數(shù)學模型的建立

第二章線性自動調節(jié)系統(tǒng)的數(shù)學模型

第一節(jié)數(shù)學模型的建立

第二節(jié)傳遞函數(shù)第三節(jié)脈沖響應和階躍響應

第四節(jié)環(huán)節(jié)的聯(lián)接方式

要了解系統(tǒng)的性能，就必須掌握系統(tǒng)中各變量之間的相互關系。這些相互關系是用數(shù)學方程來描述的，稱之為系統(tǒng)的數(shù)學模型。

分析和設計自動控制系統(tǒng)的一個首要任務就是建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。第一節(jié)數(shù)學模型的建立.靜態(tài)

——運動中的自動調節(jié)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)），其輸入信號和輸出信號都不隨時間變化時，也稱系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）處于平衡狀態(tài)。

.靜態(tài)特性——在平衡狀態(tài)時，輸出信號和引起它變化的輸入信號之間的關系。一、靜態(tài)特性例：(1)

RC電路輸入量-----電壓u1

輸出量-----電容兩端的電壓uc。靜態(tài)特性方程：

uc=u1

(2)

閥門輸入量---閥門前后的差壓△P

輸出量---流量Q

靜態(tài)特性方程：

fr—閥門局部阻力系數(shù)。

(3)閥門輸入量---閥門開度m

輸出量---流量Q

動態(tài)

----運動中的自動調節(jié)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)），當輸入信號和輸出信號隨時間變化時，稱系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）處于不平衡狀態(tài)或動態(tài)。動態(tài)特性---在不平衡狀態(tài)時，輸出信號和引起它變化的輸入信號之間的關系。二、動態(tài)特性例:

RC電路，已知電阻阻值為R，電容為C,當輸入信號為u1，輸出信號為uc時，試寫出該電路的動態(tài)特性方程。

解：1、寫出輸入電壓u1與輸出電壓uc的差值變化引起電流i變化的關系式。

2、寫出輸出信號uc與i的關系式

3、消去中間變量i，整理得RC電路的動態(tài)特性方程式：

環(huán)節(jié)的靜態(tài)特性方程式：例：試列出圖示系統(tǒng)的微分方程式，并比較得到的結果：(a)中系統(tǒng)的輸入信號為FA,輸出信號為質量m的位移x;(b)中系統(tǒng)的輸入信號為流經(jīng)電路的電量q,輸出信號為ur?！猓?a)根據(jù)牛頓第二定律

（b）假定回路電流為i，則：

因此：

電流,q為電量，上式可寫成系統(tǒng)的數(shù)學模型可以從兩個方面來描述：穩(wěn)態(tài)（靜態(tài)）工況下，系統(tǒng)的參數(shù)與時間無關，確定系統(tǒng)各參數(shù)之間關系的數(shù)學方程是代數(shù)方程。動態(tài)特性下，系統(tǒng)輸出總是隨著輸入的變化而變化，并且系統(tǒng)還會受到隨時間而變化的各種干擾，系統(tǒng)的各個變量都是隨時間而變化的，所以，描繪系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學方程不僅包含變量本身，而且也包含了這些變量的變化率或導數(shù)，這樣的數(shù)學方程就是微分方程，微分方程是表征系統(tǒng)動態(tài)特性的一種最基本的數(shù)學方程。

實際的生產(chǎn)過程是很復雜的，因此在建立數(shù)學模型時，必須確定哪些變量是可以忽略的，而哪些對模型的準確性具有決定性作用的變量是不可忽略的。針對不同的自動調節(jié)系統(tǒng)，必須在模型的簡化程度與分析結果的精確性方面提出適當?shù)囊?。為了簡化調節(jié)系統(tǒng)的分析，在研究系統(tǒng)特性時，通常總是把非線性系統(tǒng)近似線性化。在某個一定的工況下，當系統(tǒng)參數(shù)在小范圍內變化時，可以應用“小偏差法”將某些非線性系統(tǒng)予以線性化。

計算機的運算速度快、精度高，必要時可以用多達幾百個方程來描述一個完整的系統(tǒng)，這為建立精確的數(shù)學模型開辟了新的途徑。但在大多數(shù)場合下，人們往往用一個低階的線性數(shù)學模型來描述生產(chǎn)過程的動態(tài)特性，因為低階的近似模型在分析控制系統(tǒng)時已具有足夠的精確度，而且明顯地減少了計算工作量。幾種典型的物理系統(tǒng)微分方程的建立：1、機械系統(tǒng)2、電氣系統(tǒng)對比機械系統(tǒng)：

VS3、熱力系統(tǒng)基本定律：其中熱容量：熱阻：單位熱流量變化引起的溫度變化。對比

注：對于尺寸較小的物體或很好混合的液體、氣體，可以認為物體的溫度處處相等，屬集中參數(shù)的對象，動態(tài)特性可以用線性微分方程描述。對于象鍋爐過熱器、省煤器這類有著很長蛇形管的對象，屬于分布參數(shù)對象，動態(tài)特性的數(shù)學描述就不能簡單地用線性微分方程來表示。熱電偶：冷端溫度為0，熱端為θ

平衡時：θ=被測介質溫度θw此時，介質溫度升高，則：一階常系數(shù)線性微分方程熱流量熱端溫度升高熱電偶的輸出液體加熱器設熱容，熱阻小增量范圍線性化，得：一階常系數(shù)線性微分方程4、液力系統(tǒng)流阻：層流：紊流（伯努利）：系統(tǒng)的指定工作點為h=h0,q2=q20，則其近似線性方程：式中：流阻：工作點附近的小范圍內，可把流阻看作常數(shù)

假設輸入增加了Δq1,則：

小偏差情況,R可視作常數(shù)：則：為方便表示，省略符號“Δ”：一、建立物理微分方程的基本步驟：分析系統(tǒng)的工作原理，確定輸入輸出變量的相互關系；2.根據(jù)支配系統(tǒng)運動的物理規(guī)律，寫出各變量之間的運動方程；3.消去中間變量，得出輸入、輸出變量之間的微分方程。二、不同的環(huán)節(jié)雖然物理結構不同，但是表示動態(tài)特性的微分方程形式相同時，可以抽象地認為是同類環(huán)節(jié)(相似系統(tǒng))。三、對一個具體環(huán)節(jié)來說，微分方程的階次和各系數(shù)值由環(huán)節(jié)內部的結構和物理參數(shù)而決定。四、靜態(tài)特性包含在動態(tài)特性之中。歸納：五、比較上述系統(tǒng)，可以發(fā)現(xiàn)其特性參數(shù)有著一定的相似性歸納：相似系統(tǒng)：具有相同的數(shù)學模型，而物理性質不同的系統(tǒng)1、定義：

拉普拉斯變換存在的條件為：2、基本定理

(1)線性定理第二節(jié)傳遞函數(shù)一、拉普拉斯變換簡介

(2)微分定理

(3)位移定理設F(s)=L[f(t)]則L[eatf(t)]=F(s-a)

設F(s)=L[f(t)]則L[f(t-T)]=e-TSF(s)

(5)初值定理

設F（s）=L[f(t)]，如果下列極限存在的話，則有

(6)終值定理設F（s）=L[f(t)]，并且SF（s）在虛軸上及右半平面內沒有極點，則有：

(4)遲延定理

(7)卷積定理設F1(s)=L[f1(t)]，F(xiàn)2(s)=L[f2(t)]

則常用函數(shù)的拉氏變換

3、部分分式法※解：將F（s）分解為部分分式：例1

求F(s)的反變換。拉氏反變換利用公式由X(s)求其反變換x(t)是很困難的。工程上常用的函數(shù)，其拉氏變換一般是s的有理分式所以常用部分分式法求反變換：求待定常數(shù)K1，K2，由式（2-16），得：

進行反變換，求得原函數(shù)

f(t)=-e-3t+2e-t所以例2

求的反變換※解：查拉普拉斯變換對照表，得：

f(t)=e-tcost+2e-tsint利用拉氏變換解微分方程：例：利用拉氏變換解微分方程解法一：二階常系數(shù)（非齊次）線性微分方程，形式如下：對應的二階齊次線性微分方程為：特征方程是：求解程序：1、先求齊次方程的通解yc：由特征方程的根的形式寫出通解2、再求非齊次方程的一個特解y*：用代參系數(shù)法，根據(jù)自由項f(x)的形式設出特解的形式3、y=yc+y*就是方程的解解法二：利用拉氏變換二、傳遞函數(shù)在自動控制理論中，動態(tài)特性的描述一般不是直接采用微分方程，而是采用便于系統(tǒng)分析綜合的其他一些方法，傳遞函數(shù)就是其中一種最重要的描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學工具。例：熱電偶測溫的動態(tài)特性的數(shù)學模型：在初始值為零的條件下，進行拉氏變換：輸出量的拉氏變換式：輸出量取決于輸入量（介質溫度的變化）和熱電偶的結構。寫成如下形式：

G(s)就是熱電偶的傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉普拉斯變換式與輸入量的拉普拉斯變換式之比。傳遞函數(shù)反映了系統(tǒng)自身的動態(tài)本質。對熱電偶來說，熱電偶的傳遞函數(shù)僅決定于熱電偶及其保護套管的材料和結構，它反映了熱電偶自身的動態(tài)本質。

設線性定常系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的微分方程是：

在初始條件為零的情況下，對上式進行拉普拉斯變換，得：

（n≥m）

所以，該系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的傳遞函數(shù)為：

S的階次、系數(shù)與微分方程的階次、系數(shù)一一對應，傳遞函數(shù)中各項系數(shù)的數(shù)值完全取決與系統(tǒng)的結構參數(shù)，與輸入信號無關。

可改寫為：

式中：K為常數(shù)；

Z1,，Z2，…，Zm為傳遞函數(shù)分子多項式方程的根，稱為傳遞函數(shù)的零點；

P1，P2，…，Pm為分母多項式方程的根，稱為傳遞函數(shù)的極點。

傳遞函數(shù)的分母式就是微分方程的特征方程式，故P1，P2，…，Pm又稱為特征方程的根。

取s=0，則：

則傳遞函數(shù)G(0)就是靜態(tài)放大系數(shù)，即

上式為系統(tǒng)的靜態(tài)方程，它反映了在穩(wěn)態(tài)時輸出與輸入之間的關系。

傳遞函數(shù)具有以下性質：（2）一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關系。（3）系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母就是系統(tǒng)的特征方程，從而能方便地判斷動態(tài)過程的基本特性。(1)傳遞函數(shù)是描述動態(tài)特性的數(shù)學模型，它表征系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的固有特性，和輸入信號的具體形式、大小無關。在已知傳遞函數(shù)G(S)和輸入函數(shù)R(S)時，輸出的時域響應為:

c(t)＝L-1[C(s)]＝L-1[G(s)R(s)]如果輸入R(S)是一個簡單且較典型的時間函數(shù)，則可從c(t)來了解系統(tǒng)的動態(tài)特性。典型的輸入有：單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)。在輸入為單位脈沖函數(shù)時，系統(tǒng)的輸出隨時間而變化的過程，稱為單位脈沖響應。在輸入為單位階躍函數(shù)時，系統(tǒng)的輸出隨時間而變化的過程，稱為單位階躍響應。

第三節(jié)脈沖響應和階躍響應單位脈沖函數(shù)：

可以看成面積為1四矩形脈沖函數(shù)在寬度τ→0時的極限單位脈沖響應函數(shù)當系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的輸入信號r(t)為單位脈沖函數(shù)(t)，傳遞函數(shù)為G（s），則它的輸出信號c(t)稱為單位脈沖響應，c(t)的數(shù)學表達式稱為單位脈沖響應函數(shù)。

例

RC電路的傳遞函數(shù)，試求其單位脈沖響應函數(shù)，并作出單位脈沖響應曲線?！猓簡挝幻}沖響應函數(shù)uc(t)為：作單位脈沖響應曲線圖：

單位脈沖函數(shù)在物理系統(tǒng)中是不存在的，是一個重要的數(shù)學工具。持續(xù)時間很短的脈沖電壓信號、沖擊等，可近似看作脈沖作用。二．單位階躍響應函數(shù)當系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的輸入信號r(t)為單位階躍函數(shù)1(t)，傳遞函數(shù)為G（s），則它的輸出信號c(t)稱為單位階躍響應，c(t)的數(shù)學表達式稱為單位階躍響應函數(shù)。由于單位階躍函數(shù)1(t)的拉普拉斯變換為：

則它的單位階躍響應函數(shù)為：例

RC電路的傳遞函數(shù)，試求其單位階躍響應函數(shù)，并作出單位階躍響應曲線。

※解：單位階躍響應函數(shù)為：單位階躍響應曲線圖:

電阻R和電容C的乘積是RC電路的時間常數(shù)二．單位階躍響應函數(shù)在生產(chǎn)過程中，很多擾動近似于階躍函數(shù)的性質，如負荷的突然變化，閥門的突然開大等。因此，用階躍響應特性來表示一個環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的動態(tài)特性，能夠比較直觀地顯示出其輸出量在擾動作用下的變化情況。在工業(yè)過程中，為了測試系統(tǒng)的動態(tài)特性，經(jīng)常采用階躍響應試驗（又稱飛升試驗），這是因為在生產(chǎn)過程中很容易通過調節(jié)機關或擾動機關造成階躍輸入，記錄系統(tǒng)的輸出量便得出階躍響應曲線。采用低階近似的辦法由階躍響應曲線可推導出近似的傳遞函數(shù)。脈沖響應特性和階躍響應特性也是在時間域中對系統(tǒng)特性的一種數(shù)學描述方法，實際上它們就是微分方程在特定的輸入函數(shù)和給定邊界條件下的解，它們可以用輸出量的時間函數(shù)表示，也可以用輸出量隨時間變化的曲線來描述。

在分析控制系統(tǒng)時，可以用方框圖表示各變量之間的關系。方框圖中的每一個方框稱為環(huán)節(jié)，系統(tǒng)是由若干個環(huán)節(jié)以不同方式聯(lián)接而成。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：式中，Ti和Tj稱為時間常數(shù)，有時間量綱。第四節(jié)基本環(huán)節(jié)及環(huán)節(jié)的聯(lián)接方式

如果分子或分母的常數(shù)項和低次冪依次r項都缺項，則G(s)可表示為：可以看出，組成系統(tǒng)的各種環(huán)節(jié)中最基本的形式是一階因式。這些基本環(huán)節(jié)可歸納成：比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和遲延環(huán)節(jié)。一、基本環(huán)節(jié)1．比例(Proportional)環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：作比例環(huán)節(jié)的階躍響應曲線圖比例環(huán)節(jié)的微分方程為：

K—環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)或比例系數(shù)。輸出信號能按一定比例、無遲延和無慣性地復現(xiàn)輸入信號的變化，因此輸出信號與輸入信號隨時間變化的曲線形狀完全相同。2、積分(Integral)環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的微分方程為：比例環(huán)節(jié)的實例很多。杠桿傳動間的位移或力的傳遞、齒輪傳動間的轉速或力矩的傳遞都是成比例關系的；各種放大器間的輸入電壓和輸出電壓間的關系是比例關系；流經(jīng)電阻的電流與電壓之間成比例關系，因此電阻以及相類似的線性化的流阻，熱阻也都可以看作是比例環(huán)節(jié)。積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

作積分環(huán)節(jié)的階躍響應曲線:Ti的數(shù)值等于當輸出信號從零變化到與輸入信號的階躍變化量在數(shù)值上相等時所經(jīng)歷的一段時間。積分環(huán)節(jié)的實例很多，凡是輸出量反映輸入量對時間的累加值的環(huán)節(jié)都屬于積分環(huán)節(jié)。一個儲藏物質或能量的元件，若以流量作為輸入信號，以表征儲藏量多少的相當于勢能的參數(shù)作為輸出信號，則這種元件的特性就屬于積分環(huán)節(jié)。例如：電容器：等截面積水箱：

積分環(huán)節(jié)的一個很重要特點，就是當輸入信號為零時輸出信號才能保持不變，而且能保持在任何數(shù)值上。只要輸入端有信號，哪怕是很微小的信號，輸出就不可能穩(wěn)定，且會隨時間的推移而不斷變化，以致出現(xiàn)明顯的變化，這就是積分環(huán)節(jié)的輸出“爬行”現(xiàn)象。在自動調節(jié)器的設計中，引用積分環(huán)節(jié)便可以消除被調量的偏差。

3、慣性環(huán)節(jié)（非周期環(huán)節(jié)）式中T—慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；

K—慣性環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)或稱靜態(tài)放大系數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為它的階躍響應函數(shù)，即時，輸出信號c(t)為：慣性環(huán)節(jié)的微分方程為階躍響應曲線：K就是輸出的穩(wěn)態(tài)值與輸入的穩(wěn)態(tài)值之比慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分母為Ts＋1，因此，它的特征方程有一個負實根：特征方程式的根與階躍響應曲線之間的關系根在負實軸上距原點越遠，表明慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)就越小，階躍響應曲線趨于穩(wěn)態(tài)值就越快。例：如圖所示的阻容電路：

比較熱電偶、水箱、儲氣罐、電加熱器和阻容電路，可以歸納出一個共同的特點：即慣性環(huán)節(jié)是由一個阻力（熱阻、水阻、氣阻和電阻）和一個容量（熱容、水容、氣容和電容）所組成，其輸出信號是從容量上取得的勢能（溫度、水位、氣壓、電壓）。4、微分(Derivative)環(huán)節(jié)

（1）理想微分環(huán)節(jié)式中Td—微分時間微分方程為傳遞函數(shù)為階躍響應函數(shù)為

微分環(huán)節(jié)的階躍響應是一個脈沖函數(shù)，實際上任何元件或設備都不可能具有這樣的動態(tài)特性，因此，稱它為理想微分環(huán)節(jié)。

(2)實際微分環(huán)節(jié)聯(lián)立方程得：

對于一個阻容電路，如果輸出電壓取自電容上的電壓，它的動態(tài)特性屬于慣性環(huán)節(jié)。如果它的輸出電壓不是取自電容，而是取自電阻，如圖所示，那么可列出下列動態(tài)方程式：上式描述的是一個實際微分環(huán)節(jié)，如將其寫成一般形式，則實際微分環(huán)節(jié)的微分方程為：式中Td—實際微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)

Kd—放大系數(shù)傳遞函數(shù)為單位階躍響應函數(shù)為響應曲線圖階躍響應曲線的特點是當階躍信號輸入時（即t=0+時），輸出信號c(t)與輸入信號的階躍值成比例地躍變，其比值為Kd,隨后c(t)按指數(shù)曲線衰減，當t趨于無限大時，c(t)復原至零。5、純遲延環(huán)節(jié)

如果環(huán)節(jié)的輸出信號的變化與輸入信號的變化完全相同，只是落后了一段時間，則這種環(huán)節(jié)稱為純遲延環(huán)節(jié)。工程上，對于信號只能以有限速度傳送的元件或裝置，其動態(tài)特性可近似地看成遲延環(huán)節(jié)。例如皮帶式輸煤機，它的入口煤量要經(jīng)過皮帶輸送，經(jīng)歷一段時間后才到達出口。若以入口煤量為輸入信號，出口煤量為輸出信號，就屬于純遲延環(huán)節(jié)。煙氣取樣管在采集爐煙時，煙道的爐煙要經(jīng)歷取樣管形成的遲延時間才能送到煙氣成分分析儀。煙氣取樣管屬于純遲延環(huán)節(jié)。

二．環(huán)節(jié)的基本聯(lián)接方式1、環(huán)節(jié)的串聯(lián)設各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為G1(s)，G2(s)，…，Gn(s)，則串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為2、環(huán)節(jié)的并聯(lián)二．環(huán)節(jié)的基本聯(lián)接方式3、環(huán)節(jié)的反饋聯(lián)接根據(jù)反饋信號B(s)與輸入信號R(s)的綜合方式，可將反饋聯(lián)接分為正反饋和負反饋。當輸入信號R(s)與反饋信號B(s)相加時稱為正反饋。當輸入信號R(s)與反饋信號B(s)相減時稱為負反饋。二．環(huán)節(jié)的基本聯(lián)接方式例1：圖示為一阻容電路例2：單容水箱系統(tǒng)

單容水箱的傳遞函數(shù)為

在自動控制系統(tǒng)中，主要應用負反饋聯(lián)接方式。負反饋聯(lián)接有一個非常重要的性質：當前向環(huán)節(jié)的放大系數(shù)相當大時，

這就是說，反饋系統(tǒng)的總的傳遞函數(shù)只取決于反饋環(huán)節(jié)的特性，而與前向環(huán)節(jié)的特性無關。在測量儀表的設計中正是利用這一原理來提高儀表的精確度和線性度。只要放大器的放大倍數(shù)足夠大，整個儀表的精確度就只決定于線性反饋元件的精確度，從而大大減輕了放大器漂移及其非線性的影響。

三、方框圖的等效變換由環(huán)節(jié)構成自動調節(jié)系統(tǒng)時，最基本的聯(lián)接方式就是上面所介紹的三種。在實際系統(tǒng)中，由于信號之間的相互交叉影響，反饋回路相互重疊，構成的調節(jié)系統(tǒng)往往比較復雜，只有采用等效變換，將方框圖簡化后才能求出總的傳遞函數(shù)。簡化的原則是設法移動綜合點或引出點的位置，在保證總的傳遞函數(shù)不變的條件下，消除回路間的交叉。必須遵守以下規(guī)則：（1)相鄰相加點之間的移動

C(s)