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文檔簡介
迭代法第三節(jié)一、迭代格式
二迭代法的收斂性
一、迭代格式
是(逐次超松弛)的縮寫。迭代法是解大型稀疏矩陣方程組的有效方法之一。它可以看作是迭代法的加迭代法是迭代的一種特殊形式。速,將方程組寫成其迭代格式可寫為:
則有若記
則式可寫為由此可以看出,迭代法的第一個修正量。現(xiàn)在,為了獲得更快的收斂步,相當(dāng)于在第步的基礎(chǔ)上每一個分量增加效果,在修正項的前面乘以一個參數(shù),便得到逐次超松弛迭代格式稱為松弛因子,稱的迭代過程為低松弛方法,對于一些方程組,用迭代法得不到收斂解或不收斂,但用低松弛方法卻是收斂的。稱的迭代過程為超松弛方法,此法可以加速迭代方法的收斂。的迭代過程就是迭代公式。
由迭代格式(3.3)有格式(3.4)的矩陣形式為
SOR迭代法常以這種形式進(jìn)行計算。
即有其中
顯然,
二迭代法的收斂性
由式有
即于是有記則有其中,稱為迭代矩陣。
由定理1及定理2直接得知:(2)迭代法收斂的充分條件是。(1)迭代法收斂的充要條件是。子有關(guān)。關(guān)于的范圍,有如下定理。
迭代法收斂與否或收斂快慢都與松弛因因子應(yīng)滿足條件。定理6迭代法收斂的必要條件是松弛證明因法收斂,故。記的特征值為。因為n階矩陣的n個特征值之積等于其行列式之值,即
而從而另一方面由關(guān)系式:有上述定理說明,對于任何系數(shù)矩陣,若要陣來說,這一條件是充分的。陣來說,法都是收斂的。但是,對一些特殊矩弛因子滿足條件時,并不是對所有系數(shù)矩法收斂,必須選取松弛因子,然而,當(dāng)松因此有,或者,即。定理證完。即這一定理說明,對于對稱正定矩陣,只要,迭代法總是收斂的。用法計算方程組時,選取合適的松弛因子很重要,松弛因子選取得好,可能使得收斂速度大大加快,下面舉例來說明松弛因子的選取對收斂速度的影響。
定理7如果矩陣是對稱正定的,則法對于是收斂的。
設(shè)給定方程組
用法進(jìn)行迭代,取不同的松弛因子,收斂速度不同,見下表
ω0.60.811.11.151.251.31.51.8迭代次數(shù)161087811151515近似解與準(zhǔn)確解重復(fù)合位數(shù)555555541
使法收斂最快的松弛因子通常稱為最優(yōu)松弛因子。目前,只有少數(shù)特殊類型的矩陣,才有確定的最優(yōu)松弛因子的理論公式,但實際使用時也有一定困難。通常的辦法,是選不同的進(jìn)行試算,以確定最佳的近似值,或者先取一個,然后根據(jù)迭代過程的收斂快慢,不斷修正,
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