第七章二次曲線的射影性質(zhì)

§

7.2Pascal定理與Brianchon定理

兩個(gè)古老而美麗的定理.內(nèi)容包括兩個(gè)定理及其逆定理,以及它們的各種極限、退化形式.有著重要的應(yīng)用意義！簡(jiǎn)單六點(diǎn)形簡(jiǎn)記為：123456三雙對(duì)邊12,45；23,56；34,61(間隔(n–2)/2條邊)簡(jiǎn)單六線形簡(jiǎn)記為：123456§

7.2Pascal定理與Brianchon定理一、Pascal定理與Brianchon定理

定理4.7(Pascal)

定理4.7'(Brianchon)

定理4.8(Pascal逆定理)

定理4.8'(Brianchon逆定理)Pascal線Brianchon點(diǎn)§

7.3

配極變換一、極點(diǎn)與極線

在二次曲線理論中十分重要,與二次曲線的大部分重要性質(zhì)有關(guān).只討論二階曲線,總假定：非退化.設(shè)定義7.1

兩點(diǎn)P,Q關(guān)于共軛.(如圖)

定理7.13點(diǎn)P關(guān)于的共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線Sp=0.

證明設(shè)P(pi),Q(qi).則PQ與

:S=0的交點(diǎn)M(pi+qi)滿(mǎn)足§

7.3配極變換設(shè)兩根為1,2.則交點(diǎn)為Mj(pi+jqi)(j=1,2).于是(PQ,M1M2)=–11/2=–11+2=0將qi改為流動(dòng)坐標(biāo)xi,得P關(guān)于的共軛點(diǎn)的軌跡為直線Sp=0.§

7.3配極變換一、極點(diǎn)與極線定理7.13點(diǎn)P關(guān)于的共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線Sp=0.推論7.5兩點(diǎn)P,Q關(guān)于共軛Spq=0.即注2P在上,則Spp=0,規(guī)定：上的點(diǎn)關(guān)于自共軛.注1驗(yàn)證兩點(diǎn)P,Q關(guān)于共軛,只要驗(yàn)證上式.§

7.3配極變換2.極點(diǎn)與極線定義7.7對(duì)于點(diǎn)P,若則稱(chēng)P關(guān)于的共軛點(diǎn)軌跡p切線p為P關(guān)于的極線,方程為Sp=0.反之,稱(chēng)P為直線p關(guān)于的極點(diǎn).§

7.3配極變換一、極點(diǎn)與極線

推論7.6平面上任一點(diǎn)P關(guān)于的極線存在唯一,方程為Sp=0.反之,平面上任一直線p關(guān)于的極點(diǎn)存在唯一.

證明只要證后半.設(shè)直線u:u1x1+u2x2+u3x3=0,求u關(guān)于的極點(diǎn).

設(shè)P(pi)為其一個(gè)極點(diǎn).

由于P(pi)的極線唯一存在為Sp=0,從而u與Sp=0為同一直線,即2.極點(diǎn)與極線§

7.3配極變換一、極點(diǎn)與極線2.極點(diǎn)與極線即§

7.3配極變換二、配極變換1.配極變換定義7.9稱(chēng)由決定的同底點(diǎn)場(chǎng)與線場(chǎng)之間的變換為關(guān)于非退化二階曲線

:S=0的配極變換.注2任一非退化二階曲線都決定了平面上的一個(gè)配極變換.

注1(4.18)即表示點(diǎn)x與直線u是關(guān)于

:S=0的極點(diǎn)極線關(guān)系.注4非異實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣類(lèi)非退化二階曲線配極變換§

7.3配極變換二、配極變換1.配極變換

注本定理為配極變換最基本的幾何性質(zhì).

定理7.14(配極原則)點(diǎn)P關(guān)于的極線p通過(guò)點(diǎn)Q點(diǎn)Q關(guān)于的極線q通過(guò)點(diǎn)P.

定理7.14'(配極原則)直線p關(guān)于的極點(diǎn)P在直線q上直線q關(guān)于的極點(diǎn)Q在直線p上.§

7.4

二次曲線的射影分類(lèi)一、二階曲線的奇異點(diǎn)1.定義

定義7.20若點(diǎn)P0(p0i)的坐標(biāo)是方程組的非零解,則稱(chēng)P0為二階曲線：的一個(gè)奇異點(diǎn).

注1.P0為的奇異點(diǎn)

P0在上,且Sp0=0.

注2.

:S=0有奇異點(diǎn)|aij|=0

為退化的.§

7.4

二次曲線的射影分類(lèi)

注3.若秩(aij)=2,則有唯一奇異點(diǎn)；若秩(aij)=1,則有無(wú)窮多的奇異點(diǎn),構(gòu)成一條直線.2.性質(zhì)(1).定理7.24.上一點(diǎn)P為奇異點(diǎn)P與上任一點(diǎn)連線上的點(diǎn)都在上.§

7.4

二次曲線的射影分類(lèi)二、二階曲線的射影分類(lèi)1.|aij|0,秩(aij)=3.再作一次僅改變單位點(diǎn)的射影坐標(biāo)變換S'=0又可化為去掉“''”之后,由于齊次性及x1,x2,x3的平等性,只有兩種情況§

7.4

二次曲線的射影分類(lèi)綜上,非退化二階曲線的方程必可化為上述兩種標(biāo)準(zhǔn)方程之一.§

7.4

二次曲線的射影分類(lèi)二、二階曲線的射影分類(lèi)2.|aij|=0,秩(aij)=2.

退化為兩條相交直線m1,m2

取新的射影坐標(biāo)系如圖所示,的方程可化為即§

7.4

二次曲線的射影分類(lèi)

綜上,當(dāng)二階曲線退化且秩為2時(shí),其方程必可化為上述兩種標(biāo)準(zhǔn)方程之一.§

7.4

二次曲線的射影分類(lèi)二、二階曲線的射影分類(lèi)3.|aij|=0,秩(aij)=1.

退化為一條完全由奇異點(diǎn)構(gòu)成的直線.取此直線為坐標(biāo)三點(diǎn)形的一邊,比如A'2A'3,

則S=0必可化為

綜上,當(dāng)退化且秩為1時(shí),的方程必可化為上述標(biāo)準(zhǔn)方程.

由以上討論,二階曲線被分成5個(gè)等價(jià)類(lèi),屬于同一等價(jià)類(lèi)的二階曲線的方程必可化為上述5種標(biāo)準(zhǔn)方程之一.§

7.5

二次曲線的仿射理論一、二階曲線與無(wú)窮遠(yuǎn)直線的關(guān)系

定義7.21對(duì)于任意的二階曲線,

若交l于兩個(gè)相異的實(shí)點(diǎn)重合的實(shí)點(diǎn)共軛的虛點(diǎn),則稱(chēng)為雙曲型的拋物型的.橢圓型的若非退化,則稱(chēng)為雙曲線拋物線.橢圓雙曲線拋物線橢圓約定本節(jié)與下節(jié),僅在射影仿射平面上討論,即指定l:x3=0.§

7.5

二次曲線的仿射理論一、二階曲線與無(wú)窮遠(yuǎn)直線的關(guān)系設(shè)其中xi為射影仿射坐標(biāo),則x1,x2地位平等而x3特殊.與l的交點(diǎn)為解出x1:x2即得交點(diǎn)(x1,x2,0).于是,對(duì)于x1:x2,有兩個(gè)相異的實(shí)根重合的實(shí)根共軛的虛根為雙曲型的拋物型的.橢圓型的§

7.5

二次曲線的仿射理論

定理7.25對(duì)于二階曲線

:S=0,A33的符號(hào)為仿射不變的.由于l：x3=0為仿射不變的,因此二階曲線與l的相交情況也是仿射不變的,所以有下列定理§

7.5

二次曲線的仿射理論二、二階曲線的中心

定義7.22l關(guān)于的極點(diǎn)C稱(chēng)為的中心.(1)通常點(diǎn)C為的中心C為的對(duì)稱(chēng)中心(即C為過(guò)C的弦的中點(diǎn)).

(2)雙曲線,橢圓的中心為有窮遠(yuǎn)點(diǎn)；拋物線的中心為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).雙曲線橢圓有心二階曲線無(wú)心二階曲線拋物線§

7.5

二次曲線的仿射理論因?yàn)橹行腃為l的極點(diǎn),設(shè)C(c1,c2,c3).則中心方程組為于是,中心坐標(biāo)為：有心二階曲線：(A31,A32,A33).無(wú)心二階曲線：(A31,A32,0).即(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0).易犯之錯(cuò)：A32的符號(hào)！§

7.5

二次曲線的仿射理論三、直徑與共軛直徑(1).直徑仿射定義解幾定義

無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)P的有窮遠(yuǎn)極線(過(guò)中心的通常直線).

一組平行弦中點(diǎn)的軌跡.(XY,ZP)=–1(2).共軛直徑

直徑AB的共軛直徑為AB上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)P的極線EF(相互通過(guò)對(duì)方極點(diǎn)的兩直徑).

直徑AB的共軛直徑為平行于AB的弦的中點(diǎn)軌跡EF.(XY,ZP)=–1仿射定義解幾定義(3).共軛方向：與一對(duì)共軛直徑平行的方向.l不是任何二階曲線的直徑！利用中心坐標(biāo),可直接寫(xiě)出的直徑方程為或者§

7.5

二次曲線的仿射理論四、漸近線1.定義.二階曲線上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的有窮遠(yuǎn)切線稱(chēng)為其漸近線.注1.等價(jià)定義：過(guò)中心的有窮遠(yuǎn)切線稱(chēng)為漸近線.注2.與漸近線平行的方向稱(chēng)為漸近方向.注3.雙曲線橢圓有兩條實(shí)虛漸近線,一對(duì)漸近方向；拋物線無(wú)漸近線.從而,漸近線只對(duì)有心二階曲線討論.§

7.5

二次曲線的仿射理論§

7.6

二次曲線的仿射分類(lèi)問(wèn)題：在射影仿射平面上,給定適當(dāng)選取射影仿射坐標(biāo)系,將的方程化為射影仿射標(biāo)準(zhǔn)方程.

依據(jù)：

的秩,A33的符號(hào),將雙曲型、拋物型、橢圓型三類(lèi)曲線進(jìn)一步細(xì)分為若干射影仿射等價(jià)類(lèi),得到每一類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

注意：由l

：x3=0在射影仿射平面上的特殊性,故在選取新的射影仿射坐標(biāo)系時(shí)必須保持A1',A2'總在l上.§

7.6

二次曲線的仿射分類(lèi)一、非退化|aij|0,秩(aij)=3.1.A33≠0,有心二階曲線.

以A1'A2'A3'為坐標(biāo)三點(diǎn)形,適當(dāng)選取單位點(diǎn)E'(按單位點(diǎn)規(guī)則),建立新的仿射坐標(biāo)系.注意到x1,x2地位平等,而x3特殊,從而有下列三個(gè)射影仿射等價(jià)類(lèi)在射影仿射平面上,有心二階曲線皆可化為上述標(biāo)準(zhǔn)方程之一.§

7.6

二次曲線的仿射分類(lèi)一、非退化|aij|0,秩(aij)=3.2.A33=0,無(wú)心二階曲線,即拋物線.在射影仿射平面上,無(wú)心二階曲線(拋物線)皆可化為上述標(biāo)準(zhǔn)方程.