軌跡方程的求法及典型例題

軌方的法一知復(fù)軌方的法見(jiàn)有1）直法（2）義（3）定數(shù)（4）參法5）交法6）關(guān)法注：軌方時(shí)意雜，漏.一知復(fù)例1：點(diǎn)（是x2求心M軌方。

2

－－55=0的點(diǎn)動(dòng)M與已知相，過(guò)，

111例、圖示已，是x+y的點(diǎn)B圓兩點(diǎn)且足APB=90，矩APBQ的頂Q的跡程111解設(shè)的中為R坐為(,y，在eq\o\ac(△,Rt)ABP中|AR又為是AB中，依徑理在eq\o\ac(△,Rt)OAR中AR

2AO2|OR－(

+y

2

)又||=

2

y

2所有(－2

+y2

－x2

y

2

),即x2

y2－－10=0因點(diǎn)一圓，當(dāng)此上動(dòng)，Q點(diǎn)即在求軌上動(dòng).設(shè)Qx,y，(xy)，為R是中，以x

=

x2

y

y2

代方x

2y2

－－(

xy))22

－10=0整得x2

+2

就所的跡程

12112或2AB例3、如圖,直L和L相于M,LL,NLA,為點(diǎn)曲段C上12112或2AB的一到L距與N距相若AMN為銳角角|AM|==且BN|=6.建適的標(biāo)求線C的方解法一：如圖建立坐標(biāo)系，以l為軸，MN的垂直平分線為軸，點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)。1依題意知：曲線段C是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以l為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中，分別為C的端點(diǎn)。2設(shè)曲線段C的方程為

y

2

px(0),(xx0)

，其中xx分別為A，B橫坐標(biāo)，。所M(

pN(由AN|得(x)(x)

22

px(1)px(2)由①，②兩式聯(lián)立解得

xA

4p

p2。再將其代入①式并由p>0解得Ax因?yàn)椤鰽MN是銳角三角形，所以，故舍A∴p=4,x=1A由點(diǎn)B在曲線段上，得

x|4

。綜上得曲線段C的方程為

y24,0)解法二：如圖建立坐標(biāo)系，分別以l、l為12軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)。

作AE⊥,AD⊥l，⊥l垂足分別為E、DF1設(shè)A(x,y)、,y)N(xAA依題意有xME|ANyAM

2

DA|

2

由AMN銳角三角形故有xME|NAM|

2

2

xBE|設(shè)點(diǎn)(x是曲線段C上任一則由題意屬于集合{(x)()N故曲線段C方程

2

x

2

xxy0}y

2

2)(3x

QB例4、知點(diǎn)QB

(Q

以一直y=x設(shè)為

的段AB直上動(dòng)求線和交M軌方．解PA和QB的交M（，y）隨AB的動(dòng)變，可

(tt),t

，則PA：

y

tt(xtxttt消t得

x

2

2

y當(dāng)=－，=－時(shí)QB交坐也足式所點(diǎn)M的軌跡程x

2

2

xxy

121pb112例5、設(shè)A和拋線2(p0)上原以的個(gè)點(diǎn)已知⊥OMAB，點(diǎn)M軌方，說(shuō)它示121pb112解一設(shè)My)直方為=b由⊥得k=

xy由

px及=kx+，去,得

x

+(2－4p+

所x

=

bk

22

y

=，由OA⊥OB得y=所

=－

bk

22

=－4kp故=kxbk(－),得x2

+－pxx≠故點(diǎn)M軌方為2

+－4px≠，它示(為心以2為半的，掉標(biāo)點(diǎn)

12212121121111221212112111px212121211解二設(shè)

AyBx,yM,y依意有

122yyx2yy1121

①②③④⑤①得(y－y)(+)=4()若≠,則

121

p1

2

⑥②得y2·

2=16

2x

③入式⑦有y=－2⑥入，⑥代入⑤，12

4y11yyx4

所4y1

4(y)14px1即pxy

21

=y(y－y⑦⑧入式得

2y

－=0(≠0)當(dāng)=時(shí)⊥x，得M(4p仍足程故M的軌跡方程為x2去坐原

+y－=0(x≠它示(,0)圓，為半徑圓

25121軌跡方程(習(xí)1)251211．(08、東22)知線

C1

：

||y0)a

所成封圖的積4曲C內(nèi)圓徑，記以與3標(biāo)的點(diǎn)頂?shù)膱A(1)橢C的準(zhǔn)程設(shè)是過(guò)橢圓中的意L線段AB垂平線，ML異橢中的．①M(fèi)O|λ|OA|(坐原)，當(dāng)點(diǎn)在橢C上運(yùn)時(shí)求點(diǎn)M的跡程②ML橢C交，的積最值

x2yM240x2yM240(1)由

42

2

，

2

2y25

(2)若AB所在AB為y＝kx(k≠0)A(

，yA

A

)

2y5kx

x

202，24k

2OA2x2A

20(142

)

設(shè)Mxy)，由|OA|(

2＝2|OA|2

2

20(1)42

為L(zhǎng)AB的線Lykxy2

x220(1)y2xx4y

2)x

由x25220

當(dāng)＝0或不立，，M的軌跡方程為45

0k且k

2

204k

2

，

2

204

2

|OA|2＝

AA

20(142

)

251yk

x

2M

20k20，55k

2

OM

20(152

)

1OA

2

1

2

1192)2)204k

2

5k

22|OA||OA

2

920

OA|

9S

140|OB||OB2

2240當(dāng)＋5k2＝5＋2時(shí)，即k2240

時(shí)等

1k，5

409

當(dāng)k不存在時(shí)，

1S5

409

，AMB9

2（07江21設(shè)點(diǎn)P點(diǎn)(B的離別為d2

，存在數(shù)

，得

dsin

．證：P的雙線并的程(2)過(guò)作線雙線

C

的支

M，

兩，確定

的圍使ON＝0，其為標(biāo)點(diǎn)

(1)△PAB中AB，dd12

4d)

d2

dsin1

P

C

，B

2a21

21

M(xy)，xy)2x軸時(shí)MNxM

1

0

52

②當(dāng)MN不垂直于(y2y(x

軸時(shí)，設(shè)MN的方程

2

2(1x

2

12

x12

2y12

2

(x12

k2

OMON，且

M，

xy2xxx

k2k

523

523

3海）知圓中為角標(biāo)xOy原，點(diǎn)在x上它一頂?shù)絺€(gè)點(diǎn)距分是和1（1）橢圓的方（2）為上的點(diǎn)MP垂于軸直上點(diǎn)

OP

（e橢的心，M的軌方，說(shuō)軌是么線

2y200900）設(shè)橢圓為ac．由2y200900

a＝4，c＝

圓C167設(shè)M（x，y，0∈[－，4]．有……①167

OPxy0xy

4

．166(x22)y2)00xf（x，y＝x，y）0

112x2

2

167

43

(4)

M的軌跡于軌跡程(練（、慶）知原O為中的圓一準(zhǔn)方為

y

433

，心

32

，M是橢上動(dòng)．(1)若C、D的坐分是，3)、(0，√，求

|

·

的大；(2)如，A的標(biāo)(，0)點(diǎn)是圓

x

y2

上點(diǎn)點(diǎn)N是M(橢圓的在x軸的影點(diǎn)滿(mǎn)足條：＝OM＋ON，·＝．線QB的中的軌

方．

x243a2解設(shè)圓方程為：＞＞0程y＝＝23c2a

a2

c

橢圓方程為：

x2

yy．以D是橢圓x4

的兩個(gè)焦點(diǎn)

|MC

＋

|

＝4．

MC

·

≤(

|2

)

4

，當(dāng)且僅當(dāng)

MC

＝

MD

，即點(diǎn)M的標(biāo)為

(

時(shí)上式取等號(hào)

MC|

·

|

的最大值為．(2)設(shè)

M(,y),B(x,y)，(,y)，mmBBQ

)

2

2

．由

＝

OM

＋

，yQm

PPPPPP

2)Qmm

………①由

·

＝0

(

xQ

Q

)·(

1B

)(

Q

)(

1

)＋yBQ

＝0xyQBB

…………②記P點(diǎn)的坐標(biāo)(

P

，

P

)，因?yàn)镻是

BQ

的中點(diǎn)2，yyPBPQBxy2

2

)

2

2

)

2

＝

14

(x

yxxyy)QQQ＝

14

[51)]

＝

13x2)y4

P1動(dòng)點(diǎn)P的方為：(x)2

2

y

2

．．、安）知圓與線y＝x＋2相切

y2＋＝（a＞b＞0）離率．以點(diǎn)圓，橢短軸為半的ab2（1）a與b的值；（2）該圓左右點(diǎn)別為和F，線L過(guò)且軸直動(dòng)線與軸直交L于p.122221求段PF的垂平線直的交M的跡程，指曲類(lèi)12

113解）e＝＝．又圓心0，0到直線y＝x＋2的距離d＝半徑b＝，3322y2∴2＝22＝33（2）F（－1，0F（1，0題可設(shè)P（1，t≠0）.么線段PF的中點(diǎn)為N，1

t2

L

2

的方程為：＝t設(shè)M

M

M

)是所求軌跡上的任意.【下面求直線的方，然后直線

L

2

的方程聯(lián)立，求交點(diǎn)M的軌方】直線

1

的斜率k＝

t2，∴線段的垂線MN的斜＝－．2t所以：直線MN的程為：ty－＝x．由tM2tyxt2M

t4，消去參數(shù)t得

yM

M

，即：

11點(diǎn)直法軌】xx2111111點(diǎn)直法軌】xx211112212x

，其軌跡為拋物線（除原點(diǎn)又解：由于＝－x

tt－yPF＝－x，－y·PF＝0，2tty0∴22

，消參數(shù)t得

y2

（x軌為拋物線（除原點(diǎn)．(07南）知曲

x

2

2

的、焦分為

F

，

，點(diǎn)

的直與曲相于

，

兩（1）動(dòng)M滿(mǎn)足FMFBFO（其O為坐原，求的軌跡程1(2)在x上否在點(diǎn)使·CB為數(shù)若在求點(diǎn)C坐；若存，說(shuō)理．解：由件知FF設(shè)A(x，y)，(y)222(x，y)，F(xiàn)Mxy)，F(xiàn)y1Fy)，由MFABy

．設(shè)，

xx1yy12

AB

的中點(diǎn)坐標(biāo)為

x22

．當(dāng)

AB

不與

軸垂直時(shí)，

y2x2

，yyy(