極限存在性定理與兩個(gè)重要極限

第五節(jié)極限存在性定理與兩個(gè)重要極限證略.一、極限存在定理定理(夾逼定理)1例1解由夾逼定理得2上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限.定理(夾逼定理)證略.3定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限.稱單調(diào)增加稱單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列具體：?jiǎn)握{(diào)增加有上界，或單調(diào)減少有下界.4二、兩個(gè)重要極限xy15基本不等式：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立.6實(shí)際上，對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立.基本不等式：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立.7即得8所以先證9例2上述重要極限說(shuō)明：例310例4解11定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理)證只有在乘、除的極限運(yùn)算中才能替換；注意在加、減的極限運(yùn)算中不能替換！12例5解例6解13例7解解錯(cuò)14例8解15下面利用單調(diào)有界定理證明另一個(gè)重要的極限：

1617增大，且項(xiàng)數(shù)增加一項(xiàng)(每一項(xiàng)均為正),

1819以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，

可以證明，相應(yīng)的函數(shù)極限有

或20例9解21例11解例12解例10解22例13連續(xù)復(fù)利問(wèn)題

如一年計(jì)息n次，利息按復(fù)式計(jì)算，則一年后本息之和為

23隨著n無(wú)限增大，一年后本息之和會(huì)不斷增大，但不會(huì)無(wú)限增大，其極限值為

稱之為連續(xù)復(fù)利.例如,年利率為3%,則連續(xù)復(fù)利為

類似于連續(xù)復(fù)利問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，在人口增長(zhǎng)、林木增長(zhǎng)、細(xì)菌繁殖、放射性元素的衰變等許多實(shí)際問(wèn)題中都有應(yīng)用.24三、小結(jié)1.兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則.25思考題求極限26思考題解答27練習(xí)題一、填空題:28二、求下列各極限:2930練習(xí)題答案31等價(jià)無(wú)窮小代換求極限練習(xí)題327)0(3>-+aaxa對(duì)于x是_______階無(wú)窮小

.8無(wú)窮小xcos1-與nmx等價(jià)，則

.______________,nm=二、求下列各極限：1、xxxx30sinsintanlim-；2、bababa--eelim；3、xxxxbasinsinlim0-；334、ax