有限元分析基礎(chǔ)

材料成型計算機(jī)應(yīng)用軟件楊敏手機(jī)-mail:miny@第一章有限元分析理論基礎(chǔ)第二章ANSYS基本使用方法第三章梁、支架結(jié)構(gòu)的靜力線性分析第四章平面問題靜力線性分析第五章板、殼類結(jié)構(gòu)靜力線性分析第六章三維實體結(jié)構(gòu)靜力線性分析第七章結(jié)構(gòu)靜力非線性分析第一章有限元分析理論基礎(chǔ)1.有限元分析基礎(chǔ)知識有限元是一門以結(jié)構(gòu)力學(xué)和彈性力學(xué)為理論基礎(chǔ)，以計算機(jī)為媒體，以有限元程序為主體，對大型結(jié)構(gòu)工程的數(shù)值計算方法。有限元法：利用數(shù)學(xué)近似的方法對真實物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。還利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。目的：在工程設(shè)計階段分析應(yīng)力和應(yīng)變是否滿足工程的要求。物理系統(tǒng)舉例

幾何體

載荷

物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)熱電磁真實系統(tǒng)有限元模型有限元模型

有限元模型是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。定義自由度（DOFs）自由度(DOFs)

用于描述一個物理場的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)DOFs結(jié)構(gòu) 位移熱

溫度電 電位流體壓力

磁 磁位方向 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ節(jié)點和單元(1)節(jié)點:

空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。單元:

每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。作為一個整體，單元形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。載荷載荷直齒圓柱齒輪輪齒應(yīng)力分析（a）有限元模型（b）最大切應(yīng)力等應(yīng)力線3維實體的4面體單元劃分平面的三角形單元劃分3維實體的6面體單元劃分單元（element)：網(wǎng)格。節(jié)點(node)：網(wǎng)格間相互聯(lián)結(jié)交點。邊界(boundary)：網(wǎng)格與網(wǎng)格的交界線。節(jié)點和單元(2)信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的。分離但節(jié)點重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進(jìn)行節(jié)點合并處理）具有公共節(jié)點的單元之間存在信息傳遞

...AB........AB...1node2nodes有限元的核心思想是結(jié)構(gòu)的離散化，就是將實際結(jié)構(gòu)假想地離散為有限數(shù)目簡單單元的組合體，實際結(jié)構(gòu)的物理性能可以通過對離散單元進(jìn)行分析，得出滿足工程精度的近似結(jié)果來替代對實際結(jié)構(gòu)的分析。外力：作用在物體外部的力。（重力等）內(nèi)力：在外力作用下，物體內(nèi)部不同部分之間的相互作用力。物體橫截面上的合力。位移：在外力作用下物體的整體變形量。桿件：長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橫截面高度的構(gòu)件。結(jié)構(gòu)力學(xué)：研究由許多桿件組成的桿系的內(nèi)力，位移。材料性質(zhì)的簡化：一般均假設(shè)為連續(xù)、均勻、各向同性、完全彈性或彈塑性。1.1、力學(xué)基本概念的介紹應(yīng)力：物體橫截面上單位面積上的內(nèi)力。應(yīng)力=內(nèi)力/橫截面面積應(yīng)變：單位長度上的位移。應(yīng)變=位移/構(gòu)件長度彈性階段：去除外力物體還能恢復(fù)到外力作用前的形狀。例：彈簧彈塑性階段：去除外力物體不能恢復(fù)到外力作用前的形狀。例：拉面彈性力學(xué)：研究非桿件（板，殼等）物體在彈性階段的應(yīng)力，應(yīng)變。例：黑板，雞蛋殼板：厚度不大于寬度十分之一的構(gòu)件。膜：厚度不大于寬度100分之一的結(jié)構(gòu)。強(qiáng)度：物體能夠承受的最大應(yīng)力。（用于校核結(jié)構(gòu)的安全性）剛度：物體產(chǎn)生的最大位移。（用于校核結(jié)構(gòu)的適用性）有限元分析(FEA，F(xiàn)initeElementAnalysis)即使用有限元方法來分析靜態(tài)或動態(tài)的物體或系統(tǒng)。1.1.1結(jié)構(gòu)的簡化1)支座的簡化(1)活動鉸支座（滾軸支座、輥軸支座）FAAAAFAy

結(jié)構(gòu)的約束，自由度(2)固定鉸支座（不動鉸支座）FAFAyFAxAAAAFAy

FAx(3)固定支座(4)定向支座（滑動支座，雙鏈桿支座）AAAMAFAxFAyFAyMAMA2)結(jié)點的簡化(1)剛結(jié)點：其變形特征和受力特點是，匯交于結(jié)點的各桿端之間不能發(fā)生相對轉(zhuǎn)動；剛結(jié)點處不但能承受和傳遞力，而且能承受和傳遞力偶。A角度

不變

FAyFAyFAxFAxMAMA(2)鉸結(jié)點：其變形特征和受力特點是，匯交于結(jié)點的各桿端可以繞結(jié)點自由轉(zhuǎn)動；在鉸結(jié)點處，只能承受和傳遞力，而不能傳遞力偶。FAyAFAyFAxFAxA角度可變(3)組合結(jié)點（又稱不完全鉸結(jié)點或半鉸結(jié)點）：在同一結(jié)點上，部分剛結(jié)，部分鉸結(jié)。組合結(jié)點

A3)荷載與變形：

靜力載荷、動力載荷，表面載荷、內(nèi)載荷，分布載荷、集中載荷，內(nèi)力、位移，應(yīng)力、應(yīng)變等。

1).

靜力荷載：其大小、方向和位置不隨時間變化或變化極為緩慢，不會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的振動，因而可略去慣性力的影響。恒載以及只考慮位置改變而不考慮動力效應(yīng)的移動荷載都是靜力荷載。

2).

動力荷載：隨時間迅速變化的荷載，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的振動，因而慣性力的影響不能忽略，如往復(fù)周期荷載（機(jī)械運轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的荷載）、沖擊荷載（爆炸沖擊波）和瞬時荷載（地震、風(fēng)振）等。桁架：桁架由直桿組成，所有結(jié)點都為理想鉸結(jié)點。當(dāng)僅受結(jié)點集中荷載作用時，其內(nèi)力只有軸力（拉力和壓力）。

1.1.2基本結(jié)構(gòu)單元1)桿單元 二力桿單元位移、力，自由度2)梁單元 位移、力（力矩）自由度梁：梁是一種受彎構(gòu)件，其軸線通常為直線。梁有單跨的和多跨的。其內(nèi)力一般有彎矩和剪力，以彎矩為主。3)剛架單元剛架：剛架由梁和柱組成，結(jié)點多為剛結(jié)點。其內(nèi)力一般有彎矩、剪力和軸力，以彎矩為主。

位移、力（力矩）自由度三節(jié)點三角形單元4)平面問題單元單元形狀、節(jié)點數(shù)目、節(jié)點自由度3)空間單元20節(jié)點6面體單元1.2有限元法分析計算的思路和步驟：1.2.1物體離散化將某個工程結(jié)構(gòu)離散為由各種單元組成的計算模型，這一步又稱作單元剖分或網(wǎng)格劃分。離散后單元與單元之間利用單元的節(jié)點相互連接起來；單元節(jié)點的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問題的性質(zhì)，描述變形形態(tài)的需要和計算進(jìn)度而定。單元劃分后，有限元分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是同樣材料的由眾多單元以一定方式聯(lián)接成的離散物體。用有限元分析計算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結(jié)果就與實際情況相符合。真實的二次曲線.節(jié)點單元二次曲線的線性近似

(不理想結(jié)果).2節(jié)點單元DOF值二次分布..1節(jié)點單元線性近似(更理想的結(jié)果)真實的二次曲線.....3網(wǎng)格劃分的好壞將直接影響到計算結(jié)果的準(zhǔn)確性和計算進(jìn)度，甚至?xí)驗榫W(wǎng)格劃分不合理而導(dǎo)致計算不收斂。網(wǎng)格的劃分主要取決于專業(yè)知識和經(jīng)驗積累。一個水平高的FEA工程師，80%的時間是用在網(wǎng)格劃分上。對于一般的問題，各種FEA軟件均能自動的進(jìn)行合理的網(wǎng)格劃分。Hypermesh是目前最好的劃分網(wǎng)格工具。1.2.2單元特性分析1）選擇求解方法節(jié)點位移法是選擇節(jié)點位移作為基本未知量的求解方法；節(jié)點力法是選擇節(jié)點力作為基本未知量的求解方法；混合法是取一部分節(jié)點力和一部分節(jié)點位移作為基本未知量的求解方法。位移法易于實現(xiàn)計算自動化，因而在有限單元法中位移法應(yīng)用范圍最廣。當(dāng)采用位移法時，物體與結(jié)構(gòu)物離散化之后，就可把單元中的一些物理量如：位移、應(yīng)變和應(yīng)力由節(jié)點位移來表示。這時可以對單元中位移的分布采用一些能逼近原函數(shù)予以描述，通常，有限元法中我們將位移表示成坐標(biāo)變量的簡單函數(shù)，這些函數(shù)就成為位移模式或位移函數(shù)。2）分析單元的力學(xué)性質(zhì)根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位移的關(guān)系式，這是單元分析中的關(guān)鍵一步。此時需要應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元剛度矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。節(jié)點位移節(jié)點力取決于材料性質(zhì)、形狀、尺寸qq3）計算等效節(jié)點力：將外在的負(fù)載力等效到各個節(jié)點上。物體離散化后，假定力是通過節(jié)點從一個單元傳遞到另一個單元。但是，對于實際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊傳遞到另一個單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點上去，也就是用等效的節(jié)點力來代替所有作用在單元上得力。彈性體有限元模型1.2.3單元組集利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來，形成整體的有限元方程。對由各個單元組成的整體進(jìn)行分析，建立節(jié)點外載荷與結(jié)點位移的關(guān)系，以解出節(jié)點位移，這個過程為整體分析。i節(jié)點的節(jié)點力：i節(jié)點的平衡方程：集中力單元節(jié)點力將所有單元組合起來得到整體的方程：[K]{q}={F}

[K]——整體剛度矩陣；{q}——全部結(jié)點位移組成的列陣；{F}——全部結(jié)點荷載組成的列陣。

在位移法中，只有{δ}是未知的，求解該線性方程組就可得到各結(jié)點的位移。將結(jié)點位移代入相應(yīng)方程中可求出單元的應(yīng)力分量。有限元法不僅可以求結(jié)構(gòu)體的位移和應(yīng)力，還可以對結(jié)構(gòu)體進(jìn)行穩(wěn)定性分析和動力分析。例如，結(jié)構(gòu)體的整體動力方程：

[M]{q}+[C]{q}+[K]{q}={F}

[M]——整體質(zhì)量矩陣；[C]——整體阻尼矩陣；[K]——整體剛度矩陣；{q}——整體結(jié)點位移向量；{F}——整體結(jié)點荷載向量。

求出結(jié)構(gòu)的自激振動頻率、振型等動力響應(yīng)，以及動變形和動應(yīng)力等。1.2.4求解未知節(jié)點位移可以根據(jù)方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。傳統(tǒng)有限元分析的數(shù)值計算方法之中，有直接計算法（DirectSolver）與迭代法（Iterative）兩種。由于在過去的經(jīng)驗中，迭代法一直無法直接而有效的保證數(shù)值計算的收斂性，因此，直接計算法在多數(shù)有限元分析軟件中，仍然是一種主流的計算方法。1.2.5有限元法的過程2

結(jié)構(gòu)靜力分析的有限元單元法2.1.1直接方法直接方法是直接應(yīng)用物理概念來建立單元的有限元方程和分析單元特性的一種方法。這種方法僅能用于簡單形狀單元，如梁單元。2.1單元特性的導(dǎo)出方法找出所劃分的單元的剛度矩陣。一般說來，建立剛度矩陣的方法有：1）直接方法；（2）虛功原理法；（3）能量變分原理法；（4）迦遼金法。平面鋼架和它的計算模型EI:梁的抗彎剛度；A:截面面積。對于平面彎曲問題，每個點處的位移有兩個，即撓度和轉(zhuǎn)角，相應(yīng)的節(jié)點力有剪應(yīng)力和彎矩。對圖(b)所示的支承點I,j它們的節(jié)點位移和節(jié)點力可分別寫成：vi

、θzi、vj、θzj和Fyi、Mzi、Fyj、Mzj。寫成矩陣形式為：qe=[vi

θzivjθzj]Tfe=[FyiMziFyjMzj]FyiMziFyjMzjk11k12k12k14k21k22k22k24k31k32k32k34k41k42k42k44vyiθzivjθ

zj=fe=KeqeKe稱為單元剛度矩陣。單元剛度矩陣中任一元素kij表示j號自由度對i號節(jié)點力的貢獻(xiàn)。由功的互等定理有kij=kji，單元剛度矩陣是對稱的對上面的平面彎曲問題，可以計算出各kij的數(shù)值。假設(shè)：Vi=1,θzi

=vj=θzj=0Vi=Fyil3/(3EI)-Mzil2/(2EI)=1θzi=-Fyil2/(2EI)+Mzil/(EI)=0Fyi=12EI/l3=k11,Mzi=6EI/l2=k21Fyi=-Fyj,Mzj=Fyil-Mzi得Fyj=-12EI/l3=k31,Mzj=6EI/l2=k41假設(shè)：θzi=1,Vi=vj=θzj=0同理可得K12=6EI/l2k22=4EI/lk32=-6EI/l2K42=2EI/l類似地可求得K13=-12EI/l3k23=-6EI/l2k33=12EI/l3K43=-6EI/l2K14=6EI/l2k24=2EI/lk34=-6EI/l2K44=4EI/l

126l-126l

6l4l2-6l2l2Ke=EI/l3-12-6l12-6l6l2l2-6l4l2再考慮單元的梁端軸向位移和梁端軸向力關(guān)系，有：Fxi=（EA/l）ui-（EA/l）ujFxj=-（EA/l）ui+（EA/l）uj2.1.2虛功原理法以平面問題的三角形單元為例，說明其方法步驟。1）設(shè)定位移函數(shù)設(shè)三節(jié)點三角形單元內(nèi)的位移函數(shù)為：d（x,y)=[u(x,y)v(x,y)]T

它是未知的。當(dāng)單元很小時，單元內(nèi)一點的位移可以通過節(jié)點的位移插值來表示。假設(shè)單元內(nèi)的位移為x,y的線性函數(shù)，得u(x,y)=a1+a2x+a3yV(x,y)=a4+a5x+a6yui=a1+a2xi+a3yivi=a4+a5xi+a6yiuj=a1+a2xj+a3yjvj=a4+a5xj+a6yjuk=a1+a2xk+a3ykvi=a4+a5xk+a6ykuiviujvjukvk為了能用單元節(jié)點位移qe表示單元內(nèi)某點位移d,即把d(x,y)表達(dá)成節(jié)點位移插值函數(shù)的形式，應(yīng)解出a=C-1q

e。用矩陣求逆法求出A是三角形的面積

1xi

yi2A=1xjyj

=(xj-xi)(y

k-yj)-(x

k-xj)(y

j-yi)1xkykai=xjyk-xkyjaj=xkyi-xiykak=xiyj-xjyibi=yj-ykbj=yk-yibk=yi-yjci=xk-xjcj=xi-xkck=xj-xi為不使A為負(fù)值，i,j,k

的順序必須按逆時針方向標(biāo)注。把a(bǔ)的表達(dá)式代入得Ni0Nj0Nk00Ni0Nj0Nk

d=NqeNi=(ai+bix+ciy)/2ANj=(aj+bjx+cjy)/2ANk=(ak+bkx+cky)/2A2）由位移函數(shù)求應(yīng)變由彈性力學(xué)可知3）根據(jù)虎克定律，通過應(yīng)變求應(yīng)力4）由虛功原理求單元的剛度矩陣虛功原理：當(dāng)結(jié)構(gòu)受載荷作用處于平衡狀態(tài)時，在任意點給出的節(jié)點虛位移下，外力（節(jié)點力）Fe及內(nèi)力σ所作的虛功之和應(yīng)等于零，即：δWF+δWσ=0設(shè)單元節(jié)點上任意虛位移為：單元內(nèi)各點相應(yīng)的虛位移為δu,δv和虛應(yīng)變?yōu)椋簡卧?jié)點力的虛功：內(nèi)力虛功：V-單元體積。代入B及D，得平面應(yīng)力問題三角形單元剛度矩陣為：2.2

用三角形單元進(jìn)行靜力分析的實例例：如圖所示的一平面墻梁。載荷沿梁的上邊均勻分布，其單位長度上的均布載荷p=100N/cm，假定μ=0，墻梁的厚度t=0.1cm。在不計自重情況下，試求其位移和應(yīng)力。1)單元劃分圖中節(jié)點3，4處于墻梁的對稱軸線上，由于結(jié)構(gòu)與受力的對稱性，節(jié)點3，4在x方向無位移。作用在上邊的均布載荷轉(zhuǎn)移到1，4節(jié)點上，其值為300N。2）計算單元剛陣對于單元1對于單元23）組成整體剛度矩陣（或總體剛度矩陣）按節(jié)點位移序號組成整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣4）邊界條件處理對稱軸上u3=u4=0；u2=ν2=0;剛度矩陣縮減為：節(jié)點力列陣f=[0-30000000-300]T縮減為fr=[0-3000-300]T5)線性方程組的建立與求解將fr，Kr之值代入fr=Krqr，得6)單元應(yīng)力分量的計算單元的應(yīng)力公式為：對單元1對單元28）單元應(yīng)力分量的計算單元的應(yīng)力公式為：7）線性方程組的建立與求解將fr，Kr之值代入fr=Krqr，得3有限元分析方法的發(fā)展歷史在大力推廣CAD技術(shù)的今天，從自行車到航天飛機(jī)，所有的設(shè)計制造都離不開有限元分析計算，F(xiàn)EA在工程設(shè)計和分析中將得到越來越廣泛的重視。國際上早在20世紀(jì)50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力開發(fā)具有強(qiáng)大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國國家宇航局（NASA）在1965年委托美國計算科學(xué)公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的NASTRAN有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個版本，是目前世界上規(guī)模最大、功能最強(qiáng)的有限元分析系統(tǒng)。目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表所列：另外還有許多針對某類問題的專用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。軟件名稱簡介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran動力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件MSC-NASTRAN軟件在航空航天領(lǐng)域有著很高的地位，目前世界上規(guī)模最大的有限元分析系統(tǒng)。ANSYS軟件致力于耦合場的分析計算，能夠進(jìn)行結(jié)構(gòu)、流體、熱、電磁四種場的計算。ADINA由于其在非線性求解、流固耦合分析等方面的強(qiáng)大功能，迅速成為有限元分析軟件的后起之秀，現(xiàn)已成為非線性分析計算的首選軟件。4國際上有限元分析方法的發(fā)展趨勢

4.1

與CAD軟件的無縫集成許多商業(yè)化有限元分析軟件都開發(fā)了和著名的CAD軟件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。有些CAE軟件為了實現(xiàn)和CAD軟件的無縫集成而采用了CAD的建模技術(shù)，如ADINA軟件由于采用了基于Parasolid內(nèi)核的實體建模技術(shù)，能和以Parasolid為核心的CAD軟件（如Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks）實現(xiàn)真正無縫的雙向數(shù)據(jù)交換。4.2更為強(qiáng)大的網(wǎng)格處理能力(技術(shù)難題，關(guān)鍵步驟)有限元法求解問題的基本過程主要包括：分析對象的離散化、有限元求解、計算結(jié)果的后處理三部分。結(jié)構(gòu)離散后的網(wǎng)格質(zhì)