參考教程分析

積微精2017高二091、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b結(jié)幾何表坐標(biāo)表模|a|＝|a|＝ a·b＝|a||b|cos夾cosθ＝ cosθ＝x2＋y2· |a·b|與|a||b||x1x2＋y1y2|≤x2＋y2· 2、向量在幾何中的應(yīng)①cos〈a，b〉＝a·b

x2＋y2 AB2＝3、向量與相關(guān)知識(shí)的平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))與垂直求解相關(guān)問(wèn)題．例題精 1、如7－10，在梯形ABCD→ →若AC·BM＝－3，則 →

→1→

(

ADAB)

3

2 2→→ ∴3

3

×422→ →→∴－AB·AD＝－1，∴AB·AD＝ 例2、若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值 解析：設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，則x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，則(a－c)(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.又 ∴|a＋b－c|＝（1－x）2＋（1－y）2＝ 法一如圖.c＝(x，y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在AB上，而①式的幾何意義為P點(diǎn)到AB上點(diǎn)的距離，其最大值為1. 法二|a＋b－c|＝（x－1）2＋（y－1）2＝x2＋y2－2x－2y＋2＝＝ ≤ 3、已知＝1＝3→＝0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC＝30°， (m，n∈R)，則mn解析：由題設(shè)知 →，→＝

→

→

→ →3333

m|OA| 所以→→＝2 ＝2

→ ＝22

m

＋2mnOA·OB＋n2|OB|2·|因?yàn)? →

＝?

又因?yàn)辄c(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，所以m>0，n>0，所以n 4ABCDDADBDCDADBDBDCDCDA4 P,M滿(mǎn)足AP2,PMMC，則BM的最大值 解析:設(shè)|DA||DB||DC|r,r2cosr2cosr2cos4由題設(shè)可知1200,r28r22建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則 2),B(6,0),C(6,0)由題意點(diǎn)P在以A為圓心的圓上,M是線(xiàn)段PC的中點(diǎn)故結(jié)合圖形可知當(dāng)CP與圓相切時(shí), 的值最大,其最大值是 ＝例5、已知邊長(zhǎng)為4的正三角形 →1→→＝1→，AD與BE交于點(diǎn)P，則→→的值 ＝

b解析：法一：設(shè)→＝a＝b.a·＝8.設(shè)＝→＝λa＋μb 3 → ,

2 ＝

→→→解得λ＝，μ＝，η＝，PB＝AB－AP＝4

－1b，→44 4 44

→ a－ a＋

4＝(aa

法二：BCx軸，ADy軸，建立坐標(biāo)系，B(－2,0)，C(2,0)，A(0,23)，P(0，→所以PB·PD＝(－23)·(0→ →BA·CA＝BF·CF＝－1則 BE·CE的值是 →解析設(shè)則→1 2

2

a＋2→2→ 3

AD＝a＋ →1→ 3

AD＝a＋ →→

a＋

a＋

a＋

a－3 —a＋ a－ 2 2 2 則 .

3＝－a－b

(a＋b)＋

92又→→ BE＝BA＋AE＝－a＋a＋

a＋

a＋

a－6 則

—a＋

a－ 6＝－(a＋b

a·b＝－

＋×4＝ 課后練習(xí)（5題，241、在ABC中，AB邊上的CO2PAPsin2AOcos2ACR

PA

2、已知菱ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若→AEAF＝1，則λ的值

|a|x ．4、在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，動(dòng)點(diǎn)E和F分別段BC1DC上，且 →，則→·→的最小值 1

5、已O為△ABC的外心

→＝ ，若a

αAB＋βAC，則α＋β的最小值 答1、解：因?yàn)锳Psin2AOcos2ACR，系數(shù)之和為1，故C,P,O三點(diǎn)共線(xiàn)，且sin2,cos20,1所以點(diǎn)P 段OC上，設(shè)PQtt0,2， 故PAPBPC2POPC2t2t1 2當(dāng)t1時(shí)，取最小值→→→→1 1 12、解析：法一如圖，AE＝AB＋BE＝AB＋BC，AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝BC＋ → 所以

1→

1→AE·AF＝(AB BC)(BC AB)＝(1 )AB·BC＋AB＋ ＝(11×2×2×cos1204＋4＝1，解得 λ法二建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.A(0，1)，C(0，－1)，B(－3，0)，D(E，F(xiàn)E(231，F(xiàn)(3(111 3→ 3

∴AE·AF＝ ,)(

＝－2(11＋4(11＝1，解得 2∵函數(shù)f(x)R上有極值即Δ＝|a|－4a·b>0，∴2

方程x2＋|a|x＋a·b＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根a·b<4又∵|a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝a·b< (又∵θ∈[0，π]，∴θ∈(3

＝cosθ< 24、解析：→梯形ABCD可得DC＝1，＝＋→＝1 → 1 1 1∴AE·AF＝(AB＋λBC)·(

＝2×1×cos60°＋2×1＋λ×1×cos60°＋λ·1×cos120°＝ λ

2 ·＋＝＋當(dāng)且僅當(dāng)

9λ ＝9λ

，即

時(shí)，取得最小值為 法二以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(2，0)，C 3)，D 3)(, (, 2 2又 1又BE＝λBC，DF＝ ,則E(21,3)，F(xiàn)(1 3, 9所以→ 2·1λ29AE·AF＝(2)()＋λ＝＋ ＋λ≥ ＝ 9λ 9λ 9λ → 故AE·AF的最小值為3 3aACn上，AC的中點(diǎn)(12a

，ACtan120°＝－ny3＝3(x

1mn的方程聯(lián)立方程組

x y 3(x12