定態(tài)微擾論與變分法

定態(tài)微擾論與變分法第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日6.1非簡并態(tài)微擾論一、基本方程

設體系的哈密頓算符不顯含時間，則其定態(tài)薛定格方程為:

(2)(1)當比較復雜，方程(1)難求解時，將寫成：(3)其中是基本部分，與它對應的本征值和本征函數(shù)由以下方程求出第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日

(4)(5)(6)將以上幾式代入（1）式得：而相對很小，可視為加在上的微擾。為求方程的近似解，我們引入一個很小的實數(shù)，并將表示為相應地,將和表為實參數(shù)的級數(shù)：(7)第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日

將(7)式展開，兩邊得到一個均為的冪級數(shù)等式，此等式成立的條件是兩邊同次冪的系數(shù)應相等，于是得到下面一系列方程：::::(12)(13)

由這組方程可以逐級求得其各級修正項，即求得能量和波函數(shù)的近似解為：第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日為一級修正，為二級修正為級修正(14)其中：二、零級近似的解因的本征值和本征函數(shù)可以全部求出：第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日三、一級修正由（15）式可知，當非簡并時，的本征函數(shù)只有一個，它就是波函數(shù)的零級近似。（設是歸一化的）。以左乘（9）式兩邊，并對整個空間積分得：（16）注意到是厄米算符，是實數(shù)，則有（17）能量的一級修正值等于在態(tài)中的平均值。再注意的正交歸一性，由（16）式得第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日已知后，由（９）式可求波函數(shù)的一級修正。

將按的本征函數(shù)系展開

根據(jù)態(tài)迭加原理，展開系數(shù)可為任意常數(shù)，故可以選取，使得展開式中不含項，即使，則上展開式可改寫為：或寫成：

(18)第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日

代入（9）式得（19）以左乘，并積分，并注意的正交歸一性得到：（20）令微擾矩陣元

（21）

則:（22）

第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日代入（18）式，得波函數(shù)的一級修正為（23）四、高級修正（能量的二級修正）作展開：

將(24)代入（10）式，可得到第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日于是，能量的二級近似為：波函數(shù)的一級近似為：（２5）（２6）波函數(shù)的二級修正（２7）（２8）第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日將(27)、(28)代入（10）式，可得其中用乘以上式，再積分，并利用第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日

總結上述，在非簡并情況下，受擾動體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：微擾理論適用條件欲使兩式有意義，則要求兩級數(shù)收斂。第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題許多物理問題可化為二能級系統(tǒng)a,b,A,B為實數(shù)，且a,b<<A,B(1)求能級的精確值(2)用微擾公式寫出能級（二級近似）并與(1)的結果比較第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題一維諧振子受到微擾作用試用微擾論公式計算能級變化。第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日6.2簡并態(tài)微擾論

假設是簡并的，即對于的本征值有多個本征函數(shù)如何選擇零級近似波函數(shù)呢？為了確定，依照非簡并微擾論的方法。將（2）代入第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日

以左乘上式兩邊，并對整個空間積分，由于的厄米性質(zhì)式中,是對應于同一本征值的本征函數(shù)。是利用了即要求是正交歸一的。第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日（3）式是以系數(shù)為未知量的一次齊次方程組。有不全為零的解的條件是第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日解這個方程可以得到能量一級修正的個根(1).若的個根都不相等，則一級微擾將簡并度完全消除；如果要求二級修正，再應用非簡并微擾方法進行。(2).若的個根部分相等，則簡并度部分解除，這時須再次利用簡并微擾法考慮能量二級修正才有可能進一步解除簡并，依次進行下去，直到簡并度完全消除。

(３).若的個根完全相等，則一級微擾不能消除簡并，必須繼續(xù)利用簡并微擾法考慮高階修正。第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題一種冷原子有兩個能級簡并的態(tài)|1>和|2>。最近科學家在冷原子“暗態(tài)”實驗中引入的激光場的效應相當于微擾哈密頓量求出該微擾引起的能量修正和對應的本征態(tài)。第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題一維金屬中的電子受到一維周期勢V(x)的作用，a為晶格常數(shù)，現(xiàn)可將V(x)看作微擾。無微擾時電子是自由電子，波函數(shù)為L=Na，是N個離子的晶格長度。求能級的一級修正。第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題斯塔克效應研究氫原子的第二個能級在外電場中引起的分裂。第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日6.3變分法一、基本思想是基態(tài)的能量和波函數(shù)在設是任意一個歸一化的波函數(shù):即：只有第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日（1）選取含有參量的嘗試波函數(shù)（2）（3）求出二、用變分法求體系基態(tài)能量的步驟是

試探波函數(shù)的好壞直接關系到計算結果，但是如何選取試探波函數(shù)卻沒有一個固定可循的法則，通常是根據(jù)物理上的直覺去猜測。三、如何選取試探波函數(shù)第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日（1）根據(jù)體系Hamilton量的形式和對稱性推測合理的試探波函數(shù)；（2）試探波函數(shù)要滿足問題的邊界條件；（3）為了有選擇的靈活性，試探波函數(shù)應包含一個或 多個待調(diào)整的參數(shù)，這些參數(shù)稱為變分參數(shù)；（4）若體系Hamilton量可以分成兩部分H=H0+H1，而H0的本征函數(shù)已知有解析解，則該解析解可作為體系的試探波函數(shù)。第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日例氦原子基態(tài)（變分法）

如圖所示，當把核視為靜止時，氦原子的哈米頓算符可表示為：動能勢能相互作用能第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日

在不考慮氦原子中兩個電子的相互作用能時，兩個電子在核電場中運動，其哈米頓算符為：

其基態(tài)本征函數(shù)可用分離變量法求得，是兩個類氫原子基態(tài)本征函數(shù)的乘積，即：第二十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日

在氦中兩個電子