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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,則集合()A. B. C. D.2.某三棱錐的三視圖如圖所示,那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.03.金庸先生的武俠小說(shuō)《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.264.已知.給出下列判斷:①若,且,則;②存在使得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱;③若在上恰有7個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為;④若在上單調(diào)遞增,則的取值范圍為.其中,判斷正確的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.45.已知點(diǎn),是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線與直線AB平行,則()A.,b為任意非零實(shí)數(shù) B.,a為任意非零實(shí)數(shù)C.a(chǎn)、b均為任意實(shí)數(shù) D.不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b6.集合,,則()A. B. C. D.7.如圖,圓是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的內(nèi)切圓,其與邊相切于點(diǎn),點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn),,則的最大值為()A. B. C.2 D.8.“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的值為()A.0 B.1 C. D.10.若函數(shù)滿足,且,則的最小值是()A. B. C. D.11.3本不同的語(yǔ)文書(shū),2本不同的數(shù)學(xué)書(shū),從中任意取出2本,取出的書(shū)恰好都是數(shù)學(xué)書(shū)的概率是()A. B. C. D.12.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. B.(1,2), C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)、滿足約束條件,若的最小值是,則的值為_(kāi)_________.14.已知單位向量的夾角為,則=_________.15.已知的展開(kāi)式中含有的項(xiàng)的系數(shù)是,則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為_(kāi)_____.16.已知等差數(shù)列滿足,,則的值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標(biāo)點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1.(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程;(2)已知點(diǎn)M(2,0),若直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn),求的值.18.(12分)已知數(shù)列是等差數(shù)列,前項(xiàng)和為,且,.(1)求.(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求和的極坐標(biāo)方程;(2)過(guò)且傾斜角為的直線與交于點(diǎn),與交于另一點(diǎn),若,求的取值范圍.20.(12分)在開(kāi)展學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)的活動(dòng)中,某校高三數(shù)學(xué)教師成立了黨員和非黨員兩個(gè)學(xué)習(xí)組,其中黨員學(xué)習(xí)組有4名男教師、1名女教師,非黨員學(xué)習(xí)組有2名男教師、2名女教師,高三數(shù)學(xué)組計(jì)劃從兩個(gè)學(xué)習(xí)組中隨機(jī)各選2名教師參加學(xué)校的挑戰(zhàn)答題比賽.(1)求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù),求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當(dāng)時(shí),.22.(10分)已知點(diǎn)、分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng),,.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與曲線交于、兩點(diǎn),,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
弄清集合B的含義,它的元素x來(lái)自于集合A,且也是集合A的元素.【詳解】因,所以,故,又,,則,故集合.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的定義,涉及到解絕對(duì)值不等式,是一道基礎(chǔ)題.2.C【解析】
由三視圖還原原幾何體,借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,其中,,為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用,此類問(wèn)題注意實(shí)際問(wèn)題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.4.B【解析】
對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得,進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對(duì)稱性及平移變換,對(duì)四個(gè)命題逐個(gè)分析,可選出答案.【詳解】因?yàn)?,所以周?對(duì)于①,因?yàn)?,所以,即,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為,其圖象關(guān)于軸對(duì)稱,則,解得,故對(duì)任意整數(shù),,所以②錯(cuò)誤;對(duì)于③,令,可得,則,因?yàn)?,所以在上?個(gè)零點(diǎn),且,所以第7個(gè)零點(diǎn),若存在第8個(gè)零點(diǎn),則,所以,即,解得,故③正確;對(duì)于④,因?yàn)椋?,所以,解得,又,所以,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換,考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對(duì)稱性,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力,屬于中檔題.5.A【解析】
求得的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式和兩直線平行的條件:斜率相等,化簡(jiǎn)可得,為任意非零實(shí)數(shù).【詳解】依題意,在點(diǎn)處的切線與直線AB平行,即有,所以,由于對(duì)任意上式都成立,可得,為非零實(shí)數(shù).故選:A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,求切線的斜率,考查兩點(diǎn)的斜率公式,以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力,屬于中檔題.6.A【解析】
計(jì)算,再計(jì)算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.7.C【解析】
建立坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo),得到的表達(dá)式,進(jìn)而得到最大值.【詳解】以D點(diǎn)為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標(biāo)系,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以(0,1)為圓心,1為半徑的圓;根據(jù)三角形面積公式得到,可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為:故得到故得到,故最大值為:2.故答案為C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用,以及參數(shù)方程的應(yīng)用,以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍,是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的運(yùn)算,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問(wèn)題的一般方法.8.C【解析】,令解得當(dāng),的圖像如下圖當(dāng),的圖像如下圖由上兩圖可知,是充要條件【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件的概念,以及函數(shù)圖像的畫(huà)法.9.A【解析】
根據(jù)輸入的值大小關(guān)系,代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入,,因?yàn)?,所以由程序框圖知,輸出的值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)式大小比較,條件程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】
由推導(dǎo)出,且,將所求代數(shù)式變形為,利用基本不等式求得的取值范圍,再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足,,即,,,,即,,則,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.,由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),取得最小值.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算,涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.11.D【解析】
把5本書(shū)編號(hào),然后用列舉法列出所有基本事件.計(jì)數(shù)后可求得概率.【詳解】3本不同的語(yǔ)文書(shū)編號(hào)為,2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)編號(hào)為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個(gè),恰好都是數(shù)學(xué)書(shū)的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫出所有的基本事件,然后計(jì)數(shù)計(jì)算概率.12.A【解析】
若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率.根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率,,離心率,,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,解題時(shí)要注意挖掘隱含條件.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域,求出交點(diǎn)的坐標(biāo),由得,顯然直線過(guò)時(shí),最小,代入求出的值即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,解得,則點(diǎn).由得,顯然當(dāng)直線過(guò)時(shí),該直線軸上的截距最小,此時(shí)最小,,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,考查數(shù)形結(jié)合思想,是一道中檔題.14.【解析】
因?yàn)閱挝幌蛄康膴A角為,所以,所以==.15.1【解析】
由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)公式得:,解得,令得:展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和,得解.【詳解】解:由的展開(kāi)式的通項(xiàng),令,得含有的項(xiàng)的系數(shù)是,解得,令得:展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)公式,屬于中檔題.16.11【解析】
由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得,由即可求出公差,即可求解;【詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,,又因?yàn)?,解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)l:,C方程為;(2)=【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.
(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),兩式相加得到,進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為.直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1,則轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.(2)將直線的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入得到(t1和t2為P、Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)),所以,,所以=.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.18.(1)(2)【解析】
(1)由數(shù)列是等差數(shù)列,所以,解得,又由,解得,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)得,利用乘公比錯(cuò)位相減,即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】(1)由題意,數(shù)列是等差數(shù)列,所以,又,,由,得,所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差的通項(xiàng)公式、以及“錯(cuò)位相減法”求和的應(yīng)用,此類題目是數(shù)列問(wèn)題中的常見(jiàn)題型,解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ),準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵,易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí),弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù),能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.19.(1);(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換公式,把參數(shù)方程,直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(2)利用極坐標(biāo)方程將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?,所以的普通方程為,又,,,的極坐標(biāo)方程為,的方程即為,對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)方程為.(2)由己知設(shè),,則,,所以,又,,當(dāng),即時(shí),取得最小值;當(dāng),即時(shí),取得最大值.所以,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角坐標(biāo)方程,參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化,三角函數(shù)的值域求解等知識(shí),考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20.(1)28種;(2)分布見(jiàn)解析,.【解析】
(1)分這名女教師分別來(lái)自黨員學(xué)習(xí)組與非黨員學(xué)習(xí)組,可得恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)X的可能取值為,再求出X的每個(gè)取值的概率,可得X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數(shù)為種.(2)X的可能取值為0,1,2,3.,,,.故X的概率分布為:X0123P所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查組合數(shù)與組合公式及離散型隨機(jī)變量的期望和方差,相對(duì)不難,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.21.(1)(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)取,則;取,則,∴;(2)要
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