正弦定理與余弦定理的應(yīng)用同步練習(xí)2

正弦定理與余弦定理的應(yīng)用（2）同步練習(xí)1．已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°2．據(jù)新華社報(bào)道，強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“珍珠”在廣東饒平登陸．臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí)以上，大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來(lái)嚴(yán)重的災(zāi)害，不少大樹被大風(fēng)折斷．某路邊一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，樹尖與地面成45°角，樹干也傾斜，與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是()\f(20\r(6),3)米 B．10eq\r(6)米\f(10\r(6),3)米 D．20eq\r(2)米3．甲船在B島的正南A處，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們航行的時(shí)間是()\f(150,7)min \f(15,7)hC． D．4．一艘船以4km/h的速度與水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速為2km/h，則經(jīng)過(guò)eq\r(3)h，該船實(shí)際航程為()A．2eq\r(15)km B．6kmC．2eq\r(21)km D．8km5．如圖，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A、B是南北方向上的兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角為()A．75°B．60°C．50°D．45°6．一只螞蟻沿東北方向爬行xcm后，再向右轉(zhuǎn)105°爬行20cm，又向右轉(zhuǎn)135°，這樣繼續(xù)爬行可回到出發(fā)點(diǎn)處，那么x＝________.7.如圖所示，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，一船正向南航行，在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后，在C處測(cè)得小島在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？如圖，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)，沿海岸一條直線公路以100千米/小時(shí)的速度向東勻速行駛，汽車開動(dòng)時(shí)，在O點(diǎn)南偏東方向距O點(diǎn)500千米且與海岸距離為300千米的海上M處有一快艇，與汽車同時(shí)出發(fā)，要把一件重要的物品遞送給這輛汽車的司機(jī)，問(wèn)快艇至少必須以多大的速度行駛，才能把物品遞送到司機(jī)手中？并求快艇以最小速度行駛時(shí)方向與OM所成的角．

參考答案如圖所示，∠ECA＝40°，∠FCB＝60°，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝eq\f(180°－80°,2)＝50°，∴∠ABG＝180°－∠CBH－∠CBA＝180°－120°－50°＝10°.故選B.2.A設(shè)樹干底部為O，折斷點(diǎn)為P，樹尖著地處為M，如圖，△OPM中，∠P＝180°－∠M－∠O＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理得eq\f(PO,sinM)＝eq\f(MO,sinP)，∴PO＝eq\f(MOsinM,sinP)＝eq\f(20×sin45°,sin60°)＝eq\f(20\r(6),3).3.A如圖，設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)時(shí)距離為s，則在△BPQ中，由余弦定理知：PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－eq\f(1,2))＝28x2－20x＋100.當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)＝eq\f(5,14)時(shí)，s2最小，此時(shí)x＝eq\f(5,14)h＝eq\f(150,7)min.4.B如圖，∵|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝4，∠AOB＝120°，∴∠A＝60°，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋42－2×2×4cos60°)＝2eq\r(3).經(jīng)過(guò)eq\r(3)h，該船的航程為2eq\r(3)×eq\r(3)＝6(km)．5.C如圖，作CE⊥平面ABD于點(diǎn)E，則∠CDE是太陽(yáng)光線與地面所成的角，即∠CDE＝40°，延長(zhǎng)DE交直線AB于點(diǎn)F，連接CF，則∠CFD是遮陽(yáng)棚與地面所成的角，設(shè)為α.要使S△ABD最大，只需DF最大．在△CFD中，eq\f(CF,sin40°)＝eq\f(DF,sin140°－α).∴DF＝eq\f(CF·sin140°－α,sin40°).∵CF為定值，∴當(dāng)α＝50°時(shí)，DF最大．6.eq\f(20,3)eq\r(6)如圖△ABC中，∠A＝45°＋15°＝60°，∠B＝45°＋30°＝75°，∠ACB＝45°，由正弦定理知eq\f(x,sin∠ACB)＝eq\f(20,sinA)，∴x＝eq\f(20,3)eq\r(6).7.【解析】在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即：eq\f(30,sin15°)＝eq\f(AC,sin30°)∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))，∴A到BC的距離為d＝ACsin45°＝15(eq\r(3)＋1)≈海里>38海里，所以繼續(xù)向南航行，沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．8.【解析】如圖所示，設(shè)快艇從M處以v千米/小時(shí)的速度出發(fā)，沿MN方向航行，t小時(shí)后與汽車相遇．在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt，設(shè)∠MON＝α，由題意得sinα＝eq\f(3,5)，則cosα＝eq\f(4,5).由余弦定理，得MN2＝OM2＋ON2－2OM·ON·cosα，即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×eq\f(4,5).v2＝5002×eq\f(1,t2)－2×500×80×eq\f(1,t)＋1002＝(500×eq\f(1,t)－80)2＋3600.當(dāng)eq\f(1,t)＝eq\f(80,500)，即t＝eq\f(25,4)時(shí)，veq\o\al(2,min)＝3