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天津科技大學有限元分析FiniteElementAnalysis內(nèi)容平面矩形單元與平面等參單元
1平面矩形單元分析
2等參單元的概念
3平面四節(jié)點等參單元分析要求理解:平面矩形單元分析流程平面矩形單元與三角形單元的比較
等參單元的目的和實現(xiàn)方法
掌握:等參單元分析的基本思想
課后作業(yè)收集、閱讀平面8節(jié)點等參元分析資料回顧連續(xù)體有限元分析的基本流程
整體離散單元分析單元組裝引入邊界條件整體解算連續(xù)體結(jié)構(gòu)人工節(jié)點逼近離散單元剛度方程總體剛度方程回顧連續(xù)體有限元分析中的幾次近似1.逼近性離散(網(wǎng)格剖分)2.單元分片插值(單元分析)幾何形狀,特別是邊界的逼近程度。插值多項式的項數(shù)的截取。3.其它回顧連續(xù)體有限元分析中的幾次近似1.逼近性離散(網(wǎng)格剖分)提高精度的辦法:減小單元尺寸改變單元形狀回顧連續(xù)體有限元分析中的幾次近似2.單元分片插值(單元分析)提高精度的辦法:增加插值多項式的項數(shù)節(jié)點位移內(nèi)部節(jié)點位移vmumvjviuii
(xi,yi)j(xj,yj)m
(xm,ym)eujyxo線性插值函數(shù)如何增加?增加節(jié)點一、平面矩形單元矩形單元也是常用的單元之一,由于采用了比常應(yīng)變?nèi)切螁卧叽螖?shù)的位移模式,故可以更好地反映彈性體的位移狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)。如圖所示四節(jié)點矩形單元,記單元的節(jié)點位移向量和節(jié)點力向量為:為了能推導出簡潔的結(jié)果,在這里引入無量綱坐標:單元位移場由圖可以看出,節(jié)點條件共有8個,因此,x和y方向的位移場可以各有4個待定系數(shù),可以取以下多項式作為單元的位移場模式:它們是具有完全一次項的非完全二次項,其中以上兩式中右端的第四項是考慮到x和y方向的對稱性而取的。由節(jié)點條件,在處,有回代,可以求解出待定系數(shù),然后整理可得其中,N為單元的形函數(shù)矩陣,如以無量綱坐標系來表達,則上式可以寫成其中:單元應(yīng)變場根據(jù)單元的位移場函數(shù)式,由幾何方程可以得到單元的應(yīng)變場表達式,記為:這里,B矩陣稱為幾何矩陣。B矩陣可以表示為分塊矩陣的形式其中注意:矩形單元的應(yīng)變場為一次線性函數(shù)。單元應(yīng)力場由物理方程及應(yīng)變矩陣,可以得到單元的應(yīng)力場表達式,其中為應(yīng)力矩陣,D稱為彈性矩陣,對于平面應(yīng)力問題,注意:矩形單元的應(yīng)力場為一次線性函數(shù)。將應(yīng)力矩陣表示為分塊矩陣的形式其中:對于平面應(yīng)變問題,只需將E換為,換為。單元剛度矩陣和三角形單元一樣,可以根據(jù)虛功理導出節(jié)點位移向量和節(jié)點力向量之間關(guān)系,即單元的剛度矩陣,可以將其寫成分塊的形式。其中對于平面應(yīng)力問題,如果單元厚度t為常數(shù),則可得剛度矩陣的顯式形式:積分得:
平面矩形單元小結(jié)優(yōu)點:矩形單元的應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)橐淮尉€性函數(shù),精度要比三角形三節(jié)點高;不足:實際問題很難用4節(jié)點矩形單元劃分,特別是邊界適合性不強;問題:能否構(gòu)造一種任意四邊形單元,則在提高精度得前提下,邊界適應(yīng)性還強?
等參單元
等參單元(iso-parametricelement)的概念二、平面等參單元問題:能否利用規(guī)則的平面矩形單元的結(jié)果來研究不規(guī)則的任意四邊形單元的計算公式?思路:任意直四邊形可看成是正四邊形(常稱為母元)的變形,由于正四邊形(母元)的位移函數(shù)、單剛矩陣均已得到,則可利用正四邊形單元的結(jié)果研究任意四邊形。重點:1)構(gòu)造任意四邊形與母元間的坐標(形狀)變換關(guān)系2)利用坐標變換關(guān)系和母元的計算公式,推導任意四邊形的單剛矩陣(包括母元位移函數(shù)、應(yīng)變矩陣、剛度矩陣轉(zhuǎn)換過程中的導數(shù)、積分計算)等參單元分析范例-平面4節(jié)點等參單元1、等參變換(坐標映射)目的:建立矩形母單元與任意四邊形單元的坐標映射關(guān)系(i=1,2,3,4),已知:求:解法:插值代入4個角點坐標,確定系數(shù)。求出待定系數(shù),得其中:i=1,2,3,4同矩形單元位移形函數(shù)將四角點的局部坐標代入2、等參單元位移函數(shù)從坐標變換可知,等參單元位移與母元間位移僅相差坐標變換式,而母元單元內(nèi)任意點P的位移函數(shù)Ni同矩形單元位移形函數(shù),即與坐標變換形函數(shù)相同,故得名等參單元。3、等參單元應(yīng)變矩陣由幾何方程,得新問題:形函數(shù)是局部坐標的函數(shù),而局部坐標又是整體坐標的函數(shù),故:3、等參單元應(yīng)變矩陣稱為雅克比矩陣,且3、等參單元應(yīng)變矩陣4、等參單元應(yīng)力矩陣5、等參單元剛度矩陣求微小平行四邊形面積注:等參單元的剛度積分一般很難有解析式,必須進行數(shù)值積分,目前普遍采用高斯數(shù)值積分法(略)。dξ,dη在(x,y)系中的分量為等參單元小結(jié)1、等參單元存在的充要條件是|J|≠0為了保證能進行等參變換(即總體坐標與局部坐標一一對應(yīng)),通常要求總體坐標系下的單元為凸,即不能有內(nèi)角大于或等于或接近180度情況。等參單元小結(jié)2、等參單元的優(yōu)點是當單元邊界呈二次以上的曲線時,容易用很少的單元去逼近曲線邊界。3、前述推導要求:保持坐標變換中幾何模式階次與描述單元位移函數(shù)中形函數(shù)的階次相同,故被稱為等參元。如取坐標變換的幾何模式階次較單元的位移函數(shù)的階次高,則稱此單元為超參元,反之,為亞參元。上機實驗安排時間:第8周星期三第1-2
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