高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一匯總

高數(shù)賽擬一總

高中學(xué)競模擬題一一

試（考試時：80分鐘滿分）一、填空（共8小題，

8

分）1、已知,點

(y)

在直線

x

上移動當x4

取最小值,點(y)

與原點的離是。、設(shè)

f

為正整數(shù)n（十進制）的各數(shù)位上的數(shù)字的平之和，比如f

記

f(nf()，1

k

)f(nk

，k1,2,3...

，則

f

2010

(2010)

。3、如圖，正方體

ABCD1111

中，二面角

BD1

的數(shù)是。4、在

1,2,

,2010

中隨機選三個數(shù)，能成遞增等差數(shù)的概率是。5、若正數(shù)

a,,c

滿足

abba

，則

ba

的最大值是。6在平面直角坐系中給兩點

M(和(1,4)點P在軸上移動，MPN取最大值時，P的橫標是。7、已知數(shù)列

a

0

,a1

,a

2

,...,

n

...,

滿足關(guān)系

a且0

，則2

ni

1ai

的值是。、函數(shù)

f(x)

xxxsinxcosxxxtanxxxcoscotx

在

x()2

時的最小值。二、解答（共題，

14分

）9設(shè)數(shù)列

{

n

}

滿足條件

a1

，且a2

n

n

(2,3,n

)求證：對任何正整數(shù)n，都有：

n

n

n

n3

10、已知曲線

:x

2

2

m

，x

為正常數(shù)直線l與曲線M實軸不垂，且依次交線x曲線、線于、B、C4

個點，為坐標原點。（1）若

AB|CD|

，求證：AOD的積為定值（2）若的面積等于AOD面的

13

，求證：

|AB|BCCD|4

11已知、是方

4

txtR)

的兩個不實根函數(shù)

f()2x

的定義域

[

.（Ⅰ）求

(t)f(xf(x);（Ⅱ）證：對于

u(0,i

2

)

(i1,2,3)

，若

sinusinu1

，則

111g(tan)(tanug(tanu)13

6

.5

二

試（考試時：150分鐘一本題50分）如圖，和O12與的三邊所在的三條直線都相切，E,F,,H為切點，并且EG、的延長交于點。求證：直與垂直。

總分：200）PGHA1。2EBCF6

二本題50分）正實數(shù)

,z

，滿足xyz。證：

55yz55y2z2y

7

f(f()三、（本題50分）對每個正整數(shù)平方數(shù)）[n不為平方數(shù)）{}

n

，定義函數(shù)（其中[]表不超過x的最大整數(shù){}xx])

試求：

240

fk

的值。8

四本題分）在世界杯足球賽前

F

國的教練為了考察A,,A,A,,14567

這七名隊，準備讓他在三場訓(xùn)練比(每場比賽90分中都上場，假在比賽的任何刻，這些隊都有且只有一在場上，并

A,,A13

每人上場總時間以分鐘為單位)均被7

整除，,AA5

每人上場總時間(以分鐘為單位均被13整除如果每場換人的數(shù)不限，那么按每名隊員場的總時間計，有多少種不的情況？9

35.335.3答案與解一、填空1、。2224

xy

3422

時取最小,

此時x

2

y

2

=

354

。、4。

解：將

f(2010)記做，是有5423758從89開，f是周期為8的周期數(shù)列。故nf

2010

(2010)

2005

)f

5

)(895

。3、o。

解連結(jié)DC,作1

1

，垂足為延長交于F，則

FEBD

，連結(jié)AE，由對稱性知

AEBD1

是二面角的平面角ABDA1連結(jié)，設(shè)AB，則

2,

D1C1A1FE2，在RABD中11BD1AE2AE在AEC中,AE

A

D

B

C120

0

,而是

的補角，

FEA

0

。4。4018

解：三個成遞增等差列，設(shè)為

aa,

，按題意必滿足

2010,

d1004

。

對于給定

可以取L,2010d

.10

bc則bc則故三數(shù)成增等差數(shù)列個數(shù)為

1004

2d)

*1004.三數(shù)成遞等差數(shù)列的率為

d1005*1004C340182010

。5

174

。

解：由條，有，ab令

x,by

；則

a

y,2

,c

2

，從而原條可化為：yzzyxxy令

,tzt

，解得

t

1172

或t

12

，故

bt17az2461.解經(jīng)過M,兩點的圓的圓在線段垂直平分線

y上，設(shè)圓為

S()

，則圓的方程為：

)

2

y)

2

2(1

2

對于定長弦在優(yōu)弧上對的圓周角會著圓的半徑小而角度增大所以，當取最大值時，過

M,

三點的圓S必與x軸相切于點P，即圓的方程中的a值必須滿足2(1)a3)

解得

a

或

a

.即對應(yīng)的點分別為P(1,0)和P

，而過點

MN,

的圓的半徑大于過

M,

的圓的半，所以

MP'N，故點P所求，所點P的橫坐標為

1.11

nnnnn0nix)nnnnn0nix)7、

13

(2

n

3)

.解：設(shè)

11bn0,1,2,...,則3)(6)18,annn即

3bn

0.nn

111b2(b)333故數(shù)列

13

是公比為2的等比數(shù)列，bn

1111b)3330

n

。nn1nbin2a3iiii

n

、解：1f(x))x

1cosxsinx

(sinxx)

4x)xcottancosxcot（由調(diào)和均值不等式

要使上式號成立，當僅當cotx(1)tanxcoscotxsinx(2)（1）（2）得

sinxxcosx

，即得

sinx

。因為

x

2

)

，所以當

x

4

時，

f(x)f()44

。所以

minfx)

。12

abab二、解答9證明：令

0

,則有

a

，且

1

akaak

kk

(k2,)于是

n

kaakk

kk由算術(shù)-幾何平均值不式，可得

aa2+01Laaann注意到

a01

，可知n

nann

nn

ann

n

，即

A

BPO

A10、解（1）設(shè)直線l：

kx代入x

y

2

m

得：(122得：2m2

，設(shè)

(

,y

)

，

C(2

，則有

x

bk

，

12

m1

，設(shè)

A

3

y

3

)

，

(,)4

，易得：，x1

1

，由

|||

|

，故

||

|x

|

，13

，121122，121122代入得

24(2m)1b()2223

，整理得：

(k

，又

|OA|

b|OD2

|

，

，

S

bm|

為定值.（2）設(shè)BC中點為，中點為

則

xx2

，

2

，所以

xP

Q

，P重合，從而

|DP|

，從而

|CD

，又的面積等于AOD

面積的，以3

|BC|

，從而

AB|CD|

.11、解Ⅰ）設(shè)

x1

x則4x22

tx1

22

tx0,24(t()x()122

12

則

2xfx)f(x)2x22

()x211(x22

又

1t()x(x)xxfx)f(x)1211故

f

在區(qū)間函。1Q4g(t)max(x)minf()f(

f(

(

14

t28tt222t2iii3ii33t28tt222t2iii3ii33

t

2

5251622516（Ⅱ）證)i

216(3)uucosiii2ucos2ui

224166162u169cos2uii

i1,2,3)u)sing)166166iiii

u)iQu且u(0,),i1,2,32i

u)iiii

，而均值不式與柯西不式中，等號不同時成立，

11)g(tanuu)(tanu)312二

試一、證明延長PA交EF于D，則PEG和PHF別是與的線，由梅涅斯定理得：DECGgECGAPDBFAHgPAHB

11L

①②eO1

都是ABC的旁切圓，P15

====1CG(CAAB)BFHF2于是由①②、③得：DEGA

③O

1

G

A

H

O

2AH又RtAGO:Rt1

EBDCF∴

DEGAFDAH

=

AO1AO2而

,O1

三點共線且

OOFEF,2∴

PAx2525二明不等式可形為x552z5

即

xy22y22xy2522z52y

由柯西不式以及可得(

5

2

2

)(yzy

2

2

)

2

xyz

2

2

)

2

(

)

,即同理

x222xy2x22x2zx22y5x2yx2xy2z52yxy2上面三式加并利用xy22xy得x2222x2yxyyzxy2y52yxy216

n22k2k2k2kn22k2k2k2k三、解：對任

,N

*

，若

k2ak

2

，則

12k

，設(shè)則

1{}

11a

a2kkk[]aa{}

].讓

跑遍區(qū)間(k2(

2

）中的所整數(shù)，則k

kk[][],{}ii于是

(na

f(a)ii

i

]

……①下面計算i

[

2ki

],

畫一張

k

的表，第i行中，是i行中的位數(shù)處填“*號則這行“*號共[]個全表“*號ii

2k[]i個；另一面，按列收“*”號數(shù)，第j列中，若jT(j)

個正因數(shù)，則列使有

(j)

個“”號，故全表*號個數(shù)共j

T(j)

個，因此](j).iij示例如下ji

1

3

4

5

61

*

*

*

*

*

*

*

*

*3

*

*17

nn2562{}24025nn2562{}2402545

*6

*則

f()

j

[T(1)

(2)]

(n

1)[T

(4)]

[T

1)

(2n)]iij由此，f(k)Tk(k)]k

……②……③記

a(2k(2),k1,2,

易得