第五章補(bǔ)充檢查與控制工程基礎(chǔ)

自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們知道，自動(dòng)控制理論是研究自動(dòng)控制系統(tǒng)三方面性能的基本理論。

設(shè)控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)輸入輸出加上輸入信號(hào)tr(t)0tc(t)0求出輸出響應(yīng)根據(jù)輸出響應(yīng)即可分析系統(tǒng)的性能。

怎樣根據(jù)輸入信號(hào)求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)？

如果知道控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就可求出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。

分析系統(tǒng)性能的第一步就是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，這是第二章的主要內(nèi)容。數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型反映了系統(tǒng)各變量之間的關(guān)系。常用的數(shù)學(xué)模型：(2)微分方程(3)傳遞函數(shù)(4)頻率特性(1)代數(shù)方程(5)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

其中微分方程是最基本的，其它可以通過(guò)微分方程求得。建立微分方程的方法：(1)解析法(2)實(shí)驗(yàn)法第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程一、建立微分方程的一般步驟二、常見(jiàn)環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的微分方程的建立三、線性微分方程式的求解上一目錄第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程（1）

確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量一、建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟

系統(tǒng)通常由一些環(huán)節(jié)連接而成，將系統(tǒng)中的每個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程求出來(lái)，便可求出整個(gè)系統(tǒng)的微分方程。列寫(xiě)系統(tǒng)微分方程的一般步驟：

根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律，分別列寫(xiě)出相應(yīng)的微分方程組。（2）

建立初始微分方程組

將與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在方程式等號(hào)右邊，與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在等號(hào)的左邊。（3）消除中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化

下面舉例說(shuō)明常用環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的微分方程的建立ucur二、常見(jiàn)環(huán)節(jié)和系統(tǒng)微分方程的建立1．RC電路+-ucur+-CiR輸入量：輸出量：第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程(1)確定輸入量和輸出量(2)建立初始微分方程組(3)消除中間變量，使式子標(biāo)準(zhǔn)化ur=Ri+uci=Cducdt根據(jù)基爾霍夫定律得：

微分方程中只能留下輸入、輸出變量，及系統(tǒng)的一些常數(shù)。RCducdt+uc=urRC電路是一階常系數(shù)線性微分方程。2．機(jī)械位移系統(tǒng)系統(tǒng)組成：質(zhì)量彈簧阻尼器輸入量彈簧系數(shù)km阻尼系數(shù)fF(t)輸出量y(t)(2)初始微分方程組F=ma根據(jù)牛頓第二定律第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)工作過(guò)程：(1)確定輸入和輸出F(t)–FB(t)–FK(t)=ma中間變量關(guān)系式:FB(t)=fdy(t)dtFK(t)=ky(t)a=d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ky(t)=F(t)+消除中間變量得:3．他激直流電動(dòng)機(jī)Ud系統(tǒng)組成：直流電機(jī)負(fù)載輸入:電樞電壓勵(lì)磁電流If電磁轉(zhuǎn)矩Te負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL摩擦轉(zhuǎn)矩Tf工作原理：

電樞電壓作用下產(chǎn)生電樞電流，從而產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩使電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng).輸出:電動(dòng)機(jī)速度n第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程根據(jù)基爾霍夫定律有

電動(dòng)機(jī)的電路等效圖:eb+-udLaidRadiddtud=Rdid+Ld+ebeb=CenCe—反電勢(shì)系數(shù)反電勢(shì)根據(jù)機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程式dndtTe-TL–Tf=GD2375Te=CmidCm—轉(zhuǎn)矩系數(shù)GD2—飛輪慣量為了簡(jiǎn)化方程，設(shè)TL=Tf=0id=GD2375Cmdndt.+n=+GD2Ra375CmCedndtGD2375d2ndt2CmCeRaLaRaudCe定義機(jī)電時(shí)間常數(shù)：GD2Ra375CmCeTm=電磁時(shí)間常數(shù)：LaRaTa=電動(dòng)機(jī)的微分方程式為：+n=d2ndt2TmTa+TmdndtudCe第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程4．液位系統(tǒng)第一章里已經(jīng)介紹了工作原理：其中:qi0—流入箱體的流量qo0—流出箱體的流量qi0qo0h0—液面高度h0qi—流入箱體流量增量+qiqo—流出箱體流量增量+qoh—液面高度增量+hA—箱體面積根據(jù)物料平衡關(guān)系dtAd[h0+h(t)]=[qi0+qi(t)]-[qo0+qo(t)]平衡時(shí)：qi0=qo0故dtAdh(t)=qi(t)-qo(t)qo(t)的流量公式qo(t)=ah(t)得:dtAdh(t)=qi(t)+ah(t)第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程

根據(jù)實(shí)例可知：系統(tǒng)微分方程由輸出量各階導(dǎo)數(shù)和輸入量各階導(dǎo)數(shù)以及系統(tǒng)的一些參數(shù)構(gòu)成。第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)微分方程的一般表達(dá)式為：dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1+b1+···dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+···dnc(t)dtna0dn-1c(t)dtn-1+a1dc(t)dt+an-1

將已知輸入信號(hào)代入微分方程中，求解微分方程即可求得系統(tǒng)輸?shù)某鲰憫?yīng)。微分方程r(t)c(t)三、線性微分方程式的求解第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程

工程實(shí)踐中常采用拉氏變換法求解線性常微分方程。拉氏變換法求解微分方程的基本思路：線性微分方程時(shí)域t拉氏變換代數(shù)方程復(fù)數(shù)域s代數(shù)方程的解求解拉氏反變換微分方程的解第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程1．拉氏變換的定義如果有一函數(shù)滿足下列條件：(1)t

<0時(shí)

f(t)=0(2)t≥0時(shí)

f(t)是分段連續(xù)的

0(3)∫

f(t)edt<∞-st∞f(t)的拉氏變換為：0F(s)=∫

f(t)edt-st∞記作

F(s)=L[f(t)]拉氏反變換為：f(t)=L-1

[F(s)]2．常用函數(shù)的拉氏變換第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程(1)單位階躍函數(shù)I(t)f(t)t010F(s)=∫

I(t)edt-st∞=S1(2)單位脈沖函數(shù)δ(t)f(t)t00F(s)=∫δ(t)edt-st∞=1(3)單位斜坡函數(shù)tf(t)t00F(s)=∫

tedt-st∞=S21(4)正弦函數(shù)Sinωtt0f(t)=s2+ω2ω0F(s)=∫Sinωtedt-st∞(5)余弦函數(shù)Cosωt0F(s)=∫Cosωtedt-st∞=s2+ω2s(6)指數(shù)函數(shù)-atef(t)t010F(s)=∫eedt∞-at-st=1s+a(7)拋物函數(shù)t212t2e120F(s)=∫

∞-st

dtf(t)t0=S313．拉氏變換的定理(1)線性定理L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)例求正弦函數(shù)f(t)=Sinωt的拉氏變換．解：2je-eSinωt=jωt-jωtL[Sinωt]=2j1s-jω[1-]s+jω1=s2+ω2ω(2)微分定理L[df(t)dt]=sF(s)-f(0)例求階躍函數(shù)f(t)=I(t)的拉氏變換．解：已知d[t]dt=I(t)L[t]=s21L[I(t)]=L(d[t]dt)=ss21-0=1s第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程L[d2f(t)dt2]=s2F(s)-sf(0)-f'(0)(3)積分定理L[∫f(t)dt]=1sF(s)+f-1(0)s(4)延遲定理L[f(t-τ)]-τs=eF(s)例求f(t)=t-τ的拉氏變換．解：f(t)t0tτt-τ-τsF(s)=L[t]e=s2-τs1e(5)位移定理-atL[ef(t)]=F(s+a)解：例求f(t)=eSinωt的拉氏變換．-atF(s)=(s+a)2+ω2ω(6)初值定理Limf(t)=limsF(s)s→∞t→0(7)終值定理Limf(t)=limsF(s)t→∞s→0第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程4．拉氏反變換象函數(shù)的一般表達(dá)式：F(s)=b0

sm+b1

sm-1

+···+bm-1s+bma0

sn+a1

sn-1

+···+an-1s+an分解為K(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn

)=零點(diǎn)極點(diǎn)轉(zhuǎn)換為=s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAn則p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+···+部分分式法求拉氏反變換,實(shí)際上是求待定系數(shù)A1,A2,…,An.極點(diǎn)的形式不同,待定系數(shù)的求解不同,下面舉例說(shuō)明.待定系數(shù)第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程(1)不相等實(shí)數(shù)極點(diǎn)Ai=F(s)(s-pi)

s=pi解：例求拉氏變換．s2+4s+3F(s)=s2+5s+5(s+1)(s+3)F(s)=1+s+2=1++s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p1)

s=p1(s+1)(s+3)=s2+5s+5s=-1=(s+1)(s+3)(s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2)

s=p2s=-3=(s+1)(s+3)(s+2)(s+3)21=21+f(t)=δ(t)+e-t21e-3t第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程(2)復(fù)數(shù)極點(diǎn)A(s)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn

)F(s)=p1,p2共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)分解為=(s-p1)(s-p2)A1s+A2+s-p3A3+···+s-pnAnF(s)(s-p1)(s-p2)

s=p1=A1s+A2s=p1根據(jù)求待定系數(shù)A1,A2.例求拉氏變換．s(s2+9)F(s)=s+1解：A1s+A2+s(s2+9)F(s)=A3=A1s+A2s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1

19A1=-

19A3=

-s/9+1

+s(s2+9)=1/9

s/9

-s(s2+9)F(s)=1/9

1

+(s2+9)1391-f(t)=Sin3t91Cos3t+第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程(3)重極點(diǎn)第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程A(s)(s

–p1)r(s

–pr+1)···(s

–pn

)F(s)=有r個(gè)重極點(diǎn)分解為=(s-p1)rA1+s-pr+1Ar+1+···+s-pnAn+(s-p1)r-1A2+···+s-p1Ardr-1[F(s)(s-p1)r]Ar=

s=p11

((r-1)!dsr-1)下面舉例說(shuō)明例求拉氏變換．第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程(s+2)F(s)=s(s+1)2(s+3)解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解為按不相等實(shí)數(shù)極點(diǎn)確定A1,A3,A4得：-12A1=

23A3=

112A4=

d2-1[F(s)(s-p1)2]A2=

s=p11

((2-1)!ds2-1)d[=

s=-1ds](s+2)s(s+3)-34=

-34A2=

+-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121將各待定系數(shù)代入上式得：5．用拉氏變換解微分方程

下面舉例說(shuō)明求解線性微分方程的方法。第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程例求拉氏反變換．r(t)=20I(t)+2c

(t)=r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=5c'(0)=15解：(1)將微分方程拉氏變換s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s)=20s20s+5s+30=C(s)(s2+3s+2)

(2)解代數(shù)方程s(s2+3s+2)

C(s)=5s2+30s+20(3)求拉氏反變換s(s+1)(s+2)=5s2+30s+20s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t例已知系統(tǒng)的微分方程式，求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。r(t)=δ(t)+2c

(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dt

c(0)=c'(0)=0解：將方程兩邊求拉氏變換得：s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)R(s)=1C

(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11求拉氏反變換得：c(t)=e–t

sint

輸出響應(yīng)曲線c(t)r(t)r(t)t0c(t)第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程第三節(jié)傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的定義及求取二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其動(dòng)態(tài)響應(yīng)

拉氏變換可以簡(jiǎn)化線性微分方程的求解。還可將線性定常微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)S域內(nèi)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)。第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第三節(jié)傳遞函數(shù)輸出拉氏變換一、傳遞函數(shù)的定義及求取

設(shè)一控制系統(tǒng)輸入輸入拉氏變換輸出傳遞函數(shù)的定義：

零初始條件下，系統(tǒng)輸出量拉氏變換與系統(tǒng)輸入量拉氏變換之比。R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=表示為：將微分方程拉氏變換便可求得傳遞函數(shù)。系統(tǒng)G(S)例求圖示RLC電路的傳遞函數(shù)。+-uruc+-CLRi解：輸出量輸入量根據(jù)基爾霍夫定律：第三節(jié)傳遞函數(shù)i=CducdtLdidtur=Ri

++uc拉氏變換：RCsUc(s)+LCs2Uc(s)+Uc(s)=Ur(s)傳遞函數(shù)為:G

(s)=Uc(s)Ur(s)1LCs2+

RCs+

1=RCducdt+uc=ur+LCd2ucdt2dh(t)1=qi(t)dtAh(t)2A+ah0例求液位控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù).

將上式兩邊求拉氏變換：

設(shè)解：得asH(s)+H(s)Qi(s)=h02A1AH(s)A(s+=ah02A)1Q(s)s+1=ah02A/ah02=Abah02Aa=bh02傳遞函數(shù)為H(s)Abs+1b=Q(s)第三節(jié)傳遞函數(shù)零初始條件下拉氏變換得：(a0

sn+a1

sn-1

+···+an-1s+an)C(s)=(b0

sm+b1

sm-1

+···+bm-1s+bm)R(s)第三節(jié)傳遞函數(shù)系統(tǒng)微分方程的一般表達(dá)式為：dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1+b1+···dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+···dnc(t)dtna0dn-1c(t)dtn-1+a1dc(t)dt+an-1系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為=b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+anR(s)C(s)G(s)=

將傳遞函數(shù)中的分子與分母多項(xiàng)式分別用因式連乘的形式來(lái)表示，即n>=mG(s)=K0(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm)(s

–s1)(s

–s2)···(s

–sn)放大系數(shù)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)傳遞函數(shù)性質(zhì)：（1）傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。（2）傳遞函數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號(hào)的大小和形式無(wú)關(guān)。（3）傳遞函數(shù)為復(fù)變量S的有理分式。

（4）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。第三節(jié)傳遞函數(shù)

不同的物理系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)差別很大。但若從系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)看，一般可將自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型看作由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)所組成。研究和掌握這些典型環(huán)節(jié)的特性將有助于對(duì)系統(tǒng)性能的了解。二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其動(dòng)態(tài)響應(yīng)第三節(jié)傳遞函數(shù)c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)放大倍數(shù)取拉氏變換:得傳遞函數(shù):1．比例環(huán)節(jié)微分方程:R(s)C(s)G(s)==K第三節(jié)傳遞函數(shù)

比例環(huán)節(jié)方框圖KR(S)C(S)K1S·C(s)=R(s)=1S單位階躍響應(yīng)：拉氏反變換得:c(t)=K

單位階躍響應(yīng)曲線r(t)t0c(t)1r(t)Kc(t)K=-R1R2

比例環(huán)節(jié)實(shí)例(a)uruc-∞++R1R2運(yùn)算放大器第三節(jié)傳遞函數(shù)(b)線性電位器uc(t)+-R1R2+-ur(t)K=R2+R1R2傳動(dòng)齒輪(c)r(t)c(t)iK=i單位階躍信號(hào)作用下的響應(yīng):KTs+11s·C(s)=Ks+1/TKs+=R(s)=1s2．慣性環(huán)節(jié)微分方程:+c(t)=Kr(t)dc(t)dtT時(shí)間常數(shù)比例系數(shù)拉氏變換：TsC(s)+C(s)=KR(s)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù):R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=第三節(jié)傳遞函數(shù)

慣性環(huán)節(jié)方框圖R(S)C(S)1+Ts1拉氏反變換得:c(t)=K(1–etT-)

單位階躍響應(yīng)曲線設(shè)K=1r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632uruc-∞++R2R1C

慣性環(huán)節(jié)實(shí)例(a)運(yùn)算放大器R2CS+1R2/R1G(s)=–(b)RL電路+-u(t)RLuL(t)1/R(L/R)S+1G(s)=–第三節(jié)傳遞函數(shù)R(s)C(s)G(s)==1TsTsC(s)=R(s)=r(t)dc(t)dtT微分方程：時(shí)間常數(shù)3．積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：拉氏變換：

積分環(huán)節(jié)方框圖R(S)C(S)Ts1第三節(jié)傳遞函數(shù)單位階躍響應(yīng)：1TS1S·C(s)=R(s)=1S1TS2=1Tc(t)=t

單位階躍響應(yīng)曲線r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T拉氏反變換得:

積分環(huán)節(jié)實(shí)例(a)運(yùn)算放大器uc-∞++RCur1RCSG(s)=–(b)直流伺服電機(jī)+-UdMθSKG(s)=第三節(jié)傳遞函數(shù)4．微分環(huán)節(jié)R(S)C(S)Ts理想微分環(huán)節(jié)微分方程：微分時(shí)間常數(shù)

微分環(huán)節(jié)方框圖單位階躍響應(yīng)：c(t)=Tdr(t)dtR(s)C(s)G(s)==Ts第三節(jié)傳遞函數(shù)TS1S·C(s)=R(s)=1S拉氏反變換得:c(t)=Tδ(t)

單位階躍響應(yīng)曲線r(t)t0c(t)c(t)r(t)運(yùn)算放大器構(gòu)成的微分環(huán)節(jié)-Δ∞++RucCurG(s)=RCs+-uc+-CRurRC電路構(gòu)成的實(shí)用微分環(huán)節(jié)RCsRCS+1G(s)=TsTs+1=第三節(jié)傳遞函數(shù)

理想微分環(huán)節(jié)實(shí)際中是難以實(shí)現(xiàn)的，實(shí)際中常用含有慣性的實(shí)用微分環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù):單位階躍響應(yīng):?

1sTsTs+1G(s)==1s+1/T

c(t)=etT-單位階躍響應(yīng)曲線r(t)r(t)t0c(t)c(t)1

由于微分環(huán)節(jié)的輸出只能反映輸入信號(hào)的變化率，不能反映輸入量本身的大小，故常采用比例微分環(huán)節(jié)。

采用運(yùn)算放大器構(gòu)成的比例微分環(huán)節(jié)：R1ucC1R2ur-Δ∞++傳遞函數(shù)：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)：c(t)=KTδ(t)+KR(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)第三節(jié)傳遞函數(shù)

單位階躍響應(yīng)曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)5.振蕩環(huán)節(jié)微分方程：+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—時(shí)間常數(shù)—阻尼比ζT傳遞函數(shù)：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=—無(wú)阻尼自然振蕩頻率

振蕩環(huán)節(jié)方框圖S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)單位階躍響應(yīng)：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e第三節(jié)傳遞函數(shù)

單位階躍響應(yīng)曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)1ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常見(jiàn)振蕩環(huán)節(jié)的實(shí)例：(1)機(jī)械位移系統(tǒng)

(2)他激直流電動(dòng)機(jī)

(3)RLC電路第三節(jié)傳遞函數(shù)1/CeTaTms2+Tms+1=U(s)N(s)G(s)=Ur(s)Uc(s)1LCs2+RCs+1=G(s)=R(s)C(s)G(s)==e-τsc(t)=r(t–τ)·1(t–τ)R(S)C(S)e-τs6．時(shí)滯環(huán)節(jié)延時(shí)時(shí)間數(shù)學(xué)模型：

時(shí)滯環(huán)節(jié)方框圖傳遞函數(shù)：時(shí)滯環(huán)節(jié)作近似處理得1+τs1第三節(jié)傳遞函數(shù)G(s)=1+τs+2!2s2+···

1τ1

階躍響應(yīng)曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ第五節(jié)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)二、系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

研究控制系統(tǒng)的性能，主要的傳遞函數(shù)為：三、系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第五節(jié)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)_H(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)+D(s)一、系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)反饋量與誤差信號(hào)的比值E(s)B(s)Gk(s)=E(s)B(s)=G1(s)G2(s)H

(s)=G(s)H(s)

二、系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)1．給定信號(hào)R(s)作用R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)

系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：

設(shè)

D

(s)=0典型結(jié)構(gòu)圖可變換為：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)第五節(jié)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):R(s)C(s)Ф(s)==1+G(s)H(s)G(s)2．?dāng)_動(dòng)信號(hào)D(s)作用設(shè)R

(s)=0R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)

系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：+D(s)

動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換成:前向通道:G1(s)H(s)G2(s)D(s)C(s)反饋通道:閉環(huán)傳遞函數(shù)為：D(s)C(s)Фd(s)==1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)第五節(jié)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)_R(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)三、系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)1．給定信號(hào)R(s)作用誤差輸出的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖:R(s)+D(s)

前向通道:

反饋通道:

設(shè)D(s)=0第五節(jié)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)E(s)C(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)1誤差傳遞函數(shù)為：R(s)E(s)Фer(s)=+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)2．?dāng)_動(dòng)信號(hào)D(s)作用R(s)R(s)作用下誤差輸出的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖:

前向通道:

反饋通道:R(s)=0第五節(jié)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)E(s)C(s)+D(s)B(s)_H(s)G1(s)G2(s)D(s)E(s)Фed(s)=誤差傳遞函數(shù)為：=1+G1(s)G2(s)H(s)-G2(s)H(s)例:R(s)C(s)R(s)+D(s)解:G1G2G3H1H2___C(s)E(s)D(s)=0結(jié)構(gòu)圖變換為：

G1G2G3H1/G3G2H2___C(s)E(s)R(s)求第五節(jié)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1+G3G2H2G1G2G3=1+G3G2H2+G1G2H1+G1G2G3G1G2G3R(s)C(s)=1+G3G2H2+G1G2H1G1G2G3H1/G31+G3G2H2G1G2G31+1+G3G2H2G1G2G3+D(s)C(s)R(s)G1G2G3H1H2---E(s)R(s)E(s)求第五節(jié)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)R(s)H1H2-G1G2-E(s)G3-結(jié)構(gòu)圖變換為：

解:D(s)=0R(s)-G1G2-E(s)G3-H1H2/G1G1G2G31+G1G2H11+G1G2G31+G1G2H1H2/G1G1G2G31+G1G2H1=1+G1G2H1+G2G3H2G1G2G3E(s)R(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G31+G1G2H1+G2G3H2R(s)+D(s)G1G2G3H1H2___C(s)D(s)C(s)第五節(jié)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求解:R(s)=0結(jié)構(gòu)圖變換為

D(s)+G1G2-C(s)-H1-1H2G31+G1G2H1G1G2-(1+H2/G1)D(s)+-C(s)-H1-1G3G2G1H2/G1C(s)D(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3G3(1+G1G2H1)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：第五節(jié)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)R(s)+D(s)G1G2G3H1H2___C(s)E(s)求D(s)E(s)解:結(jié)構(gòu)圖變換為

R(s)=0D(s)+G1G2-E(s)-H1H2-G3D(s)+-E(s)-H1H2/G1-G3G2G11+G1G2H1G1G2(1+H2/G1)E(s)D(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3-G3(1+G1G2H1)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：第二章總結(jié)第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制系統(tǒng)建立微分方程系統(tǒng)傳遞函數(shù)R(s)C(s)Ф(s)=初始微分方程組建立動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖拉氏變換梅遜公式等效變換解析法拉氏變換分析系統(tǒng)性能時(shí)域法根軌跡法頻率法性能校正第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第七節(jié)用MATLAB處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一、拉氏變換和反變換二、多項(xiàng)式運(yùn)算三、微分方程求解四、傳遞函數(shù)五、結(jié)構(gòu)圖的串聯(lián)`并聯(lián)與反饋第七節(jié)用MATLAB處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一、拉氏變換和反變換求拉氏變換函數(shù):laplace(ft,t,s)例求f(t)=t2+2t+2的拉氏變換解：鍵入symsst;ft=t^2+2*t+2;st=laplace(ft,t,s)運(yùn)行結(jié)果st=2/s^3+2/s^2+2/s第七節(jié)用MATLAB處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型求拉氏反變換函數(shù):ilaplace(Fs,t,s)例求F(s)的拉氏反變換.(s2+4s+3)(s+2)F(s)=s+6解：鍵入symsst;Fs=(s+6)/(s^2+4*s+3)/(s+2);ft=ilaplace(Fs,s,t)運(yùn)行結(jié)果ft=3/2*exp(-3*t)+5/2*exp(-t)-4*exp(-2*t)第七節(jié)用MATLAB處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型二、多項(xiàng)式運(yùn)算多項(xiàng)式求根函數(shù):root(p)根建多項(xiàng)式函數(shù):poly(r)例求p(s)=s3+3s2+4根,再由根建多項(xiàng)式.解：鍵入p=[1304];r=root(p)運(yùn)行結(jié)果r=-3.35530.1777+1.0773i1.7777-1.0773ip=poly(r)p=1.00003.00000.000040000鍵入運(yùn)行結(jié)果第七節(jié)用MATLAB處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型多項(xiàng)式相乘函數(shù):conv(p,q)求多項(xiàng)式值函數(shù):polyval(n,s)例實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式相乘:p(s)=(3s2+2s+1)(s+4),

并求s=-5時(shí)的值.解：鍵入p=[321];q=[14];n=conv(p,q)運(yùn)行結(jié)果n=31494鍵入vlaue=polyval(n,-5)vlaue=-66運(yùn)行結(jié)果第三章時(shí)域分析法第三章時(shí)域分析法

建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以后，就可求得已知輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，據(jù)此，對(duì)系統(tǒng)的性能作出定性的分析和定量的計(jì)算。

對(duì)線性定常系統(tǒng)，常用的方法有時(shí)域法、根軌跡法和頻率法。本章討論的時(shí)域分析法。第一節(jié)系統(tǒng)性能指標(biāo)

為了準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和快速性三方面的性能，定義若干個(gè)反映穩(wěn)、準(zhǔn)、快三方面性能的指標(biāo)。一、典型的輸入信號(hào)二、控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)第三章時(shí)域分析法第一節(jié)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)1．階躍信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式：拉氏變換：一、典型輸入信號(hào)

當(dāng)R0=1

時(shí)，稱為單位階躍函數(shù):1(t)r(t)t0R0階躍信號(hào)r(t)=0t<0R0t≥0R(s)=SR02．斜坡信號(hào)

數(shù)學(xué)表達(dá)式：拉氏變換：斜坡信號(hào)第一節(jié)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)當(dāng)υ0=1

時(shí)，稱為單位斜坡函數(shù)。r(t)t01r(t)=0t<0t≥0R(s)=s2υ0υ0tυ0拋物線信號(hào)3．拋物線信號(hào)

數(shù)學(xué)表達(dá)式：拉氏變換：第一節(jié)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)當(dāng)a0=1

時(shí)，稱為單位拋物線函數(shù)。r(t)t01R(s)=s3a0t2a012r(t)=0t<0t≥0a02εHε4.脈沖信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式：

脈沖信號(hào)r(t)t0r(t)t0

理想脈沖信號(hào)r(t)=0ε<t<0Hε0≤t≤ε單位理想脈沖函數(shù)：H=1ε→00t≠0∞t=0拉氏變換：R(s)=1理想脈沖函數(shù)特點(diǎn)：第一節(jié)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)∫-∞+∞δ(t)dt=1(t)=limε(t)=ε→0δδ5．正弦信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式：拉氏變換：第一節(jié)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)r(t)=0t<0Asinωtt≥0t0r(t)R(s)=As2+ω2ω二、控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)

系統(tǒng)的性能指標(biāo)分為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。動(dòng)態(tài)指標(biāo)又可分為跟隨性能指標(biāo)和抗擾性能指標(biāo).第一節(jié)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)1．跟隨性能指標(biāo)

跟隨性能指標(biāo)是根據(jù)典型的單位階躍響應(yīng)定義的.典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線為:第一節(jié)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)tc(t)01(1)上升時(shí)間tr

輸出響應(yīng)從零開(kāi)始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。上升時(shí)間：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)曲線tr(2)峰值時(shí)間tptp峰值時(shí)間：系統(tǒng)輸出響應(yīng)由零開(kāi)始，第一次到達(dá)峰值所需時(shí)間。σ%(3)超調(diào)量σ%超調(diào)量：輸出響應(yīng)超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占穩(wěn)態(tài)值的百分比。(4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts

系統(tǒng)輸出響應(yīng)達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的±5%（或±2%）誤差范圍內(nèi)，所需時(shí)間。ts(5)穩(wěn)態(tài)誤差ess系統(tǒng)期望值與實(shí)際輸出的最終穩(wěn)態(tài)值之間的差值。essσ%=c(tp)-100%c()∞c()∞第一節(jié)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)2．抗擾性能指標(biāo)

如果控制系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行中受到擾動(dòng)作用,經(jīng)歷一段動(dòng)態(tài)過(guò)程后又能達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)?？捎每箶_性能指標(biāo)來(lái)描述系統(tǒng)的抗擾性能.

根據(jù)系統(tǒng)在負(fù)載擾動(dòng)之后的典型過(guò)度過(guò)程定義抗擾性能指標(biāo):tνtc(t)0(1)動(dòng)態(tài)降落

系統(tǒng)輸出量的最大降落值。C∞1△cmax(2)恢復(fù)時(shí)間

系統(tǒng)輸出量恢復(fù)到與穩(wěn)