實(shí)變函數(shù)第一章第二節(jié)

實(shí)變函數(shù)第一章第二節(jié)第一頁，共三十四頁，2022年，8月28日定義1：設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合，若依照對應(yīng)法則f，對X中的每個(gè)x，均存在Y中唯一的y與之對應(yīng)，則稱這個(gè)對應(yīng)法則f是從X到Y(jié)的一個(gè)映射，記作f:X→Y注：集合，元素，映射是一相對概念略：像，原像，像集，原像集，映射的復(fù)合，單射，滿射，一一映射（雙射）１映射的定義[]第二頁，共三十四頁，2022年，8月28日例1、定積分運(yùn)算為從[a,b]上的可積函數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射(函數(shù),泛函,算子)2、集合的特征函數(shù)（集合A與特征函數(shù)互相決定）稱為集A的特征函數(shù)，第三頁，共三十四頁，2022年，8月28日

對等與勢1）設(shè)A,B是兩非空集合，若存在著A到B的一一映射（既單又滿），則稱A與B對等,注：稱與A對等的集合為與A有相同的勢（基數(shù)），記作勢是對有限集元素個(gè)數(shù)概念的推廣記作約定注:對等關(guān)系是等價(jià)關(guān)系第四頁，共三十四頁，2022年，8月28日1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,...2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-12n例第五頁，共三十四頁，2022年，8月28日有限集與無限集的本質(zhì)區(qū)別：無限集可與其某個(gè)真子集合有相同多的元素個(gè)數(shù)（對等）且一定能做到，而有限集則不可能。例第六頁，共三十四頁，2022年，8月28日基數(shù)的大小比較

注1)任意兩個(gè)集合他們地基數(shù)都是可以比較大小的,并且他們間的關(guān)系(>,<,=)唯一.第七頁，共三十四頁，2022年，8月28日Bernstein定理的證明fλ第八頁，共三十四頁，2022年，8月28日Bernstein定理第九頁，共三十四頁，2022年，8月28日Bernstein定理的證明證明:ABgf第十頁，共三十四頁，2022年，8月28日Bernstein定理的證明ABggfff第十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日ABfgffgBernstein定理的證明第十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日Bernstein定理的證明此處都是關(guān)于映射g,如果不是同一映射,則不一定成立.第十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日例：由可知，試問如何構(gòu)造兩者間的既單又滿的映射。Bernstein定理的運(yùn)用第十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日Th1.2.2:A可數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

A可以排成一個(gè)無窮序列{a1,a2,a3,…}1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…例：1）Z={0，1，-1，2，-2，3，-3，…}１可數(shù)集的定義例:2）[0,1]中的有理數(shù)全體

={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}

設(shè)A是任一集合，若A與自然數(shù)集N對等，則稱A為可數(shù)集或可列集，其基數(shù)記為第十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日假設(shè)這是一個(gè)無限集M我們可以取出其中一個(gè)點(diǎn)a1顯然M\{a1}還是無限集在M\{a1}中可以取出一點(diǎn)a2顯然M\{a1，a2}還是無限集我們可以取出一個(gè)可數(shù)子集{a1,a2,a3,...}

[定理1.2.3]

任何無限集合均含有可數(shù)子集（即可數(shù)集是無限集中具有最小勢的的集合)２可數(shù)集的性質(zhì)（子集）第十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日[th1.2.4]

可數(shù)集的無限子集為可數(shù)集,從而可數(shù)集合的任何子集或者是有限集或者是可數(shù)集[th1.2.5]A為可數(shù)集,B為有限集或者可數(shù)集,則為可數(shù)集.A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…}B={b1,b2,b3,b4,b5,b6,…}或B={b1,b2,b3，……,bk}第十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日可數(shù)集的性質(zhì)（并集）[th1.2.5]

即可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并仍為可數(shù)集第十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日當(dāng)Ai互不相交時(shí)，按箭頭所示，我們得到一個(gè)無窮序列;當(dāng)Ai有公共元時(shí)，在排列的過程中除去公共元素；A1A2A3A4可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并

仍為可數(shù)集的證明第十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日設(shè)Ai={1/i,2/i,3/i,4/i,5/i,…},則Ai是可數(shù)集，例1.2.3全體有理數(shù)之集Q是可數(shù)集所以Q是可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）說明:有理數(shù)集在直線上稠密,但仍與稀疏分布在直線上的整數(shù)集有相同多的點(diǎn)(對等意義下).故Q+是可數(shù)集第二十頁，共三十四頁，2022年，8月28日笛卡爾乘積的定義第二十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日有限個(gè)可數(shù)集的卡氏積是可數(shù)集設(shè)A，B是可數(shù)集，則A×B也是可數(shù)集從而A×B也是可數(shù)集（可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并）利用數(shù)學(xué)歸納法即得有限個(gè)乘積的情形x固定x，y在變第二十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日定理若A中的每個(gè)元素可由n個(gè)互相獨(dú)立的記號一對一地加以決定,各記號跑遍一個(gè)可數(shù)集則A為可數(shù)集.證明:構(gòu)造一一對應(yīng)第二十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日例1.2.4平面上以有理點(diǎn)為圓心，有理數(shù)為半徑的圓全體A為可數(shù)集證明：平面上的圓由其圓心(x,y)和半徑r唯一決定,從而r(x,y)第二十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日整系數(shù)多項(xiàng)式方程的實(shí)根稱為代數(shù)數(shù)；不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)稱為超越數(shù)。由代數(shù)基本定理知任意整系數(shù)多項(xiàng)式至多有有限個(gè)實(shí)根，從而結(jié)論成立.設(shè)P是整系數(shù)多項(xiàng)式全體所成之集,P(n)是n次整系數(shù)多項(xiàng)式全體例1.2.4代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集第二十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日有關(guān)超越數(shù)的說明1874年Cantor開始研究無限集的計(jì)數(shù)問題;1873年C.埃爾米特證明了e是超越數(shù);1882年Lindemann證明了π是超越數(shù);1934年A.O.蓋爾豐得證明了若α不是0和1的代數(shù)數(shù)，β是無理代數(shù)數(shù),則αβ是超越數(shù)(此問題為Hilbert于1900年提出的23個(gè)問題中的第7問題)。我們證明了代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集合，通過后面可知道超越數(shù)全體是不可數(shù)集，故超越數(shù)比代數(shù)數(shù)多得多第二十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日假設(shè)這是集合A從中可以取出可數(shù)子集M很容易將M一分為二M1,M2，使得兩個(gè)都是可數(shù)集A\MM={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…}M1

={a1,a3,a5,…}M2={a2,a4,a6,…}取A*=(A\M)∪M1=A-M2即可P42:16.說明：由此我們可得任一無限集一定存在它的一個(gè)真子集與它有相同多的元素個(gè)數(shù)第二十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日定理定理7:A為無限集A可以與其真子集對等第二十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日數(shù)的進(jìn)位制簡介十進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對[0,1]十等分二進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對[0,1]二等分三進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對[0,1]三等分說明：對應(yīng)[0,1]十等分的端點(diǎn)有兩種表示，如0.2000000…0.1999999…（十進(jìn)制小數(shù)）第一次十等分確定第一位小數(shù)第二次十等分確定第二位小數(shù)第二十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日不可數(shù)集的存在性的證明證明：假設(shè)（0,1）是可數(shù)集,則（0,1）可以寫成一個(gè)無窮序列的形式：把每個(gè)數(shù)寫成正規(guī)小數(shù)（不能以0為循環(huán)節(jié)）令x=0.a1a2a3a4…其中則得到矛盾，所以

(0,1)是不可數(shù)集。第三十頁，共三十四頁，2022年，8月28日推論：若用或c表示全體實(shí)數(shù)所成集合R的基數(shù),用a表示全體正整數(shù)所成集合N的基數(shù),則c>a.定理2:任意區(qū)間(a,b),[a,b),(a,b],(0,∞),[0,∞)均具有連續(xù)基數(shù).2連續(xù)勢集的定義稱(讀作:Alehp)或c為連續(xù)基數(shù).第三十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日例1.2.6:(見書)第三十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日

連續(xù)勢集的性質(zhì)（并集）定理1.2.7:連續(xù)勢集的（有限個(gè)，可數(shù)個(gè)，連續(xù)勢個(gè)）并仍為連續(xù)勢集(](](]012n-1n(](](]01