方向?qū)?shù)與梯度新

§2.2數(shù)量場的方向?qū)?shù)和梯度DirectionalDerivativeandGradientofScalarsField主要內(nèi)容1.數(shù)量場的方向?qū)?shù)2.數(shù)量場的梯度教材：第2章第2節(jié)2/3/20231華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部一、

方向?qū)?shù)(DirectionalDerivative)

數(shù)量場中，數(shù)量在空間的分布狀況可用等值面（線）了解，但只是整體（宏觀）上的了解．在實際應(yīng)用中不僅需要宏觀上了解場在空間的數(shù)值，還需要知道場在不同方向上的變化情況．應(yīng)用方向?qū)?shù)可以描述數(shù)量場在空間某個方向上變化的情況．2/3/20232華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1.引例一塊長方形的金屬板，受熱產(chǎn)生如圖溫度分布場.設(shè)一個小蟲在板中逃生至某問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？處，問題的實質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最快的方向爬行．2/3/20233華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部需要計算場中各點(diǎn)沿不同方向的溫度變化率，從而確定出溫度下降的最快方向兩個概念：方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)問題梯度問題2/3/20234華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部

設(shè)M0是數(shù)量場u=u(M)中的一個已知點(diǎn)，從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l，在l上M0的鄰近取一點(diǎn)M，函數(shù)u(M)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，2．定義若當(dāng)M趨于時(即趨于零時)，

如圖．的極限存在，則稱此極限為記為2/3/20235華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部

②物理意義：①是數(shù)量函數(shù)u(M)在一個點(diǎn)處沿某一方向?qū)嚯x的變化率2/3/20236華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部直角坐標(biāo)系中，3.計算公式設(shè)l方向的方向余弦為若函數(shù)在點(diǎn)可微，則兩邊除以，可得2/3/20237華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部當(dāng)趨于零時對上式取極限，可得實際應(yīng)用：計算函數(shù)u(M)在給定點(diǎn)處沿某個方向的變化率（定點(diǎn)且定向）．2/3/20238華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部方向?qū)?shù)是單側(cè)極限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限.原因：函數(shù)可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件，而不是必要條件。方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系?2/3/20239華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部設(shè),求函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)。解例12/3/202310華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部

例2求數(shù)量場在點(diǎn)M(1,1,2)處沿方向的方向?qū)?shù)．解：l方向的方向余弦為2/3/202311華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部而

數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為

在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù)

2/3/202312華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部解令故方向余弦為2/3/202313華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部故2/3/202314華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部

設(shè)M0是數(shù)量場u=u(M)中的一個已知點(diǎn)，從M0出發(fā)沿某曲線C正方向鄰近取一點(diǎn)M，則稱此極限為函數(shù)u(M)在點(diǎn)M0處沿曲線C正向的方向?qū)?shù)，4.沿曲線的方向?qū)?shù)若當(dāng)M趨于時(即趨于零時)，

的極限存在，記為2/3/202315華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部結(jié)論若函數(shù)在點(diǎn)可微，其中為曲線C在處正向切線.曲線C光滑,則2/3/202316華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部證明：由于曲線C是光滑的，因此可用弧長s作為參數(shù)在描述其參數(shù)方程：

x=x(s),y=y(s),z=z(s).沿曲線C,函數(shù)表示為u=u[x(s),y(s),z(s)].點(diǎn)M0處，函數(shù)u可微，則u對s的全導(dǎo)數(shù)為：是曲線C的正向單位切向量，2/3/202317華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部即有：函數(shù)u在點(diǎn)M處沿曲線C（正向）的方向?qū)?shù)與函數(shù)u在點(diǎn)M處沿C的切線方向（指向C的正向一側(cè)）的方向?qū)?shù)相等。2/3/202318華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部例4

求函數(shù)在點(diǎn)M（2,3）處沿曲線朝x增大一方的方向?qū)?shù)。解：只需求出函數(shù)u沿曲線在點(diǎn)M(2,3)處沿x增大方向的切線方向?qū)?shù)即可。將曲線方程改為矢量形式：其導(dǎo)矢：就是曲線沿x增大方向的切向矢量，代入點(diǎn)M（2,3）得2/3/202319華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部其方向余弦為：函數(shù)u在點(diǎn)M處的偏導(dǎo)數(shù)為：所求方向?qū)?shù)為：2/3/202320華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部一個問題：該問題僅在不同時為零才有意義。在給定點(diǎn)沿什么方向增加得最快？可微函數(shù)二、梯度(gradient)2/3/202321華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部二、梯度(Gradient)

數(shù)量場u(x,y,z)在l方向上的方向?qū)?shù)為方向?qū)?shù)只是一個特定方向上的導(dǎo)數(shù)，而從場的給定點(diǎn)出發(fā)有無窮個方向，也就有無窮多個方向?qū)?shù)。能否確定某一個與方向無關(guān)的量，它具有一定特殊意義，又可以方便地求出方向?qū)?shù)？從方向?qū)?shù)的表達(dá)式可以看到，方向s的方向余弦表示了所取的方向，而三個偏導(dǎo)數(shù)則由數(shù)量場唯一確定。2/3/202322華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：2/3/202323華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部在直角坐標(biāo)系中，令則2/3/202324華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部由上式顯然可見，當(dāng)與的方向一致時，也就是說沿矢量

方向的方向?qū)?shù)最大，即時,數(shù)量場在點(diǎn)M處的方向?qū)?shù)最大．此最大值為2/3/202325華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部在直角坐標(biāo)系中，梯度的表達(dá)式為

定義：在數(shù)量場u(M)中的一點(diǎn)M處，其方向為函數(shù)u(M)在M點(diǎn)處變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量，稱為數(shù)量場u(M)在M點(diǎn)處的梯度．用gradu(M)表示.2/3/202326華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部方向上的方向?qū)?shù).

gradu是由數(shù)量場

u派生出來的一個矢量場,

稱為梯度是一個矢量．

gradu的方向就是使方向?qū)荻葓?

數(shù)達(dá)到最大值的方向,就是在這個方數(shù)量場的梯度函數(shù)建立了數(shù)量場與矢量場的聯(lián)系，這一聯(lián)系使得某一類矢量場可以通過數(shù)量函數(shù)來研究，或者說數(shù)量場可以通過矢量場來研究．2/3/202327華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部因為數(shù)量場的等值面的法線方向為

所以gradu恒與

u的等值面垂直.由于所以沿梯度方向u(M)是增大的，即梯度指向函數(shù)u(M)增大的一方．梯度gradu方向與等值面法線重合，指向函數(shù)u(M)增大的一方，大小是方向的方向?qū)?shù)2/3/202328華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部

梯度、方向?qū)?shù)與等值面

數(shù)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影．2/3/202329華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部

三維高度場的梯度與過該點(diǎn)的等高線垂直；

數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；

指向地勢升高的方向2/3/202330華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部

與過該點(diǎn)的等位線垂直；

數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；電位場的梯度

指向電位增加的方向．2/3/202331華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部梯度可寫作

引進(jìn)向量算子

注通常稱為哈密頓(Hamilton)算符(或算子),讀作“Nabla”.既具有矢量性質(zhì)，又具有微分性質(zhì)

它可以作用在矢量上，可以作點(diǎn)乘、叉乘.

注意：2/3/202332華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部

設(shè)c為一常數(shù)，u(M)和v(M)為數(shù)量場，很容易證明下面梯度運(yùn)算法則的成立:特別地，2/3/202333華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2/3/202334華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2/3/202335華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部證：

因為

例6設(shè)標(biāo)量函數(shù)r是動點(diǎn)M(x,y,z)的矢徑的模，即，證明：2/3/202336華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部所以2/3/202337華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部例7求常數(shù)a,b,c之值，使函數(shù)在點(diǎn)M(1,2,-1)處沿平行于z軸方向上的方向?qū)?shù)取得最大值32.

解：由題意知梯度方向平行于z軸，且其模等于32，則有解得：a=3,b=12,c=-4;或a=-3,b=-12,c=4.2/3/202338華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部解：

例8