正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象同步設(shè)計(jì)

正弦函數(shù)的性質(zhì)及圖象教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】探究并掌握的周期性、奇偶性和最值會(huì)利用正弦函數(shù)額性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題會(huì)利用五點(diǎn)法畫(huà)出正弦函數(shù)的圖象【教學(xué)重點(diǎn)】五點(diǎn)法作圖、正弦函數(shù)的性質(zhì)【教學(xué)難點(diǎn)】函數(shù)周期性的理解，正弦函數(shù)性質(zhì)的理解和應(yīng)用【教學(xué)過(guò)程】問(wèn)題1：正弦函數(shù)的定義知識(shí)點(diǎn)1正弦函數(shù)的定義正弦函數(shù)：對(duì)于任意一個(gè)角x，都有唯一確定的正弦sinx與之對(duì)應(yīng)，因此y＝sinx是一個(gè)函數(shù)，一般稱(chēng)為正弦函數(shù)．用正弦線(xiàn)可以直觀(guān)地表示正弦函數(shù)地函數(shù)值，如圖，就是角x的正弦線(xiàn)。問(wèn)題2：正弦函數(shù)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)2：定義域與值域因?yàn)槿我饨嵌加姓?，所以的定義域?yàn)镽，由圖中的正弦線(xiàn)可以看出，長(zhǎng)度的最大是1，最小是0，因此可知的值域?yàn)?，而且?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.例1.已知，求t的取值范圍。解：因?yàn)?，所以由此解得知識(shí)點(diǎn)3：奇偶性由誘導(dǎo)公式，可知正弦函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)。【對(duì)點(diǎn)快練】函數(shù)y＝sin(x＋π)的圖像關(guān)于()A．x軸對(duì)稱(chēng) B．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．y軸對(duì)稱(chēng) D．直線(xiàn)x＝eq\f(π,2)對(duì)稱(chēng)答案：B因?yàn)閥＝sin(x＋π)＝－sinx為奇函數(shù)，所以其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．由誘導(dǎo)公式可知，當(dāng)自變量x的值每增加或減少的整數(shù)倍時(shí)，正弦值重復(fù)出現(xiàn)，這種性質(zhì)稱(chēng)為正弦函數(shù)的周期性。知識(shí)點(diǎn)4：正弦函數(shù)的周期性1．周期函數(shù)定義：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都滿(mǎn)足f(x＋T)＝f(x)，那么就稱(chēng)f(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期．對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就稱(chēng)為f(x)的最小正周期．2．正弦函數(shù)的周期：正弦函數(shù)y＝sinx是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.【對(duì)點(diǎn)快練】1．函數(shù)y＝2sinx－1的最小正周期是____________．答案：2πy＝sinx的最小正周期是2π，所以y＝2sinx－1的最小正周期是2π.2．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝2x2，則f(7)＝____________.答案：－2因?yàn)閒(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期是4，所以f(7)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.由是以為周期的周期函數(shù)可知，我們只要知道正弦函數(shù)在一個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，就能得到正弦函數(shù)在R上的單調(diào)性。由圖中的正弦線(xiàn)可以看出，正弦函數(shù)在區(qū)間上，從-1增大到1，是遞增的；在區(qū)間上，從1減少到-1，是遞減的。知識(shí)點(diǎn)5：?jiǎn)握{(diào)性一般地，正弦函數(shù)在區(qū)間上遞增，在上遞減。【對(duì)點(diǎn)快練】在下列區(qū)間中，使函數(shù)y＝sinx為增函數(shù)的是()A．[0，π] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D．[π，2π]答案：C由正弦曲線(xiàn)知y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數(shù)．例2.不求值，比較和的大小。解：因?yàn)橛忠驗(yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)遞增，且，所以因此【變式練習(xí)1】(1)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝sinx－|a|(x∈R)為奇函數(shù)，則a等于()A．0 B．1C．－1 D．±1(2)函數(shù)y＝sineq\f(π,2)x的最小正周期是____________．(3)比較sin(－320°)與sin700°的大?。鸢福?1)A函數(shù)定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sinx＋|a|，所以|a|＝0，從而a＝0.(2)4令z＝eq\f(π,2)x，且y＝sinz的最小正周期為2π.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋2π))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋4))∴由周期函數(shù)定義，T＝4是y＝sineq\f(π,2)x的最小正周期．(3)解∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin40°，sin700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)，又函數(shù)y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數(shù)，∴sin40°>sin(－20°)，∴sin(－320°)>sin700°.【變式練習(xí)2】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5,2)π))；(2)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\r(1＋sin2x))).解(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5,2)π))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\r(2)cos2x，顯然有f(－x)＝f(x)成立．∴f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5,2)π))為偶函數(shù)．(2)函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f(－x)＋f(x)＝lg(－sinx＋eq\r(1＋sin2x))＋lg(sinx＋eq\r(1＋sin2x))＝lg(sinx＋eq\r(1＋sin2x))(－sinx＋eq\r(1＋sin2x))＝lg(1＋sin2x－sin2x)＝lg1＝0，則f(－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\r(1＋sin2x)))為奇函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)6：正弦函數(shù)的零點(diǎn)正弦函數(shù)y＝sinx的零點(diǎn)是kπ(k∈Z).【對(duì)點(diǎn)快練】函數(shù)y＝2sinx的零點(diǎn)是____________．答案:kπ，k∈Z令y＝0，得x＝kπ，k∈Z，所以函數(shù)的零點(diǎn)是kπ，k∈Z.例3.求下列函數(shù)的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值時(shí)x的值。（1）；（2）（3）解：（1）函數(shù)與同時(shí)取得最大值和最小值，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值-1；當(dāng)時(shí)，取得最大值-3.（2）令，則于是就轉(zhuǎn)化為求閉區(qū)間上二次函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題了。因?yàn)闀r(shí)，，所以，因此從而，此時(shí)即；，此時(shí).(3)令則因?yàn)闀r(shí)，，因此從而此時(shí)；此時(shí)即或.【變式練習(xí)1】求函數(shù)y＝1－2cos2x＋5sinx的最大值和最小值．解y＝1－2cos2x＋5sinx＝2sin2x＋5sinx－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(5,4)))2－eq\f(33,8).令sinx＝t，則t∈[－1,1]，則y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(5,4)))2－eq\f(33,8).因?yàn)楹瘮?shù)y在[－1,1]上是增函數(shù)，所以當(dāng)t＝sinx＝－1時(shí)，函數(shù)取得最小值－4，當(dāng)t＝sinx＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值6.【變式練習(xí)2】本例題中若限定x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))，函數(shù)解析式不變，如何求函數(shù)的最大值與最小值？解y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(5,4)))2－eq\f(33,8).令sinx＝t，因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))，則t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，則y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(5,4)))2－eq\f(33,8).因?yàn)楹瘮?shù)y在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上是增函數(shù)，所以當(dāng)t＝sinx＝－eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)取得最小值－3，當(dāng)t＝sinx＝eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)取得最大值2.問(wèn)題3：正弦函數(shù)的圖象由是以為周期的周期函數(shù)可知，只要知道正弦函數(shù)在一個(gè)長(zhǎng)度為的閉區(qū)間的圖象，就可以得到正弦函數(shù)在R上的圖象。下面我們探討正弦函數(shù)在區(qū)間上的圖象。又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以在和上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此只要探討在上的圖象即可。取中的幾個(gè)值，列表如下：在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，如圖所示，又根據(jù)在上遞增，在上遞減等信息，可知將這些點(diǎn)連接起來(lái)，形成光滑的曲線(xiàn)，就可以得到在上的函數(shù)圖象。然后作這一段圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象，最后得到在上的圖象，如圖所示。由于的周期是，所以正弦函數(shù)在上的函數(shù)圖象與其在的函數(shù)圖象形狀完全相同，因此不難得到正弦函數(shù)的圖象，如圖所示。一般地，的函數(shù)圖象稱(chēng)為正弦曲線(xiàn)。由圖象可知，正弦曲線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸為，正弦曲線(xiàn)也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心為，另外，這兩個(gè)結(jié)論也可以從關(guān)系式和得到，其中。知識(shí)點(diǎn)7正弦函數(shù)的圖像1．一般地，函數(shù)y＝sinx的圖像稱(chēng)為正弦曲線(xiàn)，利用五點(diǎn)法作正弦曲線(xiàn)，這五個(gè)點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像向左、右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度)，就可以得到正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖像．2．正弦函數(shù)y＝sinx的圖像對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(π,2)＋kπ，對(duì)稱(chēng)中心為(kπ，0)，其中k∈Z.【對(duì)點(diǎn)快練】1．用五點(diǎn)法畫(huà)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像時(shí)，下列哪個(gè)點(diǎn)不是關(guān)鍵點(diǎn)()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))C．(π，0) D．(2π，0)答案：A易知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))不是關(guān)鍵點(diǎn)．2．函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像與函數(shù)y＝1的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案：A當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，y＝1，所以函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像與函數(shù)y＝1的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)．例4.用五點(diǎn)法作函數(shù)的圖象。解：找關(guān)鍵的五個(gè)點(diǎn)，列表如下：描點(diǎn)作圖，如圖所示：由圖可以看出對(duì)于任意一個(gè)，函數(shù)的函數(shù)值比的函數(shù)值大1，因此的圖象可由的圖象向上平移一個(gè)單位得到。【變式練習(xí)】用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖．y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]．解列表：X0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101＋2sinx131－11在直角坐標(biāo)系中描出五點(diǎn)(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))，(π，1)eq\b\lc\(\