橢圓及其標準方程（同步練習）

橢圓及其標準方程（練習）(60分鐘100分)1．(5分)若橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的點M到焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，則|ON|(O為坐標原點)的值為()A．4 B．2C．8 \f(3,2)2．(5分)已知A(0，－1)，B(0，1)兩點，△ABC的周長為6，則△ABC的頂點C的軌跡方程是()\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠±2)\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(y≠±2)\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠0)\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(y≠0)3.(5分)已知F1，F2為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________.4．(5分)中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且過兩點(4，0)，(0，2)的橢圓方程為()\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 \f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1 \f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝15．(5分)若方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,m＋6)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數m的取值范圍是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D．(－6，－2)∪(3，＋∞)6．(5分)(多選)若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，則m＝()A．1 B．3C．5 D．77.(5分)已知橢圓中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓與x軸的交點到兩焦點的距離分別為3和1，則橢圓的標準方程為________．8.(5分)動點P(x，y)到兩定點F1(0，－3)，F2(0，3)的距離和10，則點P的軌跡方程為____________．9.(5分)如圖，設A，B的坐標分別為(－5，0)，(5，0)．直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為－eq\f(4,9)，則點M的軌跡方程為________．提升篇提升篇10.(5分)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件11．(5分)(多選)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|＝3，則()A．橢圓的焦點在y軸上B．△ABF1的周長為6C．△AF1F2的周長為6D．橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝112．(5分)(多選)已知P為橢圓C上一點，F1，F2為橢圓的焦點，且|F1F2|＝2eq\r(3)，若|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，則橢圓C的標準方程為()\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1\f(x2,45)＋eq\f(y2,48)＝1\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1\f(x2,48)＋eq\f(y2,45)＝113．(5分)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()\f(x2,2)＋y2＝1\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝114.(5分)若橢圓2kx2＋ky2＝1的一個焦點為(0，－4)，則k的值為________．15.(5分)已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|＋|AF2|的最大值為5，則b的值是________．16.(5分)橢圓的兩焦點為F1(－4，0)，F2(4，0)，點P在橢圓上，若△PF1F2的面積最大為12，則橢圓的方程為______________．17.(10分)求滿足下列條件的橢圓的標準方程．(1)焦點在y軸上，焦距是4，且經過點M(3，2)；(2)已知eq\f(a,c)＝eq\f(13,5)，且橢圓上一點到兩焦點的距離的和為26.18.(10分)如圖所示，在圓C：(x＋1)2＋y2＝25內有一點A(1，0)．Q為圓C上一點，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點M，求點M的軌跡方程．橢圓及其標準方程（練習）(60分鐘100分)基礎篇基礎篇1．(5分)若橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的點M到焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，則|ON|(O為坐標原點)的值為()A．4 B．2C．8 \f(3,2)A解析：由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，知a＝5，根據橢圓的定義，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，所以|MF2|＝10－2＝8.又O為F1F2的中點，N為F1M的中點，所以ON為△MF1F2的中位線，所以|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝4.2．(5分)已知A(0，－1)，B(0，1)兩點，△ABC的周長為6，則△ABC的頂點C的軌跡方程是()\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠±2)\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(y≠±2)\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠0)\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(y≠0)B解析：因為2c＝|AB|＝2，所以c＝1，所以|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，所以頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(A，B，C不共線)．因此，頂點C的軌跡方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(y≠±2)．3.(5分)已知F1，F2為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________.8解析：由橢圓的定義知|F2A|＋|F1A|＋|F2B|＋|F1B|＝4a＝20，所以|F1A|＋|F1B|＝|AB|＝20－12＝8.4．(5分)中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且過兩點(4，0)，(0，2)的橢圓方程為()\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 \f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1 \f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1D解析：(方法一)驗證排除，將點(4，0)代入驗證可排除A，B，C，故選D.(方法二)設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16m＝1，,4n＝1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,16)，,n＝\f(1,4)，))故選D.5．(5分)若方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,m＋6)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數m的取值范圍是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D．(－6，－2)∪(3，＋∞)D解析：因為橢圓的焦點在x軸上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2>m＋6，,m＋6>0，))所以m>3或－6<m<－2.6．(5分)(多選)若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，則m＝()A．1 B．3C．5 D．7BC解析：當焦點在x軸上時，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4.又2c＝2，所以c＝1，所以m－4＝1，所以m＝5.當焦點在y軸上時，a2＝4，b2＝m，所以c2＝4－m＝1，所以m＝3.7.(5分)已知橢圓中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓與x軸的交點到兩焦點的距離分別為3和1，則橢圓的標準方程為________．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1解析：由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3，,a－c＝1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1，))故b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.8.(5分)動點P(x，y)到兩定點F1(0，－3)，F2(0，3)的距離和10，則點P的軌跡方程為____________．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1解析：由題意，點P的軌跡為橢圓，且a＝5，c＝3，焦點在y軸上．9.(5分)如圖，設A，B的坐標分別為(－5，0)，(5，0)．直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為－eq\f(4,9)，則點M的軌跡方程為________．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(100,9))＝1(x≠±5)解析：設點M(x，y)，則kAM＝eq\f(y,x＋5)(x≠－5)，kBM＝eq\f(y,x－5)(x≠5)．由已知有eq\f(y,x＋5)×eq\f(y,x－5)＝－eq\f(4,9)，化簡即可得點M的軌跡方程eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(100,9))＝1(x≠±5)．提升篇提升篇10.(5分)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C解析：把橢圓方程化成eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1.若m＞n＞0，則eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0.所以橢圓的焦點在y軸上．反之，若橢圓的焦點在y軸上，則eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0，即有m＞n＞0.故為充要條件．11．(5分)(多選)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|＝3，則()A．橢圓的焦點在y軸上B．△ABF1的周長為6C．△AF1F2的周長為6D．橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1CD解析：顯然橢圓的焦點在x軸上，A錯誤．設橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，c＝1.因為過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點，設A(c，y1)，代入方程可得eq\f(c2,a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1.求得yeq\o\al(2,1)＝eq\f(b4,a2).由于|AB|＝3，所以eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，b2＝a2－c2，所以a2＝4，a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，△ABF1的周長為4a＝8，△AF1F2的周長為2a＋2c＝6.12．(5分)(多選)已知P為橢圓C上一點，F1，F2為橢圓的焦點，且|F1F2|＝2eq\r(3)，若|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，則橢圓C的標準方程為()\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1\f(x2,45)＋eq\f(y2,48)＝1\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1\f(x2,48)＋eq\f(y2,45)＝1AC解析：由已知2c＝|F1F2|＝2eq\r(3)，所以c＝eq\r(3).因為2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4eq\r(3)，所以a＝2eq\r(3).所以b2＝a2－c2＝9.故橢圓C的標準方程是eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.13．(5分)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()\f(x2,2)＋y2＝1\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1B解析：(方法一)如圖，由已知可設|F2B|＝n，則|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n.由橢圓的定義有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推論得cos∠F1AB＝eq\f(4n2＋9n2－9n2,2·2n·3n)＝eq\f(1,3).在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·eq\f(1,3)＝4，解得n＝eq\f(\r(3),2).所以2a＝4n＝2eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求橢圓方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(方法二)由已知可設|F2B|＝n，則|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n.由橢圓的定義有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4n2＋4－2·2n×2×cos∠AF2F1＝4n2，,n2＋4－2·n×2×cos∠BF2F1＝9n2.))又∠AF2F1，∠BF2F1互補，所以cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，兩式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，得3n2＋6＝11n2，解得n＝eq\f(\r(3),2).所以2a＝4n＝2eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求橢圓方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.14.(5分)若橢圓2kx2＋ky2＝1的一個焦點為(0，－4)，則k的值為________．eq\f(1,32)解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1變形為eq\f(y2,\f(1,k))＋eq\f(x2,\f(1,2k))＝1，因為焦點在y軸上，所以eq\f(1,k)－eq\f(1,2k)＝16，解得k＝eq\f(1,32).15.(5分)已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|＋|AF2|的最大值為5，則b的值是________．eq\r(3)解析：由橢圓的方程可知a＝2，由橢圓的定義可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由橢圓的性質可知過橢圓焦點的弦中垂直長軸的弦最短，即eq\f(2b2,a)＝3.所以b2＝3，即b＝eq\r(3).16.(5分)橢圓的兩焦點為F1(－4，0)，F2(4，0)，點P在橢圓上，若△PF1F2的面積最大為12，則橢圓的方程為______________．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1解析：由已知2c＝8，如圖，當P在y軸上時△PF1F2的面積最大，所以eq\f(1,2)×8×b＝12，所以b＝3.所以a2＝b2＋c2＝25.所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.1