第五章大數(shù)定理及中心極限定理

第五章大數(shù)定理及中心極限定理第五章大數(shù)定理及中心極限定理“概率是頻率的穩(wěn)定值”。前面已經(jīng)提到，當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)無限增大時(shí)，頻率總在其概率附近擺動(dòng)，逼近某一定值。大數(shù)定理就是從理論上說明這一結(jié)果。正態(tài)分布是概率論中的一個(gè)重要分布，它有著非常廣泛的應(yīng)用。中心極限定理闡明，原本不是正態(tài)分布的一般隨機(jī)變量總和的分布，在一定條件下可以漸近服從正態(tài)分布。這兩類定理是概率統(tǒng)計(jì)中的基本理論，在概率統(tǒng)計(jì)中具有重要地位?！?大數(shù)定理

定理（契比雪夫(Chebyshev)不等式）:設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,則對(duì)于任意正數(shù)ε,有§1.1契比雪夫(Chebyshev)不等式證明(1)設(shè)X的概率密度為p(x),則有(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xk}=pk,則有

例:在供暖的季節(jié),住房的平均溫度為20度,標(biāo)準(zhǔn)差為2度,試估計(jì)住房溫度與平均溫度的偏差的絕對(duì)值小于4度的概率的下界.解解§1.2大數(shù)定律

定義:設(shè){Xk}是隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望E(Xk)(k=1,2,...)存在，若對(duì)于任意ε>0，有則稱隨機(jī)變量序列{Xn}服從大數(shù)定律.§1.2大數(shù)定律

定理（契比雪夫(Chebyshev)大數(shù)定律）:設(shè){Xk}是兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)和方差D(Xk)[k=1,2,...].若存在常數(shù)C,使得D(Xk)≤C(k=1,2,…),則對(duì)于任意給定的ε>0,恒有證明

定理（契比雪夫(Chebyshev)大數(shù)定律）:設(shè){Xk}是兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)和方差D(Xk)[k=1,2,...].若存在常數(shù)C,使得D(Xk)≤C(k=1,2,…),則對(duì)于任意給定的ε>0,恒有該定律的含義是：當(dāng)n很大，服從同一分布的隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)將依概率接近于這些隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。將該定律應(yīng)用于抽樣調(diào)查，就會(huì)有如下結(jié)論：隨著樣本容量n的增加，樣本平均數(shù)將接近于總體平均數(shù)。從而為統(tǒng)計(jì)推斷中依據(jù)樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)提供了理論依據(jù)。

推論(契比雪夫大數(shù)定律的特殊情況):設(shè){Xk}是兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,具有相同的數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2(k=1,2,…),則對(duì)于任意給定的ε>0,恒有注:解所以,滿足切比雪夫大數(shù)定理的條件,可使用大數(shù)定理.伯努里大數(shù)定律:

設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，A發(fā)生的頻數(shù)記為記nA

，fn為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率，則證明:設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則由切比雪夫大數(shù)定律伯努里大數(shù)定律:

設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，記fn為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率，則該定律是切貝雪夫大數(shù)定律的特例，其含義是，當(dāng)n足夠大時(shí)，事件A出現(xiàn)的頻率將幾乎接近于其發(fā)生的概率，即頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律:§2中心極限定理

在一定條件下,許多隨機(jī)變量的極限分布是正態(tài)分布:“若一個(gè)隨機(jī)變量X可以看作許多微小而獨(dú)立的隨機(jī)因素作用的總后果,每一種因素的影響都很小,都有不起壓倒一切的主導(dǎo)作用,則X一般都可以認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布.”

例如對(duì)某物的長度進(jìn)行測(cè)量,在測(cè)量時(shí)有許多隨機(jī)因素影響測(cè)量的結(jié)果.如溫度和濕度等因素對(duì)測(cè)量儀器的影響,使測(cè)量產(chǎn)生誤差X1;測(cè)量者觀察時(shí)視線所產(chǎn)生的誤差X2;測(cè)量者心理和生理上的變化產(chǎn)生的測(cè)量誤差X3;…顯然這些誤差是微小的、隨機(jī)的,而且相互沒有影響.測(cè)量的總誤差是上述各個(gè)因素產(chǎn)生的誤差之和,即∑Xi.

一般地,在研究許多隨機(jī)因素產(chǎn)生的總影響時(shí),很多可以歸結(jié)為研究相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的分布問題,而通常這種和的項(xiàng)數(shù)都很大.因此,需要構(gòu)造一個(gè)項(xiàng)數(shù)越來越多的隨機(jī)變量和的序列:

我們關(guān)心的是當(dāng)n→∞時(shí),隨機(jī)變量和∑Xi的極限分布是什么?由于直接研究∑Xi的極限分布不方便,故先將其標(biāo)準(zhǔn)化為:再來研究隨機(jī)變量序列{Yn}的極限分布.

定義：設(shè){Xk}為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,有有限的數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μk和方差D(Xk)=σk2,令若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,有則稱隨機(jī)變量序列{Xk}服從中心極限定理.

定理(林德貝爾格-勒維(Lindeberg-Levy)定理):設(shè){Xk}為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2,則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x),對(duì)于任意x,滿足獨(dú)立同分布的中心極限定理例:將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？解設(shè)Xk為第k次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,…,100,則X1,…,X100獨(dú)立同分布.由中心極限定理

定理(DeMoivre-Laplace中心極限定理):設(shè)隨機(jī)變量Yn服從二項(xiàng)分布Yn~B(n,p),(o<p<1),則對(duì)于任意x,恒有證明設(shè)X1,X2,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的服從(0-1)分布(P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p)的隨機(jī)變量,則Yn=X1+X2+…+Xn由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)(i=1,2,…,n),由此得解法1設(shè)X為10000個(gè)新生兒中男孩個(gè)數(shù)則X服從B(n,p)，其中n=10000，p=0.515由德莫弗-拉普拉斯中心極限定理，所求概率為設(shè)X為10000個(gè)新生兒中男孩個(gè)數(shù)則女孩不少于男孩的概率為解法2

例:一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓Vk(k=1,2,…,20),它們相互獨(dú)立且都在區(qū)間[0,10]上服從均勻分布,噪聲電壓總和V=V1+V2+…+V20,求P{V>105}的近似值.

解:易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由獨(dú)立同分布的中心極限定理知近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),于是

例:

在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.6%，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問：

(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？

(2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于60000元的概率至少為90%，賠償金至多可設(shè)為多少？解

設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則X~B(n,p),其中n=10000，p=0.6%，設(shè)Y表示保險(xiǎn)公司一年的利潤，

Y=1000012-1000X于是由中心極限定理

(1)P{Y<0}=P{1000012-1000X<0}=1P{X120}1

(7.75)=0;P{Y>60000}=P{1000012-aX