穩(wěn)定性，具體實現(xiàn)時前一類方法實際采用的是Schur分解法（例如matlab中的logm函數(shù)），后一類方法實際則采是Pade逼近法（例如matlab中的expm函數(shù)）。詳見Golub&VanLoan《矩陣計算》、Matlab幫助文檔和徐樹方《控制論中的矩陣計算》。在定義5中，矩陣函數(shù)只與函數(shù)在上的值有關，這啟發(fā)我們，如果能夠求出一個盡可能簡單的函數(shù)（比如復系數(shù)多項式），使得兩者在上等值，那么便有。這就是著名的Hermite多項式插值問題。則存在唯一的復值多項式函數(shù)，使得定理7

設復值函數(shù)在矩陣的譜上有定義，矩陣有最小多項式以及待定系數(shù)法計算原理

設矩陣的特征多項式為由帶余除法，設有確定出余式再根據(jù)Cayley-Hamilton定理，有從而則可由例8

求矩陣函數(shù)，其中

矩陣的特征多項式為

因此設則

解得因此

注意到此例中因此

即矩陣的高次冪都可以轉化為低次冪，因此

從而矩陣冪級數(shù)求和問題轉化為數(shù)項級數(shù)求和。遞推公式法計算原理

由矩陣的特征多項式或最小多項式得到矩陣的遞推關系式，代入矩陣函數(shù)的矩陣冪級數(shù)定義形式中，從而將矩陣函數(shù)的計算轉化為數(shù)項級數(shù)求和問題。顯然這種方法適用于遞推關系式不太復雜的情形。例9

設4階矩陣的特征值為，

求解：由題的特征多項式為因此從而從而§4、矩陣的微分與積分實際使用時，矩陣函數(shù)與函數(shù)矩陣的微分、積分常常同時出現(xiàn)。研究矩陣函數(shù)和函數(shù)矩陣的微分、積分，這對研究微分方程組以及優(yōu)化問題等都非常重要。其中尤為重要的是梯度分析的方法，張賢達在《矩陣分析及應用》中將之列為矩陣分析的五大分析方法之首，并有詳細介紹。定義1

設有矩陣函數(shù)，其中為常數(shù)矩陣。則是關于參數(shù)的函數(shù)矩陣，其導數(shù)（如果存在的話）為其積分可參照函數(shù)矩陣的積分。一、含參矩陣函數(shù)的微分和積分例1矩陣為任意常量方陣，則例2

已知

(1)求矩陣;(2)求。注意到時，，因此解：（1）兩邊對求導，得解：（2）各元素分別對求定積分，得%exm614.m

symst%函數(shù)矩陣SS=[sin(2*t)+3*sin(t)5*sin(2*t)-sin(t);3*sin(2*t)-sin(t)5*sin(2*t)+sin(t)];DS=diff(S,‘t‘)%調用內置函數(shù)diff求S對t的導數(shù)DS=

[2*cos(2*t)+3*cos(t),10*cos(2*t)-cos(t)][6*cos(2*t)-cos(t),10*cos(2*t)+cos(t)]%exm614.m（續(xù)）

symst%函數(shù)矩陣SS=[sin(2*t)+3*sin(t)5*sin(2*t)-sin(t);3*sin(2*t)-sin(t)5*sin(2*t)+sin(t)];symsab%聲明符號變量a，bIS=int(S，‘t’，a,b)%調用內置函數(shù)int對S從a到b求定積分IS=

[(cos(a)-cos(b))*(cos(a)+cos(b)+3),(cos(a)-cos(b))*(5*cos(a)+5*cos(b)-1)][(cos(a)-cos(b))*(3*cos(a)+3*cos(b)-1),(cos(a)-cos(b))*(5*cos(a)+5*cos(b)+1)]二、函數(shù)對向量的微分定義3

設有多元函數(shù)。定義函數(shù)對的微分(即梯度)為向量顯然，梯度的各分量給出了標量函數(shù)在該分量上的變化率，從而指出了此函數(shù)的最大增長率。例4

對雙線性型有特別地，有

對二次型，有特別地，當對稱時，有有例5當對稱時，對二次泛函因此求二次泛函的極值問題轉化為求方程組的解，即二次泛函的穩(wěn)定(Stationary)點是可能的極值點。%exm615.msymsx1x2abcdx=[x1;x2],y=[y1;y2]z=[y1y2];%引入z的目的是簡化結果，同理引入ATA=[ab;cd];AT=[ac;bd];f=z*A*x;

%線性型fR1=jacobian(f,x)%調用內置函數(shù)jacobian求f對x的導數(shù)AT*yR1=[a*y1+c*y2,b*y1+d*y2]

ans=a*y1+c*y2b*y1+d*y2理論結果是列向量，但顯示為行向量%exm615.m（續(xù)）symsx1x2abcdx=[x1;x2],y=[y1;y2]z=[y1y2];%引入z的目的是簡化結果，同理引入ATA=[ab;cd];AT=[ac;bd]f=z*A*x;

%線性型fR2=jacobian(f,y)%調用內置函數(shù)jacobian求f對y’的導數(shù)A*xR2=[a*x1+b*x2,c*x1+d*x2]

ans=a*x1+b*x2c*x1+d*x2理論結果是列向量，但顯示為行向量%exm615.m（續(xù)）symsx1x2abcdx=[x1;x2]；z=[x1x2];%引入z的目的是簡化結果，同理引入ATA=[ab;cd];AT=[ac;bd]f=z*A*x;%二次型fR3=jacobian(f,x)%調用內置函數(shù)jacobian求f對x的導數(shù)(A+AT)*xR3=[2*a*x1+b*x2+c*x2,b*x1+c*x1+2*d*x2]

ans=2*a*x1+x2*(b+c)2*d*x2+x1*(b+c)理論結果是列向量，但顯示為行向量定義6

設有多元函數(shù)。定義函數(shù)對的微分(即行梯度)為行向量定義7行向量值函數(shù)

對列向量的微分為Jacobi矩陣（行對列）將梯度推廣到向量值函數(shù)，我們有定義8列向量值函數(shù)

對行向量的微分為Jacobi矩陣（列對行）特別地，當時，有Jacobi行列式例9

對，有例10

對，有都是行對列例11

推廣例4的結論。對有例12

鏈式法則例13

（二重積分的坐標變換）直角坐標系下的二重積分變成了相應的極坐標下的二重積分經過變換定義14

多元函數(shù)對列向量的二階微分為Hessian矩陣其Hessian矩陣為例15當對稱時，對二次泛函如果矩陣還是正定的，并且存在，使得，則由可知是二次泛函的局部極小點。%exm616.msymsx1x2abcdx=[x1;x2],z=[x1x2];%引入z的目的是簡化結果R1=jacobian(z,x)%調用內置函數(shù)jacobian求x’對x的導數(shù)A=[ab;cd];R2=jacobian(z*A,x)%調用內置函數(shù)jacobian求x’A對x的導數(shù)R1=[1,0][0,1]R2=[a,c][b,d]都是行向量對列向量，返回的是Jacobi矩陣%exm616.m（續(xù)）symsx1x2abcdb1b2x=[x1;x2];z=[x1x2];

A=[ab;bd];%A是對稱矩陣B=[b1;b2],BT=[b1b2];f=(1/2)*z*A*x-BT*x+c%二次泛函fR3=jacobian(f,x)%R3是列向量%列向量對行向量，這里返回的Jacobi矩陣是二次泛%函的Hessian矩陣，即對稱矩陣AH=jacobian(R3,z)R3=[a*x1-b1+b*x2,b*x1-b2+d*x2]H=[a,b][b,d]實際應用中經常要考慮諸如矩陣的跡、矩陣的行列式等矩陣標量函數(shù)與矩陣元素值變化之間的關系，比如擾動分析中某個矩陣元素值的變化對矩陣的跡的影響等。矩陣標量函數(shù)顯然可理解為元的函數(shù)，即因此有必要將梯度推廣到矩陣標量函數(shù)。三、矩陣標量函數(shù)對矩陣的微分定義16

設有矩陣標量函數(shù)。函數(shù)對的微分為梯度矩陣例18

對雙線性型有例17

對矩陣的跡有因此例19

對矩陣乘積的跡有四、矩陣對矩陣的微分定義20

設矩陣值函數(shù)

的元素都是矩陣標量函數(shù)。矩陣函數(shù)對的微分指的是矩陣其中例21

已知，設，求解：因為所以%exm617.msymsx1x2a11a12a21a22x=[x1;x2];y=[y1;y2];z=[x1x2];w=[y1y2];A1=[a11a12;a21a22];f=z*A1*y%線性型fR1=jacobian(f,A1)%調用內置函數(shù)jacobian求f對A1的導數(shù)x*wR1=[x1*y1,x2*y1,x1*y2,x2*y2]

ans=[x1*y1,x1*y2][x2*y1,x2*y2]理論結果是矩陣，但按列排序方式顯示為行向量%exm617.m（續(xù)）symsa11a12a21a22a13a23symsb1b2b3A1=[a11a12;a21a22];A2=[a13;a23];A=[A1A2];b=[b1;b2;b3];B=A*b%調用內置函數(shù)jacobian求Ab對矩陣A1的導數(shù)R2=jacobian(B,A1))%調用內置函數(shù)jacobian求Ab對列向量A2的導數(shù)R3=jacobian(B,A2)R4=jacobian(B,A)R2=[b1,0,b2,0][0,b1,0,b2]

R3=[b3,0][0,b3]

R4=[b1,0,b2,0,b3,0,b4,0][0,b1,0,b2,0,b3,0,b4]理論結果是：R2=R3=[b1,b2][b3][0,0][0][0,0][0][b1,b2][b3]

R4=[b1,b2,b3,b4][0,0,0,0][0,0,0,0][b1,b2,b3,b4]輸出結果是：§5、矩陣函數(shù)的應用矩陣函數(shù)經常與函數(shù)矩陣（包括向量值函數(shù)及矩陣）聯(lián)系在一起。利用分析學的理論，可以將非線性問題近似成線性問題。事實上，用“線性化”處理非線性問題是一種重要的思維方式，比如控制中的線性系統(tǒng)理論，其中最典型的就是線性微分方程組在線性系統(tǒng)中的應用。一、線性常系數(shù)齊次微分方程組線性常系數(shù)齊次微分方程的通解為將推廣到向量，將系數(shù)推廣到對角矩陣以及塊對角矩陣，結論仍然成立嗎？此時有對于任意系數(shù)矩陣，注意到Jordan分解令，則方程組的最簡解耦為因此從而定理1

線性常系數(shù)齊次微分方程組的通解為這里，是常數(shù)矩陣，證明

由于兩邊積分得因此例2

求線性常系數(shù)齊次微分方程組在下列初始條件下的解：解：方程組的矩陣形式為這里根據(jù)定理1，其解為矩陣的Jordan分解為，這里這時因此所求微分方程組的解為二、線性常系數(shù)非齊次微分方程組線性常系數(shù)非齊次微分方程的通解為將推廣到向量，將系數(shù)推廣到任意矩陣，結論仍然成立嗎？定理3

線性常系數(shù)非齊次微分方程組的通解為這里，其他與定理1相同。兩邊積分得即證明

用乘方程兩邊，并整理得再用乘方程兩邊，并整理即得結果。例4

求線性常系數(shù)非齊次微分方程組滿足初始條件的解，這里解：矩陣的Jordan分解為，這里因此因此所求微分方程組的解為%exm619.mA=[-110;-430;102];

symst%聲明符號變量t

eAt=expm(A*t)；

eAt=simple(eAt)%簡化矩陣函數(shù)的結果

x0=[113]’;

xh=S*x0xh=simple(xh)xh=-exp(t)*(t-1)-exp(t)*(2*t-1)exp(t)*(t+3*exp(t))%exm619.m(續(xù))symssf=[exp(t);exp(t);exp(4*t)]%自由項fg=[exp(s);exp(s);exp(4*s)]T=simple(expm(-A*s));%e^(-As)h=simple(T*g)%e^(-As)f(s)xp0=int(h,0,t)%從0到t求e^(-As)f(s)的積分xp=eAt*int(h,0,t);%非齊次的特解xpxp=simple(xp)x=xh+xp;%非齊次的通解xx=simple(x)h=s+12*s+1exp(2*s)–sxp=-(t*exp(t)*(t-2))/2-t*exp(t)*(t-1)(exp(t)*(exp(3*t)-exp(t)+t^2))/2x=-(exp(t)*(t^2-2))/2-exp(t)*(t^2+t-1)(exp(t)*(2*t+exp(3*t)+5*exp(t)+t^2))/2%exm619.m（續(xù)）

用dsolve求解符號微分方程組symstx1x2x3%聲明符號變量[x1,x2,x3]=dsolve('Dx1=-1*x1+x2','Dx2=-4*x1+3*x2',...'Dx3=x1+2*x3','x1(0)=1','x2(0)=1','x3(0)=3')%...是續(xù)行符xh=[x1;x2;x3]%齊次的通解xhxh=-exp(t)*(t-1)-exp(t)*(2*t-1)exp(t)*(t+3*exp(t))%exm619.m（續(xù)）

用dsolve求解符號微分方程組symstx1x2x3%聲明符號變量[x1,x2,x3]=dsolve('Dx1=-1*x1+x2+exp(t)',...'Dx2=-4*x1+3*x2+exp(t)',...'Dx3=x1+2*x3+exp(4*t)',...

'x1(0)=1','x2(0)=1','x3(0)=3‘)%...是續(xù)行符x=[x1;x2;x3]%非齊次的通解xx=-(exp(t)*(t^2-2))/2-exp(t)*(t^2+t-1)(exp(t)*(2*t+exp(3*t)+5*exp(t)+t^2))/2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其通解為三、應用：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣這里第一項(零輸入響應)是由初始狀態(tài)引起的系統(tǒng)自由運動，第二項(零狀態(tài)響應)是由控制輸入所產生的受控運動。由于變換矩陣起著一種狀態(tài)轉移的作用，稱為狀態(tài)轉移矩陣。顯然它表征了從初始狀態(tài)到當前狀態(tài)的轉移關系。而且從本質上看，無論是初始狀態(tài)引起的運動（第一項），還是由輸入引起的運動（第二項），都是一種狀態(tài)轉移，都可用狀態(tài)轉移矩陣來表示。實際上根據(jù)定義可以證明，狀態(tài)轉移矩陣滿足以及這與下列關系顯然吻合：四、矩陣微分方程很容易驗證，矩陣微分方程的解為這里是未知函數(shù)矩陣。而且，可以成立Jacobi恒等式：因此，當為非奇異矩陣時，方程的解都是非奇異的。特別地，當時，方程的解稱為的基本解矩陣。Jacobi恒等式的證明：注意到這說明方程的解都可以用基本解矩陣來表示，即令