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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則的最小值為()A. B. C. D.2.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的焦距為()A. B. C.6 D.83.已知、分別為雙曲線:(,)的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,,則的離心率為()A.2 B. C. D.4.定義運(yùn)算,則函數(shù)的圖象是().A. B.C. D.5.已知函數(shù),,若對(duì),且,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知,則下列不等式正確的是()A. B.C. D.7.設(shè)函數(shù)滿足,則的圖像可能是A. B.C. D.8.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則()A.1 B.2 C.3 D.49.下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是(1)對(duì)于命題使得,則都有;(2)已知,則(3)已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回歸直線方程為;(4)“”是“”的充分不必要條件.A.1 B.2 C.3 D.410.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,則a3=()A.2 B.4 C. D.811.《九章算術(shù)》中記載,塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱,陽(yáng)馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,在塹堵中,,,當(dāng)陽(yáng)馬體積的最大值為時(shí),塹堵的外接球的體積為()A. B. C. D.12.已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球(),現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球,再換回一個(gè)不同顏色的球(即若取出的是白球,則放回一個(gè)黑球;若取出的是黑球,則放回一個(gè)白球),記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是.若,則=()A. B.1 C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載“今有人共買(mǎi)物,人出八,盈三;人出七,不足四.問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何?”設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、,滿足,則_____,_____.14.(5分)已知為實(shí)數(shù),向量,,且,則____________.15.記數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且.若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.16.已知,,且,若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線,的交點(diǎn)分別為、(、異于原點(diǎn)),當(dāng)斜率時(shí),求的最小值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)是直線的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,求的最小值.19.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)證明:20.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且平面.(1)求證:;(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.21.(12分)如圖,在正四棱柱中,,,過(guò)頂點(diǎn),的平面與棱,分別交于,兩點(diǎn)(不在棱的端點(diǎn)處).(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)求證:與不垂直;(3)若平面與棱所在直線交于點(diǎn),當(dāng)四邊形為菱形時(shí),求長(zhǎng).22.(10分)如圖所示,在四棱錐中,∥,,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)證明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
由,可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可知當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,從而可知的最小值為,求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,由題意得,,得,解得,得.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則的最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.2.A【解析】
依題意可得,再根據(jù)離心率求出,即可求出,從而得解;【詳解】解:∵雙曲線的離心率為,所以,∴,∴,雙曲線的焦距為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
作出圖象,取AB中點(diǎn)E,連接EF2,設(shè)F1A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,進(jìn)而得到e的值【詳解】解:取AB中點(diǎn)E,連接EF2,則由已知可得BF1⊥EF2,F(xiàn)1A=AE=EB,設(shè)F1A=x,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,則EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,則e故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用,考查離心率的求法,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.對(duì)于圓錐曲線中求離心率的問(wèn)題,關(guān)鍵是列出含有中兩個(gè)量的方程,有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對(duì)方程進(jìn)行整理,從而求出離心率.4.A【解析】
由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值,因此函數(shù),只有選項(xiàng)中的圖象符合要求,故選A.5.D【解析】
先求出的值域,再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)值域,由方程有兩個(gè)根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因?yàn)椋?,?dāng)時(shí),,故在區(qū)間上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,故在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令,解得,故在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.又,且當(dāng)趨近于零時(shí),趨近于正無(wú)窮;對(duì)函數(shù),當(dāng)時(shí),;根據(jù)題意,對(duì),且,使得成立,只需,即可得,解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問(wèn)題,涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問(wèn)題,屬綜合困難題.6.D【解析】
利用特殊值代入法,作差法,排除不符合條件的選項(xiàng),得到符合條件的選項(xiàng).【詳解】已知,賦值法討論的情況:(1)當(dāng)時(shí),令,,則,,排除B、C選項(xiàng);(2)當(dāng)時(shí),令,,則,排除A選項(xiàng).故選:D.【點(diǎn)睛】比較大小通常采用作差法,本題主要考查不等式與不等關(guān)系,不等式的基本性質(zhì),利用特殊值代入法,排除不符合條件的選項(xiàng),得到符合條件的選項(xiàng),是一種簡(jiǎn)單有效的方法,屬于中等題.7.B【解析】根據(jù)題意,確定函數(shù)的性質(zhì),再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì).由得是偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),可知B,D符合;由得是周期為2的周期函數(shù),選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4,不符合,選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2,符合,故選B.8.D【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率,列出a的方程即可求解【詳解】因?yàn)椋以邳c(diǎn)處的切線的斜率為3,所以,即.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題9.C【解析】
由題意,(1)中,根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系,即可判定是正確的;(2)中,根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì),即可判定是正確的;(3)中,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程,即可判定是正確;(4)中,基本不等式和充要條件的判定方法,即可判定.【詳解】由題意,(1)中,根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系,可知命題使得,則都有,是錯(cuò)誤的;(2)中,已知,正態(tài)分布曲線的性質(zhì),可知其對(duì)稱(chēng)軸的方程為,所以是正確的;(3)中,回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程,可得回歸直線方程為是正確;(4)中,當(dāng)時(shí),可得成立,當(dāng)時(shí),只需滿足,所以“”是“”成立的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì),以及基本不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】
根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,,解得或(舍去).故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11.B【解析】
利用均值不等式可得,即可求得,進(jìn)而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又陽(yáng)馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點(diǎn)睛】本題以中國(guó)傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).12.B【解析】由題意或4,則,故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用已知條件,通過(guò)求解方程組即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、,滿足,解得,.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,方程組的求解,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14.5【解析】
由,,且,得,解得,則,則.15.【解析】
根據(jù)遞推公式,以及之間的關(guān)系,即可容易求得,再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,求得其最大值,則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得.所以.因?yàn)?,則,兩式相減,可得,即,則.兩式相減,可得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,所以,則.令,則.當(dāng)時(shí),,數(shù)列單調(diào)遞減,而,,,故,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷,屬綜合困難題.16.(-4,2)【解析】試題分析:因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以考點(diǎn):基本不等式求最值三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)的極坐標(biāo)方程為;曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)【解析】
(1)消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程,再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,即可求解.(2)解法1:設(shè)直線的傾斜角為,把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程,求得,再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程,得,得出,利用基本不等式,即可求解;解法2:設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為,分別代入曲線,的極坐標(biāo)方程,得,,得出,即可基本不等式,即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程為,即,則曲線的極坐標(biāo)方程為,即,又因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為,即,根據(jù),代入即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1:設(shè)直線的傾斜角為,則直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得:,解得,,,把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得:,解得,,,,,即,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故的最小值為.解法2:設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為),代入曲線的極坐標(biāo)方程,得,,把直線的參數(shù)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程得:,,即,,曲線的參,即,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程,以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程點(diǎn)互化,以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用和極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,其中解答中熟記互化公式,合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18.(1),;(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)消去t,得直線的普通方程,利用極坐標(biāo)與普通方程互化公式得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)判斷與圓相離,連接,在中,,即可求解【詳解】(1)將的參數(shù)方程(為參數(shù))消去參數(shù),得.因?yàn)椋?,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)知曲線是以為圓心,3為半徑的圓,設(shè)圓心為,則圓心到直線的距離,所以與圓相離,且.連接,在中,,所以,,即的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,極坐標(biāo)與普通方程互化,直線與圓的位置關(guān)系,是中檔題19.(Ⅰ)最小值為;(Ⅱ)見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)題意構(gòu)造平均值不等式,結(jié)合均值不等式可得結(jié)果;(2)利用分析法證明,結(jié)合常用不等式和均值不等式即可證明.【詳解】(Ⅰ)則當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),所以的最小值為.(Ⅱ)要證明:,只需證:,即證明:,由,也即證明:.因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)時(shí),有,即,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式,分析法證明不等式,審清題意,仔細(xì)計(jì)算,屬中檔題.20.見(jiàn)解析【解析】
(1)如圖,連接,交于點(diǎn),連接,,則為的中點(diǎn),因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,又,所以,從而,,,四點(diǎn)共面.因?yàn)槠矫?,平面,平面平面,所以.又,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以?)因?yàn)?,為的中點(diǎn),所以,又三棱柱是直三棱柱,,所以,,互相垂直,分別以,,的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,,所以,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,可得,,所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,可得,,所以平面的一個(gè)法向量為,所以,所以平面與平面所成二面角的正弦值為.21.(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3).【解析】
(1)由平面與平面沒(méi)有交點(diǎn),可得與不相交,又與共面,所以,同理可證,得證;(2)由四邊形是平行四邊形,且,則不可能是矩形,所以
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