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文檔簡(jiǎn)介
一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、曲線的水平漸近線
和垂直漸近線三、函數(shù)圖形的描繪第3節(jié)曲線的凹凸性
與拐點(diǎn)函數(shù)圖形的描繪
如圖所示,曲線弧ABC部分是向下彎曲的,這時(shí)曲線位于切線的下方;而曲線弧CDE部分是向上彎曲的,曲線位于切線的上方.一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)
C
A
y
E
B
D
x
O
a
c
b
定義如果曲線弧總是位于其任一點(diǎn)切線的上方,則稱這條曲線弧是凹的;如果曲線弧總是位于其任一點(diǎn)切線的下方,則稱這條曲線弧是凸的.定理設(shè)函數(shù)
f(x)
在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).
(證明從略)例1
判斷曲線y=x3的凹凸性.
解
定義連續(xù)曲線y=f(x)上凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點(diǎn),稱為曲線
y=f(x)的拐點(diǎn).分析:由上述定理可知,
以判斷曲線的凹凸.如果
就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).另外,二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)也有可能為拐點(diǎn).
判定曲線
y=f(x)的拐點(diǎn)的一般步驟:
(1)確定y=f(x)的定義域.(2)求f(x),f(x),令f(x)=0,求出所有可能拐點(diǎn)x0.(3)考察f(x)在每個(gè)可能拐點(diǎn)x0左右兩側(cè)的符號(hào),如果f(x)的符號(hào)相反,則點(diǎn)(x0
,f(x0))
是拐點(diǎn),否則就不是.
例2
求曲線
f(x)=x3-6x2
+9x+1的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解(1)定義域?yàn)?,).(2)f(x)=3x2-12x+9,f(x)=6x
-12
=6(x
-2
),令f(x)=0,得x=2.(3)當(dāng)
x(,2)時(shí),f(x)<0,此區(qū)間為凸區(qū)間.當(dāng)
x(2,+)時(shí),f(x)>0,此區(qū)間是凹區(qū)間.例3
求曲線
f(x)=(2x-1)4+1的凹凸性,并求拐點(diǎn).解(1)定義域?yàn)?,).(2)f(x)=8(2x-1)3,f(x)=48(2x-1)2,令f(x)=0,可得
x=1/2.(3)因?yàn)楫?dāng)x≠1/2時(shí),f(x)>0
,所以該曲線在整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)都是凹的,曲線沒有拐點(diǎn).
要想完整地描繪出函數(shù)的圖形,除了要知道其升降,凹凸性,極值和拐點(diǎn)等性態(tài)外,還須了解曲線無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的變化狀況,這就是下面要討論的曲線的漸近線問題.在此,我們僅討論曲線的水平漸近線和垂直漸近線.二、曲線的水平漸近線和垂直漸近線引例(如圖所示)
yxOy=arctanxy
x=1xO1
(2,0)
y=ln(x-1)(如圖所示)定義則稱直線
y=b為曲線
y=f(x)的水平漸近線.則稱直線
x=x0
為曲線
y=f(x)的垂直漸近線.所以的兩條水平漸近線.例如
通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài),進(jìn)而描繪函數(shù)的圖形的一般步驟:
(1)確定函數(shù)y=f(x)
的定義域,并考察其奇偶性、周期性等;
三、函數(shù)圖形的描繪
確定所有可能的極值點(diǎn)和拐點(diǎn);
(4)討論函數(shù)圖形的水平漸近線和垂直漸近線;
(5)根據(jù)需要補(bǔ)充函數(shù)圖形上若干特殊點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等);(6)描圖.(3)列表討論函數(shù)的單調(diào)性、極值及函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn);解
(1)函數(shù)定義域?yàn)?/p>
(-
,
),函數(shù)為奇函數(shù),其圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
(2)f
(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),例4描繪函數(shù)
f(x)=x3–
3x
的圖形.f(x)=6x,令f(x)
=0,得
x1=-1,x2=1,令f(x)=0,得x=0.(3)列表討論如下:xf(x)f(x)(,1)+-0---1(1,0)0-0(0,1)-+10+(1,+)++f(x)極大值f(-1)=2拐點(diǎn)(0,0)極小值f(1)=-2(4)無水平漸近線和垂直漸近線;yxO1-1-綜合上述討論,即可描繪出所給函數(shù)的圖形:例5
描繪函數(shù)
的圖形.解
(1)
定義域?yàn)?/p>
(-
,
).該函數(shù)為偶函數(shù),
其圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.因此,只要作出(0,)內(nèi)的圖形,即可根據(jù)其對(duì)稱性得到它的全部圖形.令
f(
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