實變函數(shù)第一章第二節(jié)

實變函數(shù)第一章第二節(jié)第一頁，共三十四頁，2022年，8月28日定義1：設(shè)X,Y是兩個非空集合，若依照對應(yīng)法則f，對X中的每個x，均存在Y中唯一的y與之對應(yīng)，則稱這個對應(yīng)法則f是從X到Y(jié)的一個映射，記作f:X→Y注：集合，元素，映射是一相對概念略：像，原像，像集，原像集，映射的復(fù)合，單射，滿射，一一映射（雙射）１映射的定義[]第二頁，共三十四頁，2022年，8月28日例1、定積分運算為從[a,b]上的可積函數(shù)集到實數(shù)集的映射(函數(shù),泛函,算子)2、集合的特征函數(shù)（集合A與特征函數(shù)互相決定）稱為集A的特征函數(shù)，第三頁，共三十四頁，2022年，8月28日

對等與勢1）設(shè)A,B是兩非空集合，若存在著A到B的一一映射（既單又滿），則稱A與B對等,注：稱與A對等的集合為與A有相同的勢（基數(shù)），記作勢是對有限集元素個數(shù)概念的推廣記作約定注:對等關(guān)系是等價關(guān)系第四頁，共三十四頁，2022年，8月28日1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,...2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-12n例第五頁，共三十四頁，2022年，8月28日有限集與無限集的本質(zhì)區(qū)別：無限集可與其某個真子集合有相同多的元素個數(shù)（對等）且一定能做到，而有限集則不可能。例第六頁，共三十四頁，2022年，8月28日基數(shù)的大小比較

注1)任意兩個集合他們地基數(shù)都是可以比較大小的,并且他們間的關(guān)系(>,<,=)唯一.第七頁，共三十四頁，2022年，8月28日Bernstein定理的證明fλ第八頁，共三十四頁，2022年，8月28日Bernstein定理第九頁，共三十四頁，2022年，8月28日Bernstein定理的證明證明:ABgf第十頁，共三十四頁，2022年，8月28日Bernstein定理的證明ABggfff第十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日ABfgffgBernstein定理的證明第十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日Bernstein定理的證明此處都是關(guān)于映射g,如果不是同一映射,則不一定成立.第十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日例：由可知，試問如何構(gòu)造兩者間的既單又滿的映射。Bernstein定理的運用第十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日Th1.2.2:A可數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

A可以排成一個無窮序列{a1,a2,a3,…}1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…例：1）Z={0，1，-1，2，-2，3，-3，…}１可數(shù)集的定義例:2）[0,1]中的有理數(shù)全體

={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}

設(shè)A是任一集合，若A與自然數(shù)集N對等，則稱A為可數(shù)集或可列集，其基數(shù)記為第十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日假設(shè)這是一個無限集M我們可以取出其中一個點a1顯然M\{a1}還是無限集在M\{a1}中可以取出一點a2顯然M\{a1，a2}還是無限集我們可以取出一個可數(shù)子集{a1,a2,a3,...}

[定理1.2.3]

任何無限集合均含有可數(shù)子集（即可數(shù)集是無限集中具有最小勢的的集合)２可數(shù)集的性質(zhì)（子集）第十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日[th1.2.4]

可數(shù)集的無限子集為可數(shù)集,從而可數(shù)集合的任何子集或者是有限集或者是可數(shù)集[th1.2.5]A為可數(shù)集,B為有限集或者可數(shù)集,則為可數(shù)集.A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…}B={b1,b2,b3,b4,b5,b6,…}或B={b1,b2,b3，……,bk}第十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日可數(shù)集的性質(zhì)（并集）[th1.2.5]

即可數(shù)個可數(shù)集的并仍為可數(shù)集第十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日當(dāng)Ai互不相交時，按箭頭所示，我們得到一個無窮序列;當(dāng)Ai有公共元時，在排列的過程中除去公共元素；A1A2A3A4可數(shù)個可數(shù)集的并

仍為可數(shù)集的證明第十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日設(shè)Ai={1/i,2/i,3/i,4/i,5/i,…},則Ai是可數(shù)集，例1.2.3全體有理數(shù)之集Q是可數(shù)集所以Q是可數(shù)集（可數(shù)個可數(shù)集的并）說明:有理數(shù)集在直線上稠密,但仍與稀疏分布在直線上的整數(shù)集有相同多的點(對等意義下).故Q+是可數(shù)集第二十頁，共三十四頁，2022年，8月28日笛卡爾乘積的定義第二十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日有限個可數(shù)集的卡氏積是可數(shù)集設(shè)A，B是可數(shù)集，則A×B也是可數(shù)集從而A×B也是可數(shù)集（可數(shù)個可數(shù)集的并）利用數(shù)學(xué)歸納法即得有限個乘積的情形x固定x，y在變第二十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日定理若A中的每個元素可由n個互相獨立的記號一對一地加以決定,各記號跑遍一個可數(shù)集則A為可數(shù)集.證明:構(gòu)造一一對應(yīng)第二十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日例1.2.4平面上以有理點為圓心，有理數(shù)為半徑的圓全體A為可數(shù)集證明：平面上的圓由其圓心(x,y)和半徑r唯一決定,從而r(x,y)第二十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日整系數(shù)多項式方程的實根稱為代數(shù)數(shù)；不是代數(shù)數(shù)的實數(shù)稱為超越數(shù)。由代數(shù)基本定理知任意整系數(shù)多項式至多有有限個實根，從而結(jié)論成立.設(shè)P是整系數(shù)多項式全體所成之集,P(n)是n次整系數(shù)多項式全體例1.2.4代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集第二十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日有關(guān)超越數(shù)的說明1874年Cantor開始研究無限集的計數(shù)問題;1873年C.埃爾米特證明了e是超越數(shù);1882年Lindemann證明了π是超越數(shù);1934年A.O.蓋爾豐得證明了若α不是0和1的代數(shù)數(shù)，β是無理代數(shù)數(shù),則αβ是超越數(shù)(此問題為Hilbert于1900年提出的23個問題中的第7問題)。我們證明了代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集合，通過后面可知道超越數(shù)全體是不可數(shù)集，故超越數(shù)比代數(shù)數(shù)多得多第二十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日假設(shè)這是集合A從中可以取出可數(shù)子集M很容易將M一分為二M1,M2，使得兩個都是可數(shù)集A\MM={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…}M1

={a1,a3,a5,…}M2={a2,a4,a6,…}取A*=(A\M)∪M1=A-M2即可P42:16.說明：由此我們可得任一無限集一定存在它的一個真子集與它有相同多的元素個數(shù)第二十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日定理定理7:A為無限集A可以與其真子集對等第二十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日數(shù)的進(jìn)位制簡介十進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對[0,1]十等分二進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對[0,1]二等分三進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對[0,1]三等分說明：對應(yīng)[0,1]十等分的端點有兩種表示，如0.2000000…0.1999999…（十進(jìn)制小數(shù)）第一次十等分確定第一位小數(shù)第二次十等分確定第二位小數(shù)第二十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日不可數(shù)集的存在性的證明證明：假設(shè)（0,1）是可數(shù)集,則（0,1）可以寫成一個無窮序列的形式：把每個數(shù)寫成正規(guī)小數(shù)（不能以0為循環(huán)節(jié)）令x=0.a1a2a3a4…其中則得到矛盾，所以

(0,1)是不可數(shù)集。第三十頁，共三十四頁，2022年，8月28日推論：若用或c表示全體實數(shù)所成集合R的基數(shù),用a表示全體正整數(shù)所成集合N的基數(shù),則c>a.定理2:任意區(qū)間(a,b),[a,b),(a,b],(0,∞),[0,∞)均具有連續(xù)基數(shù).2連續(xù)勢集的定義稱(讀作:Alehp)或c為連續(xù)基數(shù).第三十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日例1.2.6:(見書)第三十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日

連續(xù)勢集的性質(zhì)（并集）定理1.2.7:連續(xù)勢集的（有限個，可數(shù)個，連續(xù)勢個）并仍為連續(xù)勢集(](](]012n-1n(](](]01