高考數(shù)學(xué)立體幾何部分典型例題

（一）1.某幾何體的三視圖如(中側(cè)視圖中的圓弧是半)則該幾何體的表面積為()．A．92＋πC．92＋π

＋14πD.82＋π命題意圖：考察空間幾何體的三視圖，三視圖為載體考察面積易錯(cuò)點(diǎn)1三視圖很難還原成直觀圖（2）公式及數(shù)據(jù)計(jì)算錯(cuò)誤解析由三視圖可知幾何體為一個(gè)長方體上面放著半個(gè)圓柱中長方體的長寬高分別為5,4,4圓柱的底面半徑為，高為5所以該幾何體的表面積為：S5×424×42×5×4×2＋

π×××＝9214π.答案A2小題滿分12分）命題人：賀文寧如圖所示，平面ABCD平面BCEF，且四邊ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF∥CE⊥CEDC＝CE＝4，＝BF＝2.12）求證：AF∥平面CDE；求平面與平面所成銳二面角的余弦值；求直線EF與面ADE所成角的余弦值．命題意圖：線面平行的位置關(guān)系，線面角、二面角的求法/9→→易錯(cuò)點(diǎn)）直接建系，不去證明三條線兩兩垂直2數(shù)據(jù)解錯(cuò)3）線面角求成正弦值證明

法一

取的中點(diǎn)為，連接FG∵BF∥CG且BF＝，∴四邊形BFGC為平行四邊形，則，且FG∵四邊形ABCD為矩形，……..1分∴∥AD且BC＝AD，∴FG∥AD且＝∴四邊形AFGD為平行四邊形，則AFDG.∵DG平面CDE，AF平面CDE，∴AF∥平面.……分解

∵四邊形為矩形，∴⊥，又∵平面ABCD⊥平面，且平面∩平面BCEF＝，⊥CE，∴DC⊥平面…….4分以C原點(diǎn)，所在直線為x軸，CE在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，…………………分根據(jù)題意我們可得以下點(diǎn)的坐標(biāo)：(2,0,4)，(0,0,0)，，，，則AD＝－2,0,0)/91111n41CD1111n41CD1→→EFn－22→1EF|214→DE，－4)．設(shè)平面的一個(gè)法向量為n＝x，，z)，·n＝0則→·n0，＝0∴－40，取z＝1，得n＝(0,1,1)．∵⊥平面.……7→∴平面BCEF的一個(gè)法向量為D＝(0,0,4)．設(shè)平面與平面BCEF所成銳二面角的大小為α，則cos＝

→＝＝，→×221因面與面所成銳二面角的余弦值22

.………………….9分解

根據(jù)(知平面ADE的個(gè)法向量為→n＝(0,1,1)，∵EF＝(2，－2,0)，∴cos〈EF，〉＝＝＝－，……….10分22×1設(shè)直線EF與平面成的角為θ，→3則cosθ＝|sin〈EF，〉＝，因此，直線

EF

與平面

所成角的余弦值為32

.………………….12分（二）1.某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

()．A．8－π

B．8π

C．8－

π2

D．8－

π/912121212命題意圖：考察空間幾何體的三視圖，三視圖為載體考察體積易錯(cuò)點(diǎn)1三視圖很難還原成直觀圖（2）公式及數(shù)據(jù)計(jì)算錯(cuò)誤解析這是一個(gè)正方體切掉兩個(gè)

14

圓柱后得到的幾何體該幾何體的高為＝2

－2

×π×1×28，故選B.答案B2.（本小題滿分12分）命題人：賀文寧如圖所示，四邊形是邊長為的正方形，MD⊥平面，NB⊥平面ABCD，且MD＝1，E為BC中點(diǎn)．求異面直線與AM成角的余弦值；在線段上是否存在點(diǎn)，使得⊥平面AMN？若存在，求線段的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．命題意圖：異面直線所成角；利用空間向量解決探索性問題易錯(cuò)點(diǎn)1異面直線所成角容易找錯(cuò)（2）異面直線所成角的范圍搞不清（3）利用空間向量解決探索性問題，找不到突破口解(1)如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系－.依題意得D，，M(0,0,1)，(0,1,0)，1(1,1,0)，(1,1,1)(，1,0)，………………….1分→所以N＝(－，0，－，/9＝101012122→→22222＝101012122→→22222→AM＝－1,0,1)…….2分設(shè)直線NE與AM所成角為θ，→

→則θ＝〈〉……分→→

1＝

|N·AM→→|N|·|AM

52

2×10＝.………………….5分10所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為(2)如圖，假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)，使得⊥平面，連接AE→→→因?yàn)镹(0,1,1)，可設(shè)A＝λ＝，λ，)，→又EA＝(，－，→→→所以＝EA＋＝(，λ－1，)…….7由⊥平面，得

→→SAM＝0，→→SA＝0，

＋＝，即12故λ＝此時(shí)＝(0，，)，|＝.…………………分2經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)＝時(shí)，ES⊥平面.2在線段AN上存在點(diǎn)，使得ES⊥平面AMN此時(shí)AS＝.……………分/9333333（三）1．一個(gè)多體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為()．23

B.

476

C．6D.7命題意圖：考察空間幾何體的三視圖，三視圖為載體考察體積易錯(cuò)點(diǎn)1三視圖很難還原成直觀圖（2）公式及數(shù)據(jù)計(jì)算錯(cuò)誤解析如圖三視圖可知幾何體是由棱長為的正方體右后和左下分別截去一個(gè)小三棱錐得到的，其體積為1＝22×22×××1×1×1答案A2.（本小題滿分12分）命題人：賀文寧如圖，矩形ABCD所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形ABEF中，∥EF，AB2AD＝＝1，∠BAF60°O，P別為AB，的中點(diǎn)，為底面△的重心．(1)求證：平面ADF⊥平面；(2)求證：∥平面；/9213△3212F3矩形32213△3212F3矩形3212(3)求多面體CD－AFEB的體積.命題意圖：面面垂直，線面平行的判定，空間幾何體的體積易錯(cuò)點(diǎn)1判定時(shí)條件羅列不到位失分（）求體積時(shí)不會(huì)分割(1)證明

∵矩形ABCD所在的平面和平面互相垂直，且⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，……分又AF?ABEF，所以CB⊥AF，又AB＝2，AF＝1，∠＝60°，由余弦定理知BF＝，∴AF

＋BF

＝AB

，得AF⊥，…….2分BF∩CB，∴AF⊥平面CFB又∵AF?ADF；∴平面ADF⊥平面CBF.…………………分(2)證明

連接OM長交于H，則H為BF中點(diǎn)，又為的中，∴PH∥CF，又∵CF?AFC，PH平面AFC∴PH∥平面AFC，…………….6分連接，則PO∥AC，又∵AC?面AFC，?平面，∥平面AFC，∩＝P，∴平面POH平面AFC……分又∵PM?面，∴PM∥平面AFC……分(3)解

多面體－AFEB的體積可分成三棱錐－BEF與四棱錐F－ABCD的體積之和3在等腰梯形ABEF中，計(jì)算得＝1，兩底間的距離EE＝.所以

－

13＝S×CB＝××1××1＝，

－

1133＝S×EE＝×2×1×＝，…分所以V＝V

－

＋

F

－

53＝…….12分/9222222（四）1.幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．命題意圖：考察空間幾何體的三視圖，三視圖為載體考察體積解析由題意可得何體相當(dāng)于一個(gè)棱長為2正方體切去一個(gè)角的相鄰三條棱長分別是1,2,2所以幾何體的體積為8＝33

.答案

2232.（本小題滿分12分）命題人：賀文寧在平行四邊形ABCD中，AB6，AD＝10，BD＝8，E是線段AD的點(diǎn)．如圖所示，沿直線BD將△翻折成△′D，使得平面BCD⊥平面(1)求證：CD⊥平面ABD；(2)求直線BD與平面′所成角的正弦值．命題意圖：空間幾何體的“翻折”問題，考察學(xué)生空間想象能力和知識(shí)遷移能力易錯(cuò)點(diǎn)：把平面圖形轉(zhuǎn)化為空間幾何體，數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，垂直平行關(guān)系錯(cuò)誤(1)證明

平行四邊形中＝6AD＝10＝8，沿直BD將BCD翻折成eq\o\ac(△,)′D，可知C′＝CD＝6，′＝BC＝，BD＝，…………分即BC′2＝C′D2＋BDC′D⊥BD又∵平面BC′D平面ABD，平面′D∩平面ABD＝BDC′D平面′D，∴C′D⊥平面ABD…………/9→→4141→→4141(2)解

由(知′D⊥平面，且CD，如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.則D，B(8,0,0)，C′(0,0,6)．…6∵是線段AD的中點(diǎn)，→∴E(4,3,0)，＝(－．