第七章線性變換

第七章向量空間

§7.1線性映射

§7.2線性變換的運算§7.3線性變換和矩陣

§7.4不變子空間§7.5本征值和本征向量§7.6可以對角化的矩陣

例1設F是一個數(shù)域,V和W是F上向量空間.設σ是V到W的一個映射,如果下列條件被滿足,就稱σ是V到W的一個線性映射:(1)

ξ,ηV,σ(ξ+η)=σ(ξ)+σ(η);(2)F,ξV,σ(αξ)=ασ(ξ)。線性映射的定義定義1對于R2的每一向量ξ=(X1,X2)定義:

σ(ξ)=(X1,X1-X2,X1+X2)

R3，σ是R2到R3的一個映射，我們證明，σ是一個線性映射.（i）設ξ=(x1,x2),η=(y1,y2)是R2的任意兩個向量.我們有σ(ξ+η)=σ((x1+y1,x2+y2))=

(x1+y1,(x1+y1)-(x2+y2),(x1+y1)+(x2+y2))=σ(ξ)+σ(η)=

(x1+y1,(x1-x2)+(y1-y2),(x1+x2)+(y1+y2))=

(

x1,x1-x2，x1+x2)+(y1，y1-y2，y1+y2)(ii)設σ∈R，ξ=（x1,x2）∈R2，我們有σ(αξ)=σ((αx1,αx2))=

(αx1,αx1-αx2,αx1+αx2)=

α(x1,x1-x2,x1+x2)=ασ(ξ)因此σ是R2到R3的一個線性映射。命題7.1.1設V和W是數(shù)域F上向量空間,而σ:V→W是一個線性映射.那么V的任意子空間在σ之下的像是W的一個子空間,而W的任意子空間在σ之下的原像是V的一個子空間.命題7.1.2

設V和W是數(shù)域F上向量空間,而σ:V→W是一個線性映射,那么

(Ⅰ)σ是滿射Im(σ)=W.(Ⅱ)σ是單射Ker(σ)=|0|.

令V是數(shù)域F上一個向量空間.V到自身的一個線性映射叫做V的一個線性變換.定義1線性變換的運算

L(V)對于加法和數(shù)與線性變換的乘法來說作成數(shù)域F上一個向量空間.定理7.2.1我們用L(V)表示向量空間V的一切線性變換所成的集合.對于任意ρ,σ,τ∈L(V),以下等式成立:

⑴σ+τ=τ+σ;⑵(ρ+σ)+τ=ρ+(σ+τ);⑶θ+σ=σ;⑷σ+(-σ)=θ;⑸k(σ+τ)=kσ+kτ;⑹(k+l)σ=kσ+lτ;⑺(kl)σ=k(lσ);⑻lσ=σ;⑼ρ(σ+τ)=ρσ+ρτ;⑽(σ+τ)ρ=σρ+τρ;⑾(kσ)τ=σ(kτ)=k(στ).線性變換和矩陣設V是數(shù)域F上一個n維向量空間,令σ是V的一個線性變換,取定V的一個基α1,α2,,…,αn,令σ(ξ)仍是V的一個向量.考慮V中任意一個向量ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn定義1A=a11a12….a1n

…………….a21a22….a2nan1an2….ann矩陣A叫做線性變換σ關(guān)于的{α1,α2,,…,αn

}矩陣.命題7.3.1令V是數(shù)域F上一個n維向量空間,σ是V的一個線性變換,而σ關(guān)于V的一個基本{α1,α2,,…,αn

}的矩陣是A=a11a12….a1na21a22….a2n

…………….an1an2….ann如果V中向量ξ關(guān)于這個基的坐標是(x1,x2,…,xn),而σ(ξ)的坐標是(y1,y2,…yn),那么y1x1

y2x2

┆┆yn

xn

=A

例1令V是數(shù)域F上的一個n維向量空間,σ:ξkξ是V的一個位似,那么σ關(guān)于V的任意基的矩陣是k0特別V的單位變換關(guān)于任意基的矩陣是單位矩陣,關(guān)于任意基的矩陣是零矩陣.k..0k.命題7.3.3

設數(shù)域F上的向量空間V的一個線性變換σ關(guān)于V的一個取定的基的矩陣是A,那么σ可逆必要且只要A可逆,并且σ-1關(guān)于這個基的矩陣就是A-1.命題7.3.2設V是數(shù)域F上一個n維向量空間,{α1,α2,…,αn

}是V的一個基,那么對于V中任意n個向量β1,β2,…βn,恰有V的一個線性變換σ使得σ(αi)=βi,i=1,2,…,n.V的一個子空間W說是在線性變換σ之下不變(或穩(wěn)定),如果.例題1V本身和零空間{0}顯然在任意線性變換之下不變.定義不變子空間如果子空間W在σ之下不變,那么W就叫做σ的一個不變子空間.例2

令σ是V的一個線性變換,那么σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都在σ之下不變.

V的任意子空間在任意位似變換之下不變.

令σ是V3中以某一過原點直線L為軸,旋轉(zhuǎn)一個角θ的旋轉(zhuǎn).那么旋轉(zhuǎn)軸L是σ的一個一維不變子空間,而過原點與L垂直的平面H是σ的一個二維不變子空間.例3例4設λ是F中一個數(shù),如果存在V中非零向量ξ,使得(1)σ(ξ)=λξ.那么λ就叫做σ的一個本征值,而ξ叫做σ的屬于本征值λ的一個本征向量.本征值和本征向量定義1顯然,如果ξ是σ的屬于本征值λ的一個本征向量.那么對于任意α∈F,都有σ(αξ)=ασ(ξ)=αλξ=λ(αξ)例1令H是V3的一個過原點的平面,而σ是把V3的每一向量變成這個向量在H上的正射影的線性變換.那么H中每個非零向量都是σ的屬于本征值1的本征向量,而過原點與平面H垂直的直線上每一個非零向量都是σ的屬于本征值0的本征向量.例2令D表示定義在全體實數(shù)上的可微分任意次的實函數(shù)所成的向量空間,δ:f(x)f’(x)是求導數(shù)運算.δ是D的一個線性變換.對于每一個實數(shù)λ,我們有δ(eλx)=λeλx所以任何實數(shù)λ都是δ的本征值，而eλx是屬于λ的一個本征向量.設A=(aij)是數(shù)域F上一個n階矩陣,行列式:fA(x)=det(xI-A)=叫做矩陣A的特征多項式.定義2

x-a11-a12…-a1n

-a21x-a22…-a2n

…………

-an1-an2…x-ann命題7.5.1

設σ是數(shù)域F上n維向量空間V的一個線性變換.λ∈F是σ的一個本征值必要且只要λ是σ的特征多項式fσ(x)的一個根.設fA(x)=例3A=abcd,那么x-a-b

-cx-b

=x2-(a+d)x+(cd-bc)=x2-trAx+detA.可以對角化的矩陣設σ是數(shù)域F上n(n≥1)維向量空間V的一個線性變換.如果存在V的一個基,使得σ關(guān)于這個基的矩陣具有對角形式λ100…0那么就說,σ可以對角化.定義0λ20…0000…λn

…………推論7.6.2

設σ是數(shù)域F上向量空間V的一個線性變換,λ1,…,λt是σ的互不相同的本征值,又設ξi1,…,ξisi是屬于本征值λi的線性無關(guān)的本征向量,i=1,…,t,那么向量ξ11,…,ξ1s1,…,ξt1,…,ξtst線性無關(guān).命題7.6.1

令σ是數(shù)域F上向量空間V的一個線性變換.如果ξ1,ξ2,…,ξn分別是σ的屬于互不相同的本征值λ1,λ2,…,λn的本征向量,那么ξ1,ξ2,…,ξn線性無關(guān).推論7.6.4

令A是數(shù)域F上一個n階矩陣.如果A的特征多項式fA(x)在F內(nèi)有n個單根,那么存在一個n階可逆矩陣T,使推論7.6.3

令σ是數(shù)域F上n維向量空間V的一個線性變換.如果σ的特征多項式fσ(x)在F內(nèi)有n個單根,那么存在V的一個基,使σ關(guān)于這個基的矩陣是對角形式.T-1AT=λ1

00…00λ20…0

…………000…λn推論7.6.6

設A是數(shù)域F上的一個n階矩陣.A可以對角化的充分必要條件是命題7.6.5

令σ是數(shù)域F上n維向量空間V的一個線性變換,σ可以對角化的充分且必要的條件是⑴σ的特征多項式的根都F內(nèi):⑵對于σ的特征多項式的每一個根λ,本征子空間Vλ的維數(shù)等于λ的重數(shù).⑴A的特征根都在F內(nèi);⑵對于A的每一特征根λ,秩(λI-A)=n–s,這里s是λ的重數(shù).例1矩陣不能對角化,因為A的特征根1是二重根,而秩(I-A)=1.如果一個n階矩陣A可以對角化,那么存在可逆矩陣T使A=1101T-1AT=λ1

00…00λ20…0

…………000…λn最后等表明,矩陣T的第i列就是A的屬于特征根λi的一個特征向量.因此,我們不僅可以寫出與A相似的對角形矩陣,而且還可以具體的求出矩陣T.

我們把這種化法歸結(jié)為以下步驟:1.先求出矩陣A的全部特征根