連續(xù)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實(shí)現(xiàn)

?fft?fftt(t),t連續(xù)線性二次最優(yōu)控的現(xiàn)論最優(yōu)控制問(wèn)題就是在一切可能的控制方案中尋找一個(gè)控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制規(guī)律，使系統(tǒng)能最優(yōu)地達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。隨著航海、航天、導(dǎo)航和控制技術(shù)不斷深入研究，系統(tǒng)的最優(yōu)化問(wèn)題已成為一個(gè)重要的問(wèn)題。本文介紹了最優(yōu)控制的基本原理給定了一個(gè)具體的連續(xù)線性二次型控制系統(tǒng)，利用MATLAB軟件對(duì)其最優(yōu)控制矩陣進(jìn)行了求解，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)得到最優(yōu)控制效果比較好，達(dá)到了設(shè)計(jì)的目的。2.1最優(yōu)控制問(wèn)題設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：x(t)(t),t)

（2—1）式中x(t)是n維狀態(tài)向量u(t)是r控制向量n維向量函數(shù)

f(tt

是x(t)、u(t)和t的連續(xù)函數(shù)，且x(t)與t連續(xù)可微u(t)。所謂最優(yōu)控制問(wèn)題是要尋求最優(yōu)控制函數(shù)得系統(tǒng)狀態(tài)從已知初態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的終態(tài)()，在滿足如下約束條件下：f（1）控制與狀態(tài)的不等式約束

u(tt

（2—2）（2）終端狀態(tài)的等式約束tf

（2—3）使性能指標(biāo)Jtf

t0

Ftt

（2—4）達(dá)到極值。式中

(t

是m維連續(xù)可微的向量函數(shù)m；

Mtf

f

是s連續(xù)可微的向量函數(shù)，ff和

都是x(t)t連續(xù)可tfttftttftfttfttfTtTttfttftttftfttfttfTtTt微向量函數(shù)。2.2最控制的性能指標(biāo)自動(dòng)控制的性能指標(biāo)是衡量系統(tǒng)性能好壞的尺度內(nèi)容與形式取決于最優(yōu)控制所要完成的任務(wù)，不同的控制問(wèn)題應(yīng)取不同的性能指標(biāo)，其基本類(lèi)型如下：（1）積分型性能指標(biāo)

u(t),t

（2—5）表示在整個(gè)控制過(guò)程中，狀態(tài)x(t)控制u(t)應(yīng)達(dá)到某些要求。例如：①最小時(shí)間控制取

Fu(t

=1則

dt

（2—6）②最小燃料消耗控制取

ut),t則

t

（2—7）③最小能量控制取

Fu),

(t)則

t

（2—8）④無(wú)限時(shí)間線性調(diào)節(jié)器取且F(x,ut)

()Qx(t)

u

T

(t)(

其中Q，，均為加權(quán)矩陣，則

()Qxt)T

(t)t)dt

（2—9）⑤無(wú)限時(shí)間線性跟蹤器1J2

0

)Ru(t

（2—）其中，y(t)是系統(tǒng)輸出向量，z(t)是系統(tǒng)希望輸出向量。在性能指標(biāo)式（2—89）中，被積函數(shù)都是x(t)、y(t)-z(t)tffft?tffft?或u(t)的平方項(xiàng)組成，這種能指標(biāo)的形式叫做二次型性能指標(biāo)。（2）末值型性能指標(biāo)

（2—）表示系統(tǒng)在控制過(guò)程結(jié)束后要求系統(tǒng)的終端狀態(tài)x()應(yīng)達(dá)到某些要求在實(shí)際f工程中例如要求導(dǎo)彈的脫靶量最小機(jī)床移動(dòng)的準(zhǔn)確停止等中斷時(shí)刻可以固定，也可以自由，視最優(yōu)控制問(wèn)題的性質(zhì)而定。（3）復(fù)合型性能指標(biāo)Jtut),t0

（2—12）表示對(duì)控制過(guò)程及控制過(guò)程結(jié)束后的終端狀態(tài)均有要求是最一般的性能指標(biāo)形式。2.3最優(yōu)控制問(wèn)題的求解方法解析法。當(dāng)性能指標(biāo)與約束條件為顯式解析表達(dá)式是，適用解析法。通常是用求導(dǎo)方法或變分方法求出最優(yōu)控制的必要條件而得到一組方程式或不等式，然后求解這組方程或不等式，最后得到最優(yōu)控制的解析解。數(shù)值計(jì)算法。當(dāng)性能指標(biāo)比較復(fù)雜或不能用變量的顯函數(shù)表示時(shí)，可以采用試探法，即直接搜索逐步逼近，經(jīng)過(guò)若干次迭代，逐步逼近到最優(yōu)點(diǎn)。（3）梯度法。這是一種解析和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的方法。2.4線性二次型最優(yōu)控制對(duì)于性能指標(biāo)是二次型函數(shù)的線性系統(tǒng)叫做線性二次型最優(yōu)控制性二次型最優(yōu)控制方法的對(duì)象是以狀態(tài)空間表達(dá)時(shí)給出的線性系統(tǒng)性能指標(biāo)是對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)二次型問(wèn)題就是在線性系統(tǒng)的約束條件下選擇控制輸入使得二次型目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小文主要介紹連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制。設(shè)線性連續(xù)訂場(chǎng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x(t)Axt)t),

（2—）式中，x(t)是n維狀態(tài)向量；u(t)r維控制向量，且不受約束；為n×n維常數(shù)矩陣，B為n×r維常數(shù)矩陣。tf?tf??系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：

TQxTt

（2—14）式中端時(shí)間無(wú)限為n×n維數(shù)矩陣為r×r常數(shù)矩陣若下列條件之一滿足：

T

。（10,QQ

T

陣對(duì)A，B}完全可控；（2T,陣對(duì){A，B}完全可控，陣對(duì){A，D}完全可觀DDT，D為任意矩陣，則有最優(yōu)反饋矩陣：K

B

T

P

（2—15）和唯一的最優(yōu)控制：u*()tTPxt

（2—16）以及最優(yōu)性能指標(biāo)：*

T(0)Px(0)

（2—17）式中，P是常值正定矩陣，它是以下里卡提代數(shù)方程的唯一解：PAATPBRTPQ閉環(huán)系統(tǒng)：

（2—18）x(t)ABRT(t(0)x是漸近穩(wěn)定的，其解為最優(yōu)軌線*(t)。2.5連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制實(shí)例已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：

（2—19）

01

0

x00y0系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖21所示。(())圖2—1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由結(jié)構(gòu)圖有系統(tǒng)的控制信號(hào)：krxkxrkkxkrKx2231112231式中反饋增益矩陣K:K1k2k系統(tǒng)性能指標(biāo)：J

xQxdt0其Q

，陣K是J最小并對(duì)其閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行單位階躍給定響應(yīng)的仿真。下面是該題目的MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果：>>a=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];>>c=[100];d=[0];Q=[100000;010;001];R=[1];>>K=lqr(a,b,Q,R)K=26.187012.61891.8891>>k1=K(1);ac=a-b*K;bc=b*k1bc=0026.1870>>cc=c;dc=d;>>step(ac,bc,cc,dc)得到閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應(yīng)的仿真曲線如圖—2所示。圖2—2閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應(yīng)曲線經(jīng)狀態(tài)最優(yōu)反饋后環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應(yīng)曲線略微超調(diào)后立即單調(diào)衰減，這樣的仿真曲線是很理想的，確實(shí)反映了最優(yōu)控制的效果。若本題要求采用輸出反饋，即u(t)()使性能指標(biāo)為：J

0

yT

T

t其中計(jì)算最優(yōu)反饋矩陣

K

0Q10Rk其閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行單位階躍給定響應(yīng)的仿真。此時(shí)該題目的MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果：>>a=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];>>c=[100];d=[0];Q=diag([1000]);R=[1];>>K=lqry(a,b,c,d,Q,R)K=26.187012.48781.8087>>k1=K(1);ac=a-b*K;bc=b*k1;>>cc=c;dc=d;>>step(ac,bc,cc,dc)得到閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應(yīng)的仿真曲線如圖—3所示。圖2—3閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應(yīng)曲線對(duì)比圖2—2和圖2—3