高中數(shù)學必修一專題復習

..第一章集合與函數(shù)概念知識架構(gòu)集合集合集合表示法集合的運算集合的關系列舉法描述法圖示法包含相等子集與真子集交集并集補集函數(shù)函數(shù)及其表示函數(shù)基本性質(zhì)單調(diào)性與最值函數(shù)的概念函數(shù)的奇偶性函數(shù)的表示法映射映射的概念集合與函數(shù)概念第一講集合★知識梳理一：集合的含義及其關系1.集合中的元素具有的三個性質(zhì):確定性、無序性和互異性;2.集合的3種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖；3.集合中元素與集合的關系：文字語言符號語言屬于不屬于4.常見集合的符號表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復數(shù)集符號或二：集合間的基本關系表示關系文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素都相同且子集A中任意一元素均為B中的元素或真子集A中任意一元素均為B中的元素,且B中至少有一元素不是A的元素空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,〔三：集合的基本運算①兩個集合的交集:=;②兩個集合的并集:=;③設全集是U,集合,則交并補方法:常用數(shù)軸或韋恩圖進行集合的交、并、補三種運算.★重、難點突破重點：集合元素的特征、集合的三種表示方法、集合的交、并、補三種運算。難點：正確把握集合元素的特征、進行集合的不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)化,準確進行集合的交、并、補三種運算。重難點：1.集合的概念掌握集合的概念的關鍵是把握集合元素的三大特性,要特別注意集合中元素的互異性,在解題過程中最易被忽視,因此要對結(jié)果進行檢驗；2．集合的表示法〔1列舉法要注意元素的三個特性；〔2描述法要緊緊抓住代表元素以及它所具有的性質(zhì),如、、等的差別,如果對集合中代表元素認識不清,將導致求解錯誤：問題：已知集合〔A.；B.；C.；D.[錯解]誤以為集合表示橢圓,集合表示直線,由于這直線過橢圓的兩個頂點,于是錯選B[正解]C；顯然,,故<3>Venn圖是直觀展示集合的很好方法,在解決集合間元素的有關問題和集合的運算時常用Venn圖。3．集合間的關系的幾個重要結(jié)論〔1空集是任何集合的子集,即〔2任何集合都是它本身的子集,即〔3子集、真子集都有傳遞性,即若,,則4．集合的運算性質(zhì)〔1交集：①；②；③；④,⑤；〔2并集：①；②；③；④,⑤；〔3交、并、補集的關系①；②；★熱點考點題型探析考點一：集合的定義及其關系題型1：集合元素的基本特征[例1]〔20XXXX理定義集合運算：．設,則集合的所有元素之和為〔A．0；B．2；C．3；D．6[解題思路]根據(jù)的定義,讓在中逐一取值,讓在中逐一取值,在值就是的元素[解析]：正確解答本題,必需清楚集合中的元素,顯然,根據(jù)題中定義的集合運算知=,故應選擇D[名師指引]這類將新定義的運算引入集合的問題因為背景公平,所以成為高考的一個熱點,這時要充分理解所定義的運算即可,但要特別注意集合元素的互異性。題型2：集合間的基本關系[例2]．數(shù)集與之的關系是〔A．；B．；C．；D．[解題思路]可有兩種思路：一是將和的元素列舉出來,然后進行判斷；也可依選擇支之間的關系進行判斷。[解析]從題意看,數(shù)集與之間必然有關系,如果A成立,則D就成立,這不可能；同樣,B也不能成立；而如果D成立,則A、B中必有一個成立,這也不可能,所以只能是C[名師指引]新定義問題是高考的一個熱點,解決這類問題的辦法就是嚴格根據(jù)題中的定義,逐個進行檢驗,不方便進行檢驗的,就設法舉反例。[新題導練]1．第二十九屆夏季奧林匹克運動會將于2008年8月8日在北京舉行,若集合A={參加北京奧運會比賽的運動員},集合B={參加北京奧運會比賽的男運動員},集合C={參加北京奧運會比賽的女運動員},則下列關系正確的是〔A．B.C.D.[解析]D；因為全集為,而=全集=2．<2006?XX改編定義集合運算:,設集合,,則集合的所有元素之和為[解析]18,根據(jù)的定義,得到,故的所有元素之和為183．<2007·XX改編設和是兩個集合,定義集合,如果,,那么等于[解析]；因為,,所以4．研究集合,,之間的關系[解析]與,與都無包含關系,而；因為表示的定義域,故；表示函數(shù)的值域,；表示曲線上的點集,可見,,而與,與都無包含關系考點二：集合的基本運算[例3]設集合,若,求實數(shù)的值；〔2若,求實數(shù)的取值范圍若,[解題思路]對于含參數(shù)的集合的運算,首先解出不含參數(shù)的集合,然后根據(jù)已知條件求參數(shù)。[解析]因為,〔1由知,,從而得,即,解得或當時,,滿足條件；當時,,滿足條件所以或〔2對于集合,由因為,所以①當,即時,,滿足條件；②當,即時,,滿足條件；③當,即時,才能滿足條件,由根與系數(shù)的關系得,矛盾故實數(shù)的取值范圍是[名師指引]對于比較抽象的集合,在探究它們的關系時,要先對它們進行化簡。同時,要注意集合的子集要考慮空與不空,不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況.[新題導練]6．若集合,,則是〔A.；B.；C.；D.有限集[解析]A；由題意知,集合表示函數(shù)的值域,故集合；表示函數(shù)的值域,,故7．已知集合,,那么集合為〔A.；B.；C.；D.[解析]D；表示直線與直線的交點組成的集合,A、B、C均不合題意。8．集合,,且,求實數(shù)的值.[解析]；先化簡B得,.由于,故或.因此或,解得或.容易漏掉的一種情況是:的情形,此時.故所求實數(shù)的值為.備選例題1：已知,,則中的元素個數(shù)是〔A.；B.；C.；D.無窮多個[解析]選A;集合表示函數(shù)的值域,是數(shù)集,并且,而集合表示滿足的有序?qū)崝?shù)對的集合,即表示圓上的點,是點集。所以,集合與集合中的元素均不相同,因而,故其中元素的個數(shù)為0[誤區(qū)分析]在解答過程中易出現(xiàn)直線與圓有兩個交點誤選C；或者誤認為中,而中,從而有無窮多個解而選D。注意,明確集合中元素的屬性〔是點集還是數(shù)集是準確進行有關集合運算的前提和關鍵。備選例題2：已知集合和集合各有12個元素,含有4個元素,試求同時滿足下面兩個條件的集合的個數(shù)：<Ⅰ>,且中含有3個元素；<Ⅱ>〔表示空集[解法一]因為、各有12個元素,含有4個元素,因此,的元素個數(shù)是故滿足條件<Ⅰ>的集合的個數(shù)是上面集合中,還滿足的集合的個數(shù)是因此,所求集合的個數(shù)是[解法二]由題目條件可知,屬于而不屬于的元素個數(shù)是因此,在中只含有中1個元素的所要求的集合的個數(shù)為含有中2個元素的所要求的集合的個數(shù)為含有中3個元素的所要求的集合的個數(shù)為所以,所求集合的個數(shù)是★搶分頻道UBUBA〔09年吳川市川西中學09屆第四次月考設全集,則右圖中陰影部分表示的集合為<>A．；B．；C．；D．[解析]C；圖中陰影部分表示的集合是,而,故2.〔XX09屆高三摸底考已知則=A．；B．；C．；D．[解析]A；因為,,所以3.〔XX09屆高三調(diào)研考集合的所有子集個數(shù)為[解析]8；集合的所有子集個數(shù)為4.〔09年XX市高三第一次月考集合中的代表元素設為,集合中的代表元素設為,若且,則與的關系是[解析]或；由子集和交集的定義即可得到結(jié)論5．<20XX天津>設集合,則的取值范圍是〔A．；B．C．或；D．或[解析]A；,,所以,從而得綜合提高訓練：6．,則下列關系中立的是<>A．;B．;C．;D．[解析]A；當時,有,即；當時,也恒成立,故,所以7.設,,,記,,則＝<>A.;B.;C.;D.[解析]A；依題意得,,所以,,故應選A8．〔09屆XX第一次調(diào)研考設A、B是非空集合,定義,已知A=,B=,則A×B等于〔A．；B．；C．；D．[解析]D；,∴A=[0,2],,∴B=〔1,＋∞,∴A∪B=[0,＋∞,A∩B=〔1,2],則A×B＝第2講函數(shù)與映射的概念★知識梳理1．函數(shù)的概念<1>函數(shù)的定義：設是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種對應法則,對于集合中的每一個數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應,那么這樣的對應叫做從到的一個函數(shù),通常記為<2>函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)中,叫做自變量,的取值范圍叫做的定義域；與的值相對應的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域。<2>函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應法則2．映射的概念設是兩個集合,如果按照某種對應法則,對于集合中的任意元素,在集合中都有唯一確定的元素與之對應,那么這樣的單值對應叫做從到的映射,通常記為★重、難點突破重點：掌握映射的概念、函數(shù)的概念,會求函數(shù)的定義域、值域難點：求函數(shù)的值域和求抽象函數(shù)的定義域重難點：1．關于抽象函數(shù)的定義域求抽象函數(shù)的定義域,如果沒有弄清所給函數(shù)之間的關系,求解容易出錯誤問題1：已知函數(shù)的定義域為,求的定義域[誤解]因為函數(shù)的定義域為,所以,從而故的定義域是[正解]因為的定義域為,所以在函數(shù)中,,從而,故的定義域是即本題的實質(zhì)是求中的范圍問題2：已知的定義域是,求函數(shù)的定義域[誤解]因為函數(shù)的定義域是,所以得到,從而,所以函數(shù)的定義域是[正解]因為函數(shù)的定義域是,則,從而所以函數(shù)的定義域是即本題的實質(zhì)是由求的范圍即與中含義不同求值域的幾種常用方法〔1配方法：對于〔可化為"二次函數(shù)型"的函數(shù)常用配方法,如求函數(shù),可變?yōu)榻鉀Q〔2基本函數(shù)法：一些由基本函數(shù)復合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來求,如函數(shù)就是利用函數(shù)和的值域來求?！?判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數(shù)的值域由得,若,則得,所以是函數(shù)值域中的一個值；若,則由得,故所求值域是〔4分離常數(shù)法：常用來求"分式型"函數(shù)的值域。如求函數(shù)的值域,因為,而,所以,故〔5利用基本不等式求值域：如求函數(shù)的值域當時,；當時,,若,則若,則,從而得所求值域是〔6利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)的值域因,故函數(shù)在上遞減、在上遞增、在上遞減、在上遞增,從而可得所求值域為〔7圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出,則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域〔求某些分段函數(shù)的值域常用此法?！餆狳c考點題型探析考點一：判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù)[例1]試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？〔1,；〔2,〔3,〔n∈N*；〔4,；〔5,[解題思路]要判斷兩個函數(shù)是否表示同一個函數(shù),就要考查函數(shù)的三要素。[解析]〔1由于,,故它們的值域及對應法則都不相同,所以它們不是同一函數(shù).〔2由于函數(shù)的定義域為,而的定義域為R,所以它們不是同一函數(shù).〔3由于當n∈N*時,2n±1為奇數(shù),∴,,它們的定義域、值域及對應法則都相同,所以它們是同一函數(shù).〔4由于函數(shù)的定義域為,而的定義域為,它們的定義域不同,所以它們不是同一函數(shù).〔5函數(shù)的定義域、值域和對應法則都相同,所以它們是同一函數(shù).[答案]〔1、〔2、〔4不是；〔3、〔5是同一函數(shù)[名師指引]構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系確定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致,即稱這兩個函數(shù)為同一函數(shù)。都可視為同一函數(shù).[新題導練]1．<2009·XX>下列函數(shù)中與函數(shù)相同的是<>A.y=<>2;B.y=;C.y=;D.y=[解析]B；因為y=,所以應選擇B2．<09年XX南開中學>與函數(shù)的圖象相同的函數(shù)是〔A.；B.；C.；D.[解析]C；根據(jù)對數(shù)恒等式得,且函數(shù)的定義域為,故應選擇C考點二：求函數(shù)的定義域、值域題型1：求有解析式的函數(shù)的定義域[例2].〔08年XX函數(shù)的定義域為<>A.;B.；C.;D.[解題思路]函數(shù)的定義域應是使得函數(shù)表達式的各個部分都有意義的自變量的取值范圍。[解析]欲使函數(shù)有意義,必須并且只需,故應選擇[名師指引]如沒有標明定義域,則認為定義域為使得函數(shù)解析式有意義的的取值范圍,實際操作時要注意：①分母不能為0；②對數(shù)的真數(shù)必須為正；③偶次根式中被開方數(shù)應為非負數(shù)；④零指數(shù)冪中,底數(shù)不等于0；⑤負分數(shù)指數(shù)冪中,底數(shù)應大于0；⑥若解析式由幾個部分組成,則定義域為各個部分相應集合的交集；⑦如果涉及實際問題,還應使得實際問題有意義,而且注意：研究函數(shù)的有關問題一定要注意定義域優(yōu)先原則,實際問題的定義域不要漏寫。題型2：求抽象函數(shù)的定義域[例3]〔2006·XX設,則的定義域為〔A.；B.；C.；D.[解題思路]要求復合函數(shù)的定義域,應先求的定義域。[解析]由得,的定義域為,故解得。故的定義域為.選B.[名師指引]求復合函數(shù)定義域,即已知函數(shù)的定義為,則函數(shù)的定義域是滿足不等式的x的取值范圍；一般地,若函數(shù)的定義域是,指的是,要求的定義域就是時的值域。題型3；求函數(shù)的值域[例4]已知函數(shù),若恒成立,求的值域[解題思路]應先由已知條件確定取值范圍,然后再將中的絕對值化去之后求值域[解析]依題意,恒成立,則,解得,所以,從而,,所以的值域是[名師指引]求函數(shù)的值域也是高考熱點,往往都要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值。[新題導練]3.〔2008XX文、理函數(shù)的定義域為．[解析]；由解得4．定義在上的函數(shù)的值域為,則函數(shù)的值域為<>A．；B．；C．；D．無法確定[解析]B；函數(shù)的圖象可以視為函數(shù)的圖象向右平移一個單位而得到,所以,它們的值域是一樣的5．<2008XX改>若函數(shù)的定義域是,則函數(shù)的定義域是[解析]；因為的定義域為,所以對,但故6．<2008XX理改>若函數(shù)的值域是,則函數(shù)的值域是[解析]；可以視為以為變量的函數(shù),令,則,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),故的最大值是,最小值是2考點三：映射的概念[例5]〔06XX為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文密文〔加密,接收方由密文明文〔解密,已知加密規(guī)則為：明文對應密文例如,明文對應密文當接收方收到密文時,則解密得到的明文為〔A．；B．；C．；D．[解題思路]密文與明文之間是有對應規(guī)則的,只要按照對應規(guī)則進行對應即可。[解析]當接收方收到密文14,9,23,28時,有,解得,解密得到的明文為C．[名師指引]理解映射的概念,應注意以下幾點：〔1集合A、B及對應法則f是確定的,是一個整體系統(tǒng)；〔2對應法則有"方向性",即強調(diào)從集合A到集合B的對應,它與從集合B到集合A的對應關系一般是不同的；〔3集合A中每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的,這是映射區(qū)別于一般對應的本質(zhì)特征；〔4集合A中不同元素,在集合B中對應的象可以是同一個；〔5不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.[新題導練]7．集合A={3,4},B={5,6,7},那么可建立從A到B的映射個數(shù)是__________,從B到A的映射個數(shù)是__________.[解析]9,8；從A到B可分兩步進行：第一步A中的元素3可有3種對應方法〔可對應5或6或7,第二步A中的元素4也有這3種對應方法.由乘法原理,不同的映射種數(shù)N1＝3×3＝9.反之從B到A,道理相同,有N2＝2×2×2＝8種不同映射.8．若f:y=3x+1是從集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一個映射,求自然數(shù)a、k的值及集合A[解析]a=2,k=5,A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}；∵f〔1=3×1+1=4,f〔2=3×2+1=7,f〔3=3×3+1=10,f〔k=3k+1,由映射的定義知〔1或〔2∵a∈N,∴方程組〔1無解.解方程組〔2,得a=2或a=－5〔舍,3k+1=16,3k=15,k=5.∴A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.備選例題：〔03年上海已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù),對任意,有成立?！?函數(shù)是否屬于集合？說明理由；〔2設函數(shù)的圖象與的圖象有公共點,證明：[解析]〔1對于非零常數(shù)T,f<x+T>=x+T,Tf<x>=Tx.因為對任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f<x>=〔2因為函數(shù)f<x>=ax〔a>0且a≠1的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點,所以方程組：有解,消去y得ax=x,顯然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常數(shù)T,使aT=T.于是對于f<x>=ax有故f<x>=ax∈M.★搶分頻道基礎鞏固訓練：1．<2007·XX改編>已知函數(shù)的定義域為,的定義域為,則[解析]；因為,故2．函數(shù)的定義域是[解析]；由得到3．函數(shù)的值域是[解析]；由知,從而得,而,所以,即4．〔XX從化中學09屆月考從集合A到B的映射中,下列說法正確的是<>A．B中某一元素的原象可能不只一個；B．A中某一元素的象可能不只一個C．A中兩個不同元素的象必不相同；D．B中兩個不同元素的原象可能相同[解析]A；根據(jù)映射的定義知可排除B、C、D5．〔XX中學09屆高三第一學段考試下列對應法則中,構(gòu)成從集合A到集合的映射是 A． B． C． D．[解析]D；根據(jù)映射的定義知,構(gòu)成從集合A到集合的映射是D6．〔09年執(zhí)信中學若函數(shù)的定義域為,值域為,則的取值范圍是〔A．；B．；C．；D．[解析]B；因為函數(shù)即為,其圖象的對稱軸為直線,其最小值為,并且當及時,,若定義域為,值域為,則綜合提高訓練：8．〔05天津改設函數(shù),則函數(shù)的定義域是[解析]；由得,的定義域為。故解得或。9．設函數(shù)的定義域是<是正整數(shù)>,那么的值域中共有個整數(shù)[解析]；因為,可見,在<是正整數(shù)>上是增函數(shù),又所以,在的值域中共有個整數(shù)第3講函數(shù)的表示方法★知識梳理一、函數(shù)的三種表示法：圖象法、列表法、解析法1．圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關系；2．列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關系；3．解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關系,用等式來表示。二、分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)?！镏?、難點突破重點：掌握函數(shù)的三種表示法-----圖象法、列表法、解析法,分段函數(shù)的概念難點：分段函數(shù)的概念,求函數(shù)的解析式重難點：掌握求函數(shù)的解析式的一般常用方法：〔1若已知函數(shù)的類型〔如一次函數(shù)、二次函數(shù),則用待定系數(shù)法；〔2若已知復合函數(shù)的解析式,則可用換元法或配湊法；問題1．已知二次函數(shù)滿足,求方法一：換元法令,則,從而所以方法二：配湊法因為所以方法三：待定系數(shù)法因為是二次函數(shù),故可設,從而由可求出,所以〔3若已知抽象函數(shù)的表達式,則常用解方程組消參的方法求出問題2：已知函數(shù)滿足,求因為①以代得②由①②聯(lián)立消去得★熱點考點題型探析考點1：用圖像法表示函數(shù)[例1]〔09年XX南海中學一水池有個進水口,個出水口,一個口的進、出水的速度如圖甲乙所示.某天點到點,該水池的蓄水量如圖丙所示．給出以下個論斷：進水量出水量蓄水量甲乙丙〔1點到點只進水不出水；〔2點到點不進水只出水；〔3點到點不進水不出水．則一定不正確的論斷是<把你認為是符合題意的論斷序號都填上>.[解題思路]根據(jù)題意和所給出的圖象,對三個論斷進行確認即可。[解析]由圖甲知,每個進水口進水速度為每小時1個單位,兩個進水口1個小時共進水2個單位,3個小時共進水6個單位,由圖丙知①正確；而由圖丙知,3點到4點應該是有一個進水口進水,出水口出水,故②錯誤；由圖丙知,4點到6點可能是不進水不出水,也可能是兩個進水口都進水,同時出水口也出水,故③不一定正確。從而一定不正確的論斷是〔2[名師指引]象這類給出函數(shù)圖象讓考生從圖象獲取信息的問題是目前高考的一個熱點,它要求考生熟悉基本的函數(shù)圖象特征,善于從圖象中發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)。高考中的熱點題型是"知式選圖"和"知圖選式"。[新題導練]1．<05XX改>一給定函數(shù)的圖象在下列圖中,并且對任意,由關系式得到的數(shù)列滿足,則該函數(shù)的圖象是〔ABCD[解析]A.；令,則等價于,是由點組成,而又知道,所以每各點都在y=x的上方。2．<2005·XX>函數(shù)的圖象大致是<>[解析]D；當時,,可以排除A和C；又當時,,可以排除B考點2：用列表法表示函數(shù)[例2]〔07年北京已知函數(shù),分別由下表給出123131123321則的值為；滿足的的值是[解題思路]這是用列表的方法給出函數(shù),就依照表中的對應關系解決問題。[解析]由表中對應值知=；當時,,不滿足條件當時,,滿足條件,當時,,不滿足條件,∴滿足的的值是[名師指引]用列表法表示函數(shù)具有明顯的對應關系,解決問題的關鍵是從表格發(fā)現(xiàn)對應關系,用好對應關系即可。[新題導練]3．〔09年XX梁山設f、g都是由A到A的映射,其對應法則如下表〔從上到下：映射f的對應法則是表1原象1234象3421映射g的對應法則是表2原象1234象4312則與相同的是〔A．；B．；C．；D．[解析]A；根據(jù)表中的對應關系得,,4．〔04年XX改編二次函數(shù)〔∈R的部分對應值如下表：－3－2－10123460－4－6－6－406則不等式的解集是[解析]；由表中的二次函數(shù)對應值可得,二次方程的兩根為－2和3,又根據(jù)且可知,所以不等式的解集是考點3：用解析法表示函數(shù)題型1：由復合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式[例3]〔04XX改編已知=,則的解析式可取為[解題思路]這是復合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式,應該首選換元法[解析]令,則,∴.∴.故應填[名師指引]求函數(shù)解析式的常用方法有：①換元法〔注意新元的取值范圍；②待定系數(shù)法〔已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等；③整體代換〔配湊法；④構(gòu)造方程組〔如自變量互為倒數(shù)、已知為奇函數(shù)且為偶函數(shù)等。題型2：求二次函數(shù)的解析式[例4]〔普寧市城東中學09屆高三第二次月考二次函數(shù)滿足,且。⑴求的解析式；⑵在區(qū)間上,的圖象恒在的圖象上方,試確定實數(shù)的范圍。[解題思路]〔1由于已知是二次函數(shù),故可應用待定系數(shù)法求解；〔2用數(shù)表示形,可得求對于恒成立,從而通過分離參數(shù),求函數(shù)的最值即可。[解析]⑴設,則與已知條件比較得：解之得,又,⑵由題意得：即對恒成立,易得[名師指引]如果已知函數(shù)的類型,則可利用待定系數(shù)法求解；通過分離參數(shù)求函數(shù)的最值來獲得參數(shù)的取值范圍是一種常用方法。[新題導練]5．〔06全國卷二改編若,則[解析]；所以,因此6．〔09年XX金山中學設是一次函數(shù),若且成等比數(shù)列,則；[解析]；設,由得,從而又由成等比數(shù)列得,解得所以,7．〔華僑中學09屆第3次月考〔09年XX設,又記則〔A．；B．；C．；D．；[解析]C；由已知條件得到,,,可見,是以4為周期的函數(shù),而,所以,8．設二次函數(shù)滿足,且其圖象在y軸上的截距為1,在x軸上截得的線段長為,求的解析式。[解析]；設f<x>=ax2+bx+c,由f<x>滿足f<x－2>=f<－x－2>,可得函數(shù)y=f<x>的對稱軸為x=－2,所以由y=f<x>圖象在y軸上的截距為1,可得,即c=1由y=f<x>圖象在x軸上截得的線段長為,可得所以聯(lián)立方程組,可解得所以f<x>=.考點4：分段函數(shù)題型1：根據(jù)分段函數(shù)的圖象寫解析式[例5]<07年XX>為了預防流感,某學校對教室用藥物消毒法進行消毒。已知藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中含藥量y〔毫克與時間t〔小時成正比；藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關系式為〔a為常數(shù),如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題：〔Ⅰ從藥物釋放開媽,每立方米空氣中的含藥量y〔毫克與時間t〔小時之間的函數(shù)關系式為；〔Ⅱ據(jù)測定,當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時,學生方可進教室,那么從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過小時后,學生才能回到教室。[思路點撥]根據(jù)題意,藥物釋放過程的含藥量y〔毫克與時間t是一次函數(shù),藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關系是已知的,由特殊點的坐標確定其中的參數(shù),然后再由所得的表達式解決〔Ⅱ[解析]〔Ⅰ觀察圖象,當時是直線,故；當時,圖象過所以,即,所以〔Ⅰ,所以至少需要經(jīng)過小時[名師指引]分段函數(shù)的每一段一般都是由基本初等函數(shù)組成的,解決辦法是分段處理。題型2：由分段函數(shù)的解析式畫出它的圖象例6]<2006·上海>設函數(shù),在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像。[思路點撥]需將來絕對值符號打開,即先解,然后依分界點將函數(shù)分段表示,再畫出圖象。[解析],如右上圖.[名師指引]分段函數(shù)的解決辦法是分段處理,要注意分段函數(shù)的表示方法,它是用聯(lián)立符號將函數(shù)在定義域的各個部分的表達式依次表示出來,同時附上自變量的各取值范圍。[新題導練]9．〔09年XX金山中學已知函數(shù),則[解析]2；由已知得到10．〔06XX改編設則不等式的解集為[解析]；當時,由得,得當時,由得,得備選例題1：<2005·XX>已知函數(shù)〔a,b為常數(shù)且方程f<x>－x+12=0有兩個實根為x1=3,x2=4.〔1求函數(shù)f<x>的解析式；〔2設k>1,解關于x的不等式；[解析]〔1將得〔2不等式即為即①當②當③.備選例題2：〔06XX已知定義域為R的函數(shù)滿足〔I若,求;又若,求;〔II設有且僅有一個實數(shù),使得,求函數(shù)的解析表達式★搶分頻道基礎鞏固訓練：1．〔09年XX高三年級第一學期中段考函數(shù)的圖象如圖2所示.觀察圖象可知函數(shù)的定義域、值域分別是〔O-52625圖2O-52625圖2C.,；D.[解析]C；由圖象可以看出,應選擇C2．〔09年XX第一次調(diào)研考某工廠從20XX開始,近八年以來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前四年年產(chǎn)量的增長速度越來越慢,后四年年產(chǎn)量的增長速度保持不變,則該廠這種產(chǎn)品的產(chǎn)量與時間的函數(shù)圖像可能是〔448yot48yot48yot48yot[解析]B；前四年年產(chǎn)量的增長速度越來越慢,知圖象的斜率隨x的變大而變小,后四年年產(chǎn)量的增長速度保持不變,知圖象的斜率不變,∴選B．3．〔2004·XX改編設函數(shù)若,,則關于的方程的解的個數(shù)為[解析]3；由,可得,從而方程等價于或,解得到或,從而得方程的解的個數(shù)為34．〔05XX已知為常數(shù),若,,則=[解析]2；因為,所以又,所以,解得或,所以5．對記,函數(shù)的最小值是〔A.；B.；C.；D.[解析]C；作出和的圖象即可得到函數(shù)的最小值是6．〔XX市09屆高三統(tǒng)測已知函數(shù)其中,。作出函數(shù)的圖象；[解析]函數(shù)圖象如下：說明：圖象過、、點；在區(qū)間上的圖象為上凸的曲線段；在區(qū)間上的圖象為直線段綜合提高訓練：7．〔09年XX第二次調(diào)研考如圖,動點在正方體的對角線上．過點作垂直于平面的直線,與正方體表面相交于．設,,則函數(shù)的圖象大致是〔AABCDMNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O[解析]B；過點作垂直于平面的直線,當點運動時,線與正方體表面相交于兩點形成的軌跡為平行四邊形,可以看出與的變化趨勢是先遞增再遞減,并且在的中點值時取最大8．〔06XX如圖所示,單位圓中的長為,與弦AB所圍成的弓形面積的2倍,則函數(shù)的圖像是〔[解析]D；如圖所示,單位圓中的長為,與弦AB所圍成的弓形面積的2倍,當?shù)拈L小于半圓時,函數(shù)的值增加的越來越快,當?shù)拈L大于半圓時,函數(shù)的值增加的越來越慢,所以函數(shù)的圖像是D.9．〔06XX已知是二次函數(shù),不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。 〔I求的解析式； 〔II是否存在實數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在,求出的取值范圍；若不存在,說明理由。[解析]〔I是二次函數(shù),且的解集是可設在區(qū)間上的最大值是,由已知,得〔II方程等價于方程設則當時,是減函數(shù)；當時,是增函數(shù)。方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實數(shù)根,而在區(qū)間內(nèi)沒有實數(shù)根,所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不同的實數(shù)根。第4講函數(shù)的單調(diào)性與最值★知識梳理函數(shù)的單調(diào)性定義：設函數(shù)的定義域為,區(qū)間如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值,,當時,都有,那么就說在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),稱為的單調(diào)增區(qū)間如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值,,當時,都有,那么就說在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),稱為的單調(diào)減區(qū)間如果用導數(shù)的語言來,那就是：設函數(shù),如果在某區(qū)間上,那么為區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上,那么為區(qū)間上的減函數(shù)；函數(shù)的最大〔小值設函數(shù)的定義域為如果存在定值,使得對于任意,有恒成立,那么稱為的最大值；如果存在定值,使得對于任意,有恒成立,那么稱為的最小值?！镏亍㈦y點突破重點：掌握求函數(shù)的單調(diào)性與最值的方法難點：函數(shù)單調(diào)性的理解,尤其用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與最值重難點：1.對函數(shù)單調(diào)性的理解函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論,所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先求函數(shù)的定義域；〔2函數(shù)單調(diào)性定義中的,有三個特征：一是任意性；二是大小,即；三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間,三者缺一不可；〔3若用導數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性,則在某區(qū)間上〔僅是為區(qū)間上的增函數(shù)〔減函數(shù)的充分不必要條件。〔4關于函數(shù)的單調(diào)性的證明,如果用定義證明在某區(qū)間上的單調(diào)性,那么就要用嚴格的四個步驟,即①取值；②作差；③判號；④下結(jié)論。但是要注意,不能用區(qū)間上的兩個特殊值來代替。而要證明在某區(qū)間上不是單調(diào)遞增的,只要舉出反例就可以了,即只要找到區(qū)間上兩個特殊的,,若,有即可。如果用導數(shù)證明在某區(qū)間上遞增或遞減,那么就證明在某區(qū)間上或。〔5函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的,所以受到區(qū)間的限制,如函數(shù)分別在和內(nèi)都是單調(diào)遞減的,但是不能說它在整個定義域即內(nèi)是單調(diào)遞減的,只能說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和〔6一些單調(diào)性的判斷規(guī)則：①若與在定義域內(nèi)都是增函數(shù)〔減函數(shù),那么在其公共定義域內(nèi)是增函數(shù)〔減函數(shù)。②復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則是"異減同增"2．函數(shù)的最值的求法〔1若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù),常用配方法。〔2利用函數(shù)的單調(diào)性求最值：先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,然后利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。〔3基本不等式法：當函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時常用此法〔但有注意等號是否取得?！?導數(shù)法：當函數(shù)比較復雜時,一般采用此法〔5數(shù)形結(jié)合法：畫出函數(shù)圖象,找出坐標的范圍或分析條件的幾何意義,在圖上找其變化范圍?！餆狳c考點題型探析考點1函數(shù)的單調(diào)性題型1：討論函數(shù)的單調(diào)性[例1]<2008XX>設,函數(shù).試討論函數(shù)的單調(diào)性.[解題思路]分段函數(shù)要分段處理,由于每一段都是基本初等函數(shù)的復合函數(shù),所以應該用導數(shù)來研究。[解析]:因為,所以.<1>當x<1時,1-x>0,①當時,在上恒成立,故F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當時,令,解得,且當時,；當時,故F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增；<2>當x>1時,x-1>0,①當時,在上恒成立,故F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當時,令,解得,且當時,；當時,故F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增；綜上得,①當k=0時,F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞增,F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當k<0時,F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增；③當時,F<x>在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.[名師指引]求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或研究函數(shù)的單調(diào)性是高考的一個熱點,分段落函數(shù)用注意分段處理.題型2：研究抽象函數(shù)的單調(diào)性[例2]定義在R上的函數(shù),,當x＞0時,,且對任意的a、b∈R,有f〔a+b=f〔a·f〔b.〔1求證：f〔0=1；〔2求證：對任意的x∈R,恒有f〔x＞0；〔3求證：f〔x是R上的增函數(shù)；〔4若f〔x·f〔2x－x2＞1,求x的取值范圍.[解題思路]抽象函數(shù)問題要充分利用"恒成立"進行"賦值",從關鍵等式和不等式的特點入手。[解析]〔1證明：令a=b=0,則f〔0=f2〔0.又f〔0≠0,∴f〔0=1.〔2證明：當x＜0時,－x＞0,∴f〔0=f〔x·f〔－x=1.∴f〔－x=＞0.又x≥0時f〔x≥1＞0,∴x∈R時,恒有f〔x＞0.〔3證明：設x1＜x2,則x2－x1＞0.∴f〔x2=f〔x2－x1+x1=f〔x2－x1·f〔x1.∵x2－x1＞0,∴f〔x2－x1＞1.又f〔x1＞0,∴f〔x2－x1·f〔x1＞f〔x1.∴f〔x2＞f〔x1.∴f〔x是R上的增函數(shù).〔4解：由f〔x·f〔2x－x2＞1,f〔0=1得f〔3x－x2＞f〔0.又f〔x是R上的增函數(shù),∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.[名師指引]解本題的關鍵是靈活應用題目條件,尤其是〔3中"f〔x2=f［〔x2－x1+x1］"是證明單調(diào)性的關鍵,這里體現(xiàn)了向條件化歸的策略.[新題導練]1．〔XX北大希望之星實驗學校09屆高三函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是〔A．;B．;C．;D．[解析]C；由得,又由知函數(shù)在上是減函數(shù),根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是2．〔東皖高級中學09屆高三月考函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為〔A．；B．；C．；D．[解析]D；由得或,又函數(shù)在上是減函數(shù),在上是減函數(shù),所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為3.<2008全國Ⅰ卷>已知函數(shù),．〔Ⅰ討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),求的取值范圍．[解析]〔1；〔2〔1求導：當時,,,在上遞增當,求得兩根為即在遞增,遞減,遞增〔2,且解得：考點2函數(shù)的值域〔最值的求法題型1：求分式函數(shù)的最值[例3]〔20XX上海已知函數(shù)當時,求函數(shù)的最小值；[解題思路]當時,,這是典型的"對鉤函數(shù)",欲求其最小值,可以考慮均值不等式或?qū)?shù)；[解析]當時,,。在區(qū)間上為增函數(shù)。在區(qū)間上的最小值為。[名師指引]對于函數(shù)若,則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值,但要注意等號是否成立,否則會得到而認為其最小值為,但實際上,要取得等號,必須使得,這時所以,用均值不等式來求最值時,必須注意：一正、二定、三相等,缺一不可。其次,不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。本題考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式,利用函數(shù)單調(diào)性,二次函數(shù)的配方法,考查不等式恒成立問題以及轉(zhuǎn)化化歸思想；題型2：利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍[例4]〔20XX上海已知函數(shù)若對任意恒成立,試求實數(shù)的取值范圍。[解題思路]欲求參數(shù)的取值范圍,應從恒成立的具體情況開始。[解析]在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3,即[名師指引]這里利用了分離參數(shù)的方法,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。題型3：求三次多項式函數(shù)的最值[例5]〔09年高州中學已知為實數(shù),函數(shù),若,求函數(shù)在上的最大值和最小值。[解題思路]求三次多項式函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,應該用導數(shù)作為工具來研究其單調(diào)性。[解析]∵,……3分……4分得：當……5分當……6分因此,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,而在內(nèi)單調(diào)遞減,且又,,………………10分[名師指引]用導數(shù)來研究其單調(diào)性和最值是高考考查的重點和熱點,同時也是難點,要求考生熟練掌握用導數(shù)來研究其單調(diào)性和最值的方法和步驟。[新題導練]4.〔09年XX南海若函數(shù)的最大值與最小值分別為M,m,則M+m=[解析]6；由知在上是增函數(shù)又因為函數(shù)是奇函數(shù),所以函數(shù)是增函數(shù),故M+m=5.〔高州中學09屆模擬已知函數(shù)?！并袢魹槠婧瘮?shù),求的值；〔Ⅱ若在上恒大于0,求的取值范圍。[解析]〔Ⅰ；〔Ⅱ的取值范圍為〔Ⅰ的定義域關于原點對稱若為奇函數(shù),則∴〔Ⅱ∴在上∴在上單調(diào)遞增∴在上恒大于0只要大于0即可,∴若在上恒大于0,的取值范圍為備選例題：〔06年XX已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)?！并袂蟮闹担弧并蛉魧θ我獾?不等式恒成立,求的取值范圍；[解析]〔Ⅰ因為是奇函數(shù),所以,即又由知〔Ⅱ[解法一]由〔Ⅰ知,易知在上為減函數(shù)。又因是奇函數(shù),從而不等式：等價于,因為減函數(shù),由上式推得：．即對一切有：,從而判別式[解法二]由〔Ⅰ知．又由題設條件得：,即,整理得上式對一切均成立,從而判別式★搶分頻道基礎鞏固訓練：1．〔華師附中09高三數(shù)學訓練題若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是〔A.；B.；C.；D.[解析]C；因為,由其圖象知,若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),則應有2．〔普寧市城東中學09若函數(shù)在上是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是〔A．；B．；C．；D．[解析]A；若函數(shù)在上是增函數(shù),則對于恒成立,即對于恒成立,而函數(shù)的最大值為,實數(shù)的取值范圍是3．〔09XX金中下列四個函數(shù)中,在區(qū)間上為減函數(shù)的是〔A．；B．；C．；D．[解析]C；顯然在上是增函數(shù),在上也是增函數(shù)而對求導得,對于,,所以在區(qū)間上為增函數(shù),從而應選擇C4．〔09XX金山中學已知函數(shù),若存在實數(shù),當時,恒成立,則實數(shù)的最大值是〔A．1；B．2；C．3；D．4[解析]D；依題意,應將函數(shù)向右平行移動得到的圖象,為了使得在上,的圖象都在直線的下方,并且讓取得最大,則應取,這時取得最大值45．〔06北京改編已知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是[解析]；要在上是減函數(shù),則,要在上為減函數(shù),則需并且,所以6．〔2008XX理已知t為常數(shù),函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的最大值為2,則[解析]1；顯然函數(shù)的最大值只能在或時取到,若在時取到,則,得或,時,；,時,〔舍去；若在時取到,則,得或,時,；,時,〔舍去所以綜合提高訓練：7.〔06XX改編已知函數(shù)若則與的大小關系為[解析]；函數(shù)的圖象開口向上,對稱軸為,因,故,從而,又,所以的對應點到對稱軸的距離大于的對應點到對稱軸的距離,故8．已知函數(shù),求的值[解析]；為,令,則,從而所以9．〔09年XX金中對于函數(shù)成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最大值－1叫做,的下確界為〔 A．；B．2；C．；D．4[解析]A；因為,故的下確界為10．〔08年XX設表示不超過的最大整數(shù)〔如,,對于給定的N*,定義,求當時,函數(shù)的值域[解析]；當時,,,因為函數(shù)在上是減函數(shù),得；當時,,,因為,由單調(diào)性得,故當時,函數(shù)的值域是第5講函數(shù)的奇偶性和周期性★知識梳理1．函數(shù)的奇偶性的定義：①對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個,都有〔或〕,則稱為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖象關于原點對稱。②對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個,都有〔或〕,則稱為偶函數(shù).偶函數(shù)的圖象關于軸對稱。③通常采用圖像或定義判斷函數(shù)的奇偶性.具有奇偶性的函數(shù),其定義域原點關于對稱〔也就是說,函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關于原點對稱函數(shù)的周期性命定義：對于函數(shù),如果存在一個非零常數(shù),使得定義域內(nèi)的每一個值,都滿足,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期。★重、難點突破重點：函數(shù)的奇偶性和周期性,函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合應用難點：函數(shù)的奇偶性的判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應用重難點：1.函數(shù)的奇偶性的判斷：可以利用奇偶函數(shù)的定義判斷或者利用定義的等價形式,也可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性.注意①若,則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),若,則是偶函數(shù)；②若是奇函數(shù)且在處有定義,則③若在函數(shù)的定義域內(nèi)有,則可以斷定不是偶函數(shù),同樣,若在函數(shù)的定義域內(nèi)有,則可以斷定不是奇函數(shù)。2．奇偶函數(shù)圖象的對稱性若是偶函數(shù),則的圖象關于直線對稱；若是偶函數(shù),則的圖象關于點中心對稱；3．函數(shù)的周期性周期性不僅僅是三角函數(shù)的專利,抽象函數(shù)的周期性是高考熱點,主要難點是抽象函數(shù)周期的發(fā)現(xiàn),主要有幾種情況：〔1函數(shù)值之和等于零型,即函數(shù)對于定義域中任意滿足,則有,故函數(shù)的周期是〔2函數(shù)圖象有,兩條對稱軸型函數(shù)圖象有,兩條對稱軸,即,,從而得,故函數(shù)的周期是兩個函數(shù)值之積等于,即函數(shù)值互為倒數(shù)或負倒數(shù)型若,則得,所以函數(shù)的周期是；同理若,則的周期是分式遞推型,即函數(shù)滿足由得,進而得,由前面的結(jié)論得的周期是★熱點考點題型探析考點1判斷函數(shù)的奇偶性及其應用題型1：判斷有解析式的函數(shù)的奇偶性[例1]判斷下列函數(shù)的奇偶性：〔1f〔x=|x+1|－|x－1|；〔2f〔x=〔x－1·；〔3；〔4[思路點撥]判斷函數(shù)的奇偶性應依照定義解決,但都要先考查函數(shù)的定義域。[解析]〔1函數(shù)的定義域x∈〔－∞,+∞,對稱于原點.∵f〔－x=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－〔|x+1|－|x－1|=－f〔x,∴f〔x=|x+1|－|x－1|是奇函數(shù).〔2先確定函數(shù)的定義域.由≥0,得－1≤x＜1,其定義域不對稱于原點,所以f〔x既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).〔3去掉絕對值符號,根據(jù)定義判斷.由得=,∴f〔－x==－=－f〔x故f〔x為奇函數(shù).〔4∵函數(shù)f〔x的定義域是〔－∞,0∪〔0,+∞,并且當x＞0時,－x＜0,∴f〔－x=〔－x［1－〔－x］=－x〔1+x=－f〔x〔x＞0.當x＜0時,－x＞0,∴f〔－x=－x〔1－x=－f〔x〔x＜0.故函數(shù)f〔x為奇函數(shù).[名師指引]eq\o\ac<○,1>函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個整體性質(zhì),定義域具有對稱性<即若奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域為D,則時>是一個函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件eq\o\ac<○,2>分段函數(shù)的奇偶性一般要分段證明.③判斷函數(shù)的奇偶性應先求定義域再化簡函數(shù)解析式.題型2：證明抽象函數(shù)的奇偶性[例2]〔09年XX梁山定義在區(qū)間上的函數(shù)f<x>滿足：對任意的,都有.求證f<x>為奇函數(shù)；[思路點撥]欲證明為奇函數(shù),就要證明,但這是抽象函數(shù),應設法充分利用條件"對任意的,都有"中的進行合理"賦值"[解析]令x=y=0,則f<0>+f<0>=∴f<0>=0令x∈<－1,1>∴－x∈<－1,1>∴f<x>+f<－x>=f<>=f<0>=0∴f<－x>=－f<x>∴f<x>在<－1,1>上為奇函數(shù)[名師指引]對于抽象函數(shù)的奇偶性問題,解決的關鍵是巧妙進行"賦值",而抽象函數(shù)的不等式問題,要靈活利用已知條件,尤其是f<x1>－f<x2>=f<x1>+f<－x2>[新題導練]1．〔09XX電白一中設函數(shù)為奇函數(shù),則___________。[解析]0；由函數(shù)為奇函數(shù)得到,即所以2．〔高州中學09屆訓練題已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù),則的值是〔A．0；B．；C．1；D．[解析]B；由函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)得,并且,即,所以的值是03．定義兩種運算：,,則是______________函數(shù),〔填奇、偶、非奇非偶,既奇又偶四個中的一個[解析]奇；依和得,其定義域為,所以,可見,是奇函數(shù)4．已知函數(shù)〔a、b、c∈Z是奇函數(shù),又,,求a、b、c的值.[解析]；由f〔－x=－f〔x,得－bx+c=－〔bx+c.∴c=0,由f〔1=2,得a+1=2b,由f〔2＜3,得＜3,解得－1＜a＜2.又a∈Z,∴a=0或a=1.若a=0,則b=,與b∈Z矛盾.∴a=1,b=1,c=0.考點2函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應用[例3]〔普寧市城東中學09已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若,求實數(shù)的取值范圍。[思路點撥]欲求的取值范圍,就要建立關于的不等式,可見,只有從出發(fā),所以應該利用的奇偶性和單調(diào)性將外衣""脫去。[解析]是定義在上奇函數(shù)對任意有由條件得=是定義在上減函數(shù),解得實數(shù)的取值范圍是[名師指引]利用函數(shù)的奇偶性可以求對稱區(qū)間上的函數(shù)的表達式[例4]設函數(shù)f<x>是定義在R上的偶函數(shù),并在區(qū)間<－∞,0>內(nèi)單調(diào)遞增,f<2a2+a+1><f<3a2－2a+1>.求a的取值范圍,并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=<>[思路點撥]欲由f<2a2+a+1><f<3a2－2a+1>求a的取值范圍,就要設法利用函數(shù)f而函數(shù)y=<>是一個復合函數(shù),應該利用復合函數(shù)單調(diào)性的判定方法解決[解析]設0<x1<x2,則－x2<－x1<0,∵f<x>在區(qū)間<－∞,0>內(nèi)單調(diào)遞增,∴f<－x2><f<－x1>,∵f<x>為偶函數(shù),∴f<－x2>=f<x2>,f<－x1>=f<x1>,∴f<x2><f<x1>.∴f<x>在<0,+∞>內(nèi)單調(diào)遞減.由f<2a2+a+1><f<3a2－2a+1>得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之,得0<a<3.又a2－3a+1=<a－>2－.∴函數(shù)y=<>的單調(diào)減區(qū)間是結(jié)合0<a<3,得函數(shù)y=<>的單調(diào)遞減區(qū)間為［,3>.[名師指引]偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反,而奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同。[新題導練]5．〔普寧市城東中學09屆高三模擬若是奇函數(shù),且在內(nèi)是增函數(shù),又,則的解集是〔A.；B.C.；D.[解析]D；因為在內(nèi)是增函數(shù),,所以當時,；當時,,又因是奇函數(shù),其圖象關于原點對稱,所以當時,；當時,,可見的解集是6．〔2007·天津改編在上定義的函數(shù)是奇函數(shù),且,若在區(qū)間是減函數(shù),則函數(shù)〔A.在區(qū)間上是增函數(shù),區(qū)間上是增函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù),區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù),區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù),區(qū)間上是減函數(shù)[解析]C；由知的圖象關于直線對稱,由在區(qū)間是減函數(shù)知在區(qū)間是增函數(shù),又由及是奇函數(shù),得到,進而得,所以是以4為周期的函數(shù),故在上是減函數(shù)。7．〔普寧市城東中學09屆高三模擬定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期4,且時,。求在上的解析式[解析]⑴當時,又為奇函數(shù),,當時,由有最小正周期4,綜上,考點3函數(shù)奇偶性、周期性的綜合應用[例5]〔09年XX第三次調(diào)研考已知定義在上的偶函數(shù)滿足對于恒成立,且,則________[思路點撥]欲求,應該尋找的一個起點值,發(fā)現(xiàn)的周期性[解析]由得到,從而得,可見是以4為周期的函數(shù),從而,又由已知等式得又由是上的偶函數(shù)得又在已知等式中令得,即所以[名師指引]近年將函數(shù)的奇偶性、周期性綜合在一起考查逐步成為一個熱點,解決問題的關鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)的周期性〔奇偶性。[新題導練]8．〔執(zhí)信中學09屆訓練題設是定義在上的正值函數(shù),且滿足.若是周期函數(shù),則它的一個周期是〔.；.；.；.[解析]；由是定義在上的正值函數(shù)及得,,,所以,即的一個周期是69．〔06年XX改編函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件,若則__________[解析]；由得,進而得所以備選例題：〔05年XX設函數(shù),且在閉區(qū)間上,只有〔Ⅰ試判斷函數(shù)的奇偶性；〔Ⅱ試求方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù),并證明你的結(jié)論.[解析]〔Ⅰ方法一：若是偶函數(shù),則于是有,這與在閉區(qū)間上,只有矛盾故不是偶函數(shù)；若是奇函數(shù),則,這與在閉區(qū)間上,只有矛盾,故若不是奇函數(shù)所以既不是偶函數(shù),也不是奇函數(shù)方法二：因為在閉區(qū)間上,只有故,即不是奇函數(shù)又由知,,而,所以,又所以,可見不是偶函數(shù)所以既不是偶函數(shù),也不是奇函數(shù)〔Ⅱ方法一：因為所以,即所以,即又,所以和都是方程的根由和及得到故方程在閉區(qū)間上的根至少有802個如果存在使得,則但,這與在閉區(qū)間上,只有矛盾故在上只有兩個根,即和設是方程在閉區(qū)間上任意一個根,則存在整數(shù),使得,且由上可知或,所以或〔所以故方程在閉區(qū)間上僅有802個根方法二：由知是周期為10的函數(shù),由知的圖象關于直線對稱又因為在上僅有所以在上沒有根即在上只有兩個根,即和于是,在內(nèi)只有400個根,在上僅有2個根,在內(nèi)僅有400個根,在上沒有根。所以故方程在閉區(qū)間上僅有802個根★搶分頻道基礎鞏固訓練：1．〔普寧市城東中學09屆月考已知是定義在R上的函數(shù),且滿足,則"為偶函數(shù)"是〔"2為函數(shù)的一個周期"的<> A．充分不必要條件；B．必要不充分條件；C．充要條件；D．既不充分也不必要條件[解析]C；由得若為偶函數(shù),則,即2為函數(shù)的一個周期；若2為函數(shù)的一個周期,則,又由得,所以,即為偶函數(shù)2．〔XX市金山中學09年模擬若偶函數(shù)在上是增函數(shù),則下列關系式中成立的是〔A．；B．；C．；D．[解析]D；因為為偶函數(shù),故,又,在上是增函數(shù),所以3．〔09年XX翠園、寶安中學設函數(shù)<x∈R>為奇函數(shù),,,則〔A．0；B．1；C．；D．5[解析]C；特取,則4．〔XX市09年高三調(diào)研函數(shù)在其定義域內(nèi)是<>A.是增函數(shù)又是偶函數(shù)；B.是增函數(shù)又是奇函數(shù)C.是減函數(shù)又是偶函數(shù)；D.是減函數(shù)又是奇函數(shù)[解析]B；因為,故是奇函數(shù)；又,可見是增函數(shù),所以應選B5．〔XX市09年高三統(tǒng)考偶函數(shù)滿足：,且在區(qū)間與上分別遞減和遞增,則不等式的解集為〔A．；B．C．；D．[解析]D；由已知條件通過的草圖得知函數(shù)的值在、、上都為正,在、上為負,故不等式的解集為6．〔09年XX九校聯(lián)考已知是定義域為R的奇函數(shù),若當時,,則滿足的的取值范圍是．[解析]；當時,,由已知條件得,又是定義域為R的奇函數(shù),故得,即當時由得；當時由得綜合提高訓練：7．設是上的奇函數(shù),,當時,,則為[解析]；由得,故是以4為周期的函數(shù),故,又是上的奇函數(shù),且當時,所以8．〔四會中學高三09年月考符號表示不超過的最大整數(shù),如,,定義函數(shù)．給出下列四個命題：①函數(shù)的定義域是R,值域為；②方程有無數(shù)個解;③函數(shù)是周期函數(shù)；④函數(shù)是增函數(shù)．其中正確命題的序號有〔A．①④；B．③④；C．②③；D．②④[解析]C；依據(jù)函數(shù)的定義知函數(shù)的定義域是R,但,故①錯誤；而方程,即方程有無數(shù)個解,故②正確；由于當取整數(shù)時,都有,所以函數(shù)不是增函數(shù),即④是錯誤的,從而應選C9.〔08年XX改編設是連續(xù)的偶函數(shù),且當時是單調(diào)函數(shù),求滿足的所有之和[解析]；根據(jù)題意,由已知得,又是連續(xù)的偶函數(shù),且當時是單調(diào)函數(shù),故得或即①或②兩根之和為,②的兩根之和為,所以所有根的和為第一章綜合檢測一、選擇題〔本大題共8小題,每小題5分,共40分1.集合,,則下列關系中,正確的是<>A. ；B.；C.；D.[解析]D；由集合的定義知,應選D〔注意：本題易錯選C2.〔09年XX梁山二中若則實數(shù)的取值范圍是〔A.；B.；C.；D.[解析]B；由題意知,集合不是空集,故實數(shù)即其取值范圍是3．〔09年XX南開中學已知集合,則集合N的真子集個數(shù)為〔A．3；B．4；C．7；D．8[解析]B；由題意得,所以N的真子集個數(shù)為44.下列判斷正確的是〔A．函數(shù)是奇函數(shù)；B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)是非奇非偶函數(shù)D．函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)[解析]C；顯然,函數(shù)的定義域為,不關于原點對稱,故排除A；函數(shù)的定義域為也不關于原點對稱,故排除B；又函數(shù)不是奇函數(shù),所以應選擇C5.〔恩城中學09屆高三上中段考已知定義在正整數(shù)集上的函數(shù)滿足條件：,,,則的值為〔A．－2；B．2；C．4；D．－4[解析]B；由的定義知,是定義在正整數(shù)集上的周期為6的函數(shù),故6．〔08年XX為提高信息在傳輸中的抗干擾能力,通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設定原信息為〔,傳輸信息為,其中,運算規(guī)則為：,,,,例如原信息為111,則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯,則下列接收信息一定有誤的是〔A．11010；B．01100；C．10111；D．00011[解析]C；假設傳輸信息為"10111”,那么的值分別為"1,0,1,1,1”這5個數(shù),據(jù)題目條件必有；,這與矛盾,故此信息錯誤。7．〔07年XX定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),是它的