江西省安遠(yuǎn)縣一中2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．3本不同的語(yǔ)文書(shū)，2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，從中任意取出2本，取出的書(shū)恰好都是數(shù)學(xué)書(shū)的概率是（）A． B． C． D．2．小明有3本作業(yè)本，小波有4本作業(yè)本，將這7本作業(yè)本混放在-起，小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．4．某空間幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1），則這個(gè)幾何體的體積是（）A． B． C．16 D．325．我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢(mèng)”的長(zhǎng)寬比為.在東方文化中通常稱(chēng)這個(gè)比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計(jì)和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺(tái)到塔底的高度之比，第二展望臺(tái)到塔底的高度與第一展望臺(tái)到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺(tái)間高度差為100米，則下列選項(xiàng)中與該塔的實(shí)際高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米6．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．7．在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)锳．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙8．已知三棱錐的體積為2，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且三棱錐的外接球的球心恰好是中點(diǎn)，則球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．11．如圖，在正四棱柱中，，分別為的中點(diǎn)，異面直線與所成角的余弦值為，則()A．直線與直線異面，且 B．直線與直線共面，且C．直線與直線異面，且 D．直線與直線共面，且12．若，，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)、分別是棱，的中點(diǎn)，是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是______.14．已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是___________．15．曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為_(kāi)___.16．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為_(kāi)_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）說(shuō)明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，又直線上有兩點(diǎn)和，且，又點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極角為銳角.求：①點(diǎn)的極角；②面積的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，求證：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．19．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個(gè)有序集合組，其中.記集合中元素的個(gè)數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，求的值；利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿(mǎn)足任意，，都有.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線:的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，為的中點(diǎn).（1）證明:軸；（2）直線是否恒過(guò)定點(diǎn)?若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知橢圓的離心率為，且以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)又本€l過(guò)右焦點(diǎn)F，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，已知Q點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值．22．（10分）某市環(huán)保部門(mén)對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類(lèi)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參與問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分（滿(mǎn)分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問(wèn)卷得分不低于70分的市民稱(chēng)為“環(huán)保關(guān)注者”，請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？(2)若問(wèn)卷得分不低于80分的人稱(chēng)為“環(huán)保達(dá)人”．視頻率為概率．①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率；②為了鼓勵(lì)市民關(guān)注環(huán)保，針對(duì)此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)；其他參與的市民獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)．每次抽獎(jiǎng)獲得紅包的金額和對(duì)應(yīng)的概率.如下表：紅包金額（單位：元）1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

把5本書(shū)編號(hào)，然后用列舉法列出所有基本事件．計(jì)數(shù)后可求得概率．【詳解】3本不同的語(yǔ)文書(shū)編號(hào)為，2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)編號(hào)為，從中任意取出2本，所有的可能為：共10個(gè)，恰好都是數(shù)學(xué)書(shū)的只有一種，∴所求概率為．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫(xiě)出所有的基本事件，然后計(jì)數(shù)計(jì)算概率．2．A【解析】

利用計(jì)算即可，其中表示事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)，為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結(jié)果，其中，小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結(jié)果，由古典概型的概率計(jì)算公式，小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.3．A【解析】

用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因?yàn)?所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),故可以排除;因?yàn)?故排除,因?yàn)橛蓤D象知,排除.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.4．A【解析】幾何體為一個(gè)三棱錐，高為4，底面為一個(gè)等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為4，所以體積是，選A.5．B【解析】

根據(jù)題意，畫(huà)出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)的距離，進(jìn)而由比例即可求得該塔的實(shí)際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺(tái)到塔底的高度為米，塔的實(shí)際高度為米，幾何關(guān)系如下圖所示：由題意可得，解得；且滿(mǎn)足，故解得塔高米，即塔高約為480米.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)中國(guó)文化的理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6．A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設(shè)，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都用表示出來(lái)，從而再由勾股定理建立的關(guān)系．7．A【解析】

利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲比乙成績(jī)高，丙比乙成績(jī)低，故3人成績(jī)由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預(yù)測(cè)正確，則丙預(yù)測(cè)也正確，不符合題意；若丙預(yù)測(cè)正確，則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，丙比乙的成績(jī)高，乙比甲成績(jī)高，即丙比甲，乙成績(jī)都高，即乙預(yù)測(cè)正確，不符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)政結(jié)合，主要考查推理判斷能力．題目有一定難度，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查．8．A【解析】

根據(jù)是中點(diǎn)這一條件，將棱錐的高轉(zhuǎn)化為球心到平面的距離，即可用勾股定理求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以到平面的距離為，三棱錐的體積，解得，作平面，垂足為的外心，所以，且，所以在中，，此為球的半徑，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，考查點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．9．B【解析】

可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.10．B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)定義得到，故，再利用和差公式得到答案.【詳解】∵角的終邊過(guò)點(diǎn)，∴，.∴.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，和差公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11．B【解析】

連接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線與直線共面.，同理易得，由異面直線所成的角的定義可知，異面直線與所成角為，然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：連接，，，，由正方體的特征得，所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得，所以異面直線與所成角為.設(shè)，則，則，，，由余弦定理，得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì)，還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.12．A【解析】

取，得到，取，則，計(jì)算得到答案.【詳解】取，得到；取，則.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，取和是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出平面平面，從而點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，作于，由，能求出線段長(zhǎng)度的取值范圍．【詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，，，，，平面平面，是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，在等腰△中，，，作于，由等面積法解得：，，線段長(zhǎng)度的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查線段長(zhǎng)的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．14．【解析】

作出函數(shù)的圖象及直線，如下圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，所以由圖象可知，，，所以．15．【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.【詳解】解：∵，

∴，

則，

又，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

則函數(shù)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為，

即，

故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.16．【解析】

解法一：曲線上任取一點(diǎn)，利用基本不等式可求出該點(diǎn)到直線的距離的最小值；解法二：曲線函數(shù)解析式為，由求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出切點(diǎn)到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一（基本不等式）：在曲線上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，曲線上任意一點(diǎn)到直線距離的最小值為；解法二（導(dǎo)數(shù)法）：曲線的函數(shù)解析式為，則，設(shè)過(guò)曲線上任意一點(diǎn)的切線與直線平行，則，解得，當(dāng)時(shí)，到直線的距離；當(dāng)時(shí)，到直線的距離.所以曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查曲線上一點(diǎn)到直線距離最小值的計(jì)算，可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來(lái)找出切點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線的距離，也可以設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為（2）①②【解析】

（1）求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程，消參后求得的普通方程，判斷出對(duì)應(yīng)的曲線，并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）①將的極角代入直線的極坐標(biāo)方程，由此求得點(diǎn)的極徑，判斷出為等腰三角形，求得直線的普通方程，由此求得，進(jìn)而求得，從而求得點(diǎn)的極角.②解法一：利用曲線的參數(shù)方程，求得曲線上的點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得的最小值和最大值，由此求得面積的取值范圍.解法二：根據(jù)曲線表示的曲線，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值，進(jìn)而求得面積的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），因?yàn)閯t曲線的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.所以的極坐標(biāo)方程為，即.（2）①點(diǎn)的極角為，代入直線的極坐標(biāo)方程得點(diǎn)極徑為，且，所以為等腰三角形，又直線的普通方程為，又點(diǎn)的極角為銳角，所以，所以，所以點(diǎn)的極角為.②解法1：直線的普通方程為.曲線上的點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)，即（）時(shí)，取到最小值為.當(dāng)，即（）時(shí)，取到最大值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.解法2：直線的普通方程為.因?yàn)閳A的半徑為2，且圓心到直線的距離，因?yàn)椋詧A與直線相離.所以圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為，最小值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.【點(diǎn)睛】本小題考查坐標(biāo)變換，極徑與極角；直線，圓的極坐標(biāo)方程，圓的參數(shù)方程，直線的極坐標(biāo)方程與普通方程，點(diǎn)到直線的距離等.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，包括運(yùn)算原理的理解與應(yīng)用、運(yùn)算方法的選擇與優(yōu)化、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)與改進(jìn)等.也兼考了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).18．見(jiàn)解析【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域?yàn)?，則，設(shè)，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，為，無(wú)極大值．（2）由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?，，設(shè)，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)椋?，，又，所以函?shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．19．；證明見(jiàn)解析.【解析】

當(dāng)時(shí)，集合共有個(gè)子集，即可求出結(jié)果；分類(lèi)討論，利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】當(dāng)時(shí)，集合共有個(gè)子集，所以；①當(dāng)時(shí)，，由可知，，此時(shí)令，，，，滿(mǎn)足對(duì)任意，都有，且；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，存在有序集合組滿(mǎn)足題意，且，則當(dāng)時(shí)，集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè)，因?yàn)槭?的整數(shù)倍，所以令，，，，且恒成立，即滿(mǎn)足對(duì)任意，都有，且，綜上，原命題得證.【點(diǎn)睛】本題考查集合的自己個(gè)數(shù)的研究，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于難題.20．（1）見(jiàn)解析（2）直線過(guò)定點(diǎn).【解析】

（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)并代入切線的方程，同理將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線的方程，利用韋達(dá)定理求得線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此判斷出軸.（2）求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此求得點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的斜率，由此求得直線的方程，化簡(jiǎn)后可得直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)，，，∴切線的斜率為，切線：，設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得，同理可的.∴，是方程的兩根，∴，，，∴軸.（2）∵，∴.∵，∴直線：，即，∴直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.21．（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，得到，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，得到原心到直線的距離等于半徑，得到，從而求得，進(jìn)而求得