第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

微積分

主講教師謝亞君第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分中值定理主要包括羅爾定理，拉格朗日中

值定理以及柯西中值定理。微積分中值定理以拉格朗

日中值定理為核心，羅爾定理為其特例，柯西中值定

理為其推廣，因?yàn)檫@幾個(gè)定理的結(jié)論都與自變量取值區(qū)間內(nèi)部的某個(gè)中間值有關(guān)，所以統(tǒng)稱為中值定理。

微分中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。他們在微積分中有很多作用，其一是利用柯西定理導(dǎo)出“洛必達(dá)”法則求“未定式”的極限；其二是利用微積分中值定理導(dǎo)出”利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)增減性”的方法，并利用導(dǎo)數(shù)

研究函數(shù)的性態(tài)，描繪函數(shù)的圖形；其三是利用導(dǎo)數(shù)第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本章的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。教學(xué)要求研究函數(shù)的極值在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用。1.了解羅爾定理、拉格朗日中值定理及其幾何意義；2．熟練掌握洛必達(dá)法則，會(huì)求型等未定式極限；3．熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性，極值的判定方法，熟練掌握函數(shù)最值的求法，并能解決實(shí)際應(yīng)用問題；4．理解邊際概念，需求價(jià)格彈性的概念，用這些概念解釋和分析經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。教學(xué)內(nèi)容§3.1中值定理§3.2

洛必達(dá)法則

§3.3函數(shù)的單調(diào)性§3.4函數(shù)的極值§3.5曲線的凹向與拐點(diǎn)§3.6函數(shù)的最大值與最小值§3.7導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

§3.1中值定理3.1.1羅爾定理如果函數(shù)上連續(xù)；內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)至少存在一點(diǎn)123滿足條件：在在則在區(qū)間使§3.1中值定理

實(shí)際上,切線與弦線AB平行.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的條件，如果滿足條件，試求出對應(yīng)的的值。在在[-1,1]上連續(xù)，但在x=0處不可導(dǎo)，所以不滿足羅爾定理的條件。解上。在[0,6]上連續(xù)；在(0,6)內(nèi)可導(dǎo)；滿足羅爾定理的三個(gè)條件。令在[0,6]上。解

使得3.1.2拉格朗日中值定理如果函數(shù)上連續(xù)；內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)至少存在一點(diǎn)在此定理中，如果再增加

這一條件，則定理的結(jié)論就是羅爾定理的結(jié)論。12即滿足條件：在在則在區(qū)間

切線與弦線AB平行如果函數(shù)都等于零，則在如果函數(shù)數(shù)處處相等，即內(nèi)只相差一個(gè)常數(shù)，即推論1推論2任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間是一個(gè)常數(shù)。內(nèi)內(nèi)的導(dǎo)在區(qū)間與函數(shù)則與在區(qū)間而

在(1,2)內(nèi)取驗(yàn)證在[1，2]上拉格朗日定理的正確性。

[1,2]上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且有在[1,2]上滿足拉格朗日中值定理。解在其定義域上連續(xù)，因而在上連續(xù)。由可知滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，所以至少存在一點(diǎn)使得令證明不等式而證內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間[0,x]

上

在

又于是，有即3.1.3柯西定理如果內(nèi)可導(dǎo)，而且在至少存在一點(diǎn)就變成拉格朗日定理，所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。上連續(xù)，都在都在與內(nèi)至少則在內(nèi)

使得在上式中，如果

解得成立。[1,2]上驗(yàn)證柯西定理的正確性。對函數(shù)及在區(qū)間在[1,2]上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，設(shè)則解§3.2洛必達(dá)法則若函數(shù)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)(點(diǎn)外)可導(dǎo)，且則洛必達(dá)法則(Ⅰ)123滿足條件：與與在點(diǎn)可除§3.2洛必達(dá)法則若函數(shù)與滿足條件：與在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)(點(diǎn)可除外)可導(dǎo)，且；則123洛必達(dá)法則(Ⅱ)如果在使用洛必達(dá)法則后,則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。有使用洛必達(dá)法則要注意觀察條件是否滿足,不然會(huì)出錯(cuò).仍是仍滿足洛必達(dá)法則條件，且求求3.2.1型解解求

求兩次使用解解兩次使用(化簡)連續(xù)使用洛必達(dá)法則在使用洛必達(dá)法則時(shí)，要注意進(jìn)行化簡，它會(huì)使問題變得簡單。解求解求解

思考題：下列極限是否存在？是否可用洛必達(dá)法則？為什麼？若有極限，求出其極限值。為什么？求”型未定式，但分子分母分別求導(dǎo)后化為此式震蕩無極限，故洛必達(dá)法則失效，不能使用。此式用小心！解這是屬于“解求等價(jià)代換整理

求3.2.2“”型解

求求解解求

若采用洛必達(dá)法則得因此，用洛必達(dá)法則不能求出極限，此式只要化簡計(jì)算。即解注意！求解3.2.3其它未定型型，總可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將它們化為然后應(yīng)用洛必達(dá)法

則求導(dǎo)。等價(jià)代換倒數(shù)法:用另一種形式顛倒行不行?行,但繁些.存在一個(gè)選擇問題.解求

求解求解通分求解

型未定式，由于它們都是來源于冪指函數(shù)的極限，一般用取對數(shù)方法先化為

型，再化為型進(jìn)行討論。設(shè)兩邊取對數(shù)，的未定式；求對數(shù)的極限原極限=1234其步驟為：求兩邊取對數(shù)

求對數(shù)的極限

所以原式＝

解設(shè)求設(shè)，則所以原式

解求設(shè)則所以原式＝

解小結(jié)：使用洛必達(dá)法則需要注意的問題：1.只有未定式的極限問題才能夠運(yùn)用洛必達(dá)法則，非未定式極限要用四則運(yùn)算或其他法；2.未定式極限問題一共有七種形式：其中是基本的兩種。其他任何一種未定式必須化為或型未定式，然后才能運(yùn)用洛必達(dá)法則求導(dǎo)。但是這不能說明該未定式的極限不存在，因?yàn)槁灞剡_(dá)3.盡可能用等價(jià)無窮小代替，比如4.有些未定式，運(yùn)用洛必達(dá)法則不能得到結(jié)果，法則是極限存在的充分而非必要條件。比如不存在顯然有練習(xí)：利用洛必達(dá)法則求下列極限§3.3函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)那么函數(shù)內(nèi)單調(diào)增加；那么函數(shù)內(nèi)單調(diào)減少。21內(nèi)可導(dǎo)，在區(qū)間如果在內(nèi)，內(nèi)，如果在在在§3.3函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。令這兩個(gè)點(diǎn)將定義域分成三個(gè)子區(qū)間，由于導(dǎo)數(shù)在這三個(gè)區(qū)間內(nèi)部不再變號，我們只要分析

在每個(gè)區(qū)間的符號即可。列表分析如下：表4—1解確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。列表分析如下：把定義域分成三個(gè)子區(qū)間表4－2解解得而時(shí)，不存在。確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

因?yàn)榍抑挥挟?dāng)內(nèi)是單調(diào)增加的。解時(shí)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。令它們把定義域分成三個(gè)列表分析如下：表4－3極大極小(的極值)。解§3.4函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)義，對領(lǐng)域內(nèi)任意的則稱稱為函數(shù)則稱稱為函數(shù)函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。定義1的極小值點(diǎn)。的極大值點(diǎn)。恒有的某領(lǐng)域內(nèi)有定在點(diǎn)的極大值，為函數(shù)

為函數(shù)的極小值，21§3.4函數(shù)的極值注意：

(5)極值點(diǎn)也可能出現(xiàn)在不可導(dǎo)點(diǎn)。(3)函數(shù)若有極值，極值不一定唯一。(1)函數(shù)的極值概念是局部性的。(4)函數(shù)的極大值可能比極小值小。(2)在函數(shù)取得極值處，曲線的切線可能是水平的。但曲線有水平切線的地方不一定取得極值。

(極值存在的必要條件)處取得極值，且在點(diǎn)如果處可在點(diǎn)導(dǎo)，則關(guān)于定理2需要說明兩點(diǎn)：取得極值的必要只是在點(diǎn)條件，而不是充分條件。時(shí)導(dǎo)數(shù)等于零，但在該點(diǎn)并不取得極值。

在定理的前提之一是函數(shù)在點(diǎn)不存在

(但連續(xù))的點(diǎn)也有可能取得極值。不存在，但在可導(dǎo)，而導(dǎo)數(shù)處卻取得極小值顯然通常把使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)。但是駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)又不一定是極值點(diǎn)。函數(shù)的極值點(diǎn)只能在駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)中產(chǎn)生。

(極值判別法Ⅰ)第一充分條件：

的領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)(允許

由小到大經(jīng)過由正變負(fù)，則由負(fù)變正，則不改變符號，則把必要條件和充分條件結(jié)合起來，就可以求函數(shù)的極值。123在點(diǎn)設(shè)函數(shù)不存在)，當(dāng)時(shí)，若是極大值點(diǎn)；是極小值點(diǎn)；不是極值點(diǎn)。

求函數(shù)的極值。令

不存在。的定義域分成三個(gè)子區(qū)間，

列表分析如下：表4—4

解將解得時(shí)(極值判別法Ⅱ)第二充分條件：

處有二階導(dǎo)數(shù)，且則：處取得處取得則不能判斷。極大值；極小值；123在點(diǎn)設(shè)函數(shù)若則函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)若則函數(shù)若

已知用極值判別法Ⅱ求例1的極值則令解為極大值；為極小值。得的極大值為極小值為求出函數(shù)求出可能的極值點(diǎn)，即存在的點(diǎn)；用充分條件來判別上述各點(diǎn)是否為極值點(diǎn)；求出的極值點(diǎn)，求出對應(yīng)的極值。求極值的步驟：12433的定義域；和不由§3.5曲線的凹向與拐點(diǎn)如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任§3.5曲線的凹向與拐點(diǎn)一點(diǎn)切線的上方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是上凹的，如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)切線的下方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是下凹的。定義1在區(qū)間設(shè)函數(shù)如果內(nèi)上凹；如果內(nèi)下凹。曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)是上凹與下凹的分界點(diǎn)，所以在拐點(diǎn)左右鄰必然異號，因而在拐點(diǎn)處或不存在。定義2內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則12時(shí)，恒有時(shí)，恒有則曲線則曲線鄰近在在

求曲線的凹向與拐點(diǎn)。令

，得

表4—5列表分析如下：

拐點(diǎn)

拐點(diǎn)解

求曲線的凹向與拐點(diǎn)。

表4—6列表分析如下：

拐點(diǎn)解§3.6函數(shù)的最大值與最小值3.6.1函數(shù)的最大值與最小值對一個(gè)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)最小值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)上取得。因此，只要求出的所有極值點(diǎn)和端點(diǎn)，它們之中最大的就是最大值，最小的就是最小值。3.6.2求最值的方法：上只有一個(gè)極值，則極大值就是區(qū)間[a,b]上的最大值；極小值就是區(qū)間[a,b]上的最小值。1如果在它的最大值、函數(shù)§3.6函數(shù)的最大值與最小值是區(qū)間(a,b)上的單調(diào)函數(shù)，則最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得；在區(qū)間(a,b)上的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)分別則先求出在這些點(diǎn)的值以及在端點(diǎn)a和b處的值，23若若記為：然后再加以比較：最大值最小值

求函數(shù)在的最大值與最小值。

計(jì)算出令再計(jì)算出比較這五個(gè)值，最大值為解最小值為

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常需要考慮一些經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率，即經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！?.7導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，習(xí)慣稱導(dǎo)數(shù)為邊際。

利用導(dǎo)數(shù)對某些經(jīng)濟(jì)函數(shù)進(jìn)行分析稱為邊際分析方法。3.7.1邊際分析設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)也稱為邊際函數(shù)。一、邊際函數(shù)(函數(shù)的變化率)

§3.7導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用1.平均變化率：2.瞬時(shí)變化率：(邊際函數(shù)值)二、邊際成本1.總成本：2.平均成本：3.邊際成本：定義為產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總成本。設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為x(噸)時(shí)的總成本C(元)為：求：(1)產(chǎn)量為100噸時(shí)的總成本；

(2)產(chǎn)量為100噸時(shí)的平均成本；

(3)產(chǎn)量從100噸增加到225噸時(shí)，總成本的平均變化率；(4)產(chǎn)量為100噸時(shí)，總成本的變化率。＝2200(元)＝22(元/噸)＝9(元/噸)＝9.5(元/噸)這個(gè)結(jié)論的經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)產(chǎn)量為100噸時(shí)，再多生產(chǎn)1噸所增加的成本為9.5元。解三、邊際收入設(shè)p為價(jià)格，x為銷售量，則2.平均收入：3.邊際收入：定義為多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)所增加的銷售收入。1.總收入：

設(shè)某商品的需求函數(shù)為，求邊際收入函數(shù)，以及x＝20、50、70時(shí)的邊際收入。(3)當(dāng)銷售量為70個(gè)單位時(shí)，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品，反而使收入大約減少8個(gè)單位。品，收入約增加12個(gè)單位；(1)當(dāng)銷售量為20個(gè)單位時(shí)，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)(2)當(dāng)銷售量為50個(gè)單位時(shí)，再增加銷售收入不會(huì)增加；解四、邊際利潤1.總利潤：2.平均利潤：3.邊際利潤：定義為銷售量為x單位時(shí)，多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的利潤。邊際利潤由邊際收入和邊際成本決定：當(dāng)取得極大值的必要條件為取得極大值的充分條件為即邊際收入的變化率小于邊際成本的變化率。某企業(yè)對銷售分析有總獲利與每月產(chǎn)量x

噸的函數(shù)關(guān)系：試確定每月生產(chǎn)20噸、25噸、30噸時(shí)的邊際利潤。解即即變到144，此時(shí)自變量與因變量的絕對改變量分別為而表示當(dāng)x=10改變到x=12，x

產(chǎn)生了20%的改變，y

產(chǎn)生了44%的改變。這就是相對改變量。均改變2.2%，我們稱它為從x=10到x＝12，函數(shù)表示在(10,12)

內(nèi)，從x=10時(shí)起，x每

改變1%時(shí)，y平的平均相對變化率。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱之為彈性。當(dāng)x

由10改變到12時(shí)，y

由100改3.7.2彈性分析(函數(shù)的相對變化率)一、基本概念設(shè)函數(shù)極限在點(diǎn)x處的相對變化率，或彈性，記作在點(diǎn)

x處的彈性X變化1％時(shí)，函數(shù)

定義4.4即為函數(shù)函數(shù)反映了當(dāng)自變量變化的百分?jǐn)?shù)為在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則稱求函數(shù)

在處的彈性。

求函數(shù)的彈性函數(shù)及求冪函數(shù)為常數(shù)）的彈性函數(shù)。解解解

二、需求彈性為商品價(jià)格，稱為需求函數(shù)。一般說來，商品價(jià)格低，需求大；商品價(jià)格高，需求小，因此一般需求函數(shù)數(shù)。為單調(diào)減少函表示需求量，那么有設(shè)當(dāng)某種商品的價(jià)格下降（或上升）1％時(shí)，其需求量將增加（或減少）需求價(jià)格彈性為：若彈性，即價(jià)格變化將引起需求量較大變化；

則稱該商品的需求量對價(jià)格富有則稱該商品的需求量對價(jià)格缺乏則稱該商品具有單位彈性，即價(jià)格上升的百分?jǐn)?shù)與需求下降的百分?jǐn)?shù)是相同的；彈性，即價(jià)格變化只引起需求微小變化。

123若若需求彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有如下定義：說明p=3時(shí)，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，即p=3時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求只減少0.6%。

說明p=5時(shí)，價(jià)格與需求變動(dòng)的幅度相同。

設(shè)某商品的需求函數(shù)為，求(1)需求價(jià)格彈性函數(shù)；時(shí)的需求彈性。解三、用需求彈性分析總收益的變化需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅遞增。即價(jià)格上漲，總收益增加，價(jià)格下跌，總收益減少。若1度。此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅遞減。即價(jià)格上漲，總收益減少，價(jià)格下跌，總收益增加。需求變動(dòng)的幅度等于價(jià)格變動(dòng)的幅度。此時(shí)，23若度。此時(shí)，若取得最大值。某商品的需求函數(shù)(1)求需求彈性函數(shù)；(2)求時(shí)的彈性函數(shù)；(3)在時(shí)，若價(jià)格上漲1％時(shí)，總收益是增加還是減少，將變化百分之幾？(4)為何值時(shí)，總收益最大？最大收益是多少？解

它表示價(jià)格上漲1％，需求將減少0.33％。即價(jià)格上漲1%，總收益將增加。下面求R增長的百分比，即求R的彈性。

3.7.3最大值與最小值在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用一、最大利潤問題某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其固定成本為3萬元，每生產(chǎn)1百件產(chǎn)品，成本增加2萬元，其總收入R(萬元)是產(chǎn)量x的函數(shù)求達(dá)到最大利潤的產(chǎn)量。由題意，成本函數(shù)為：解于是，利潤函數(shù)為：所以，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得因?yàn)闃O大值。因?yàn)槭俏ㄒ坏臉O值點(diǎn)，所以又是最大值，即產(chǎn)量為300件時(shí)取得最大利潤。二、最小成本問題已知某企業(yè)的成本函數(shù)為：其中C為成本(千元)；x為產(chǎn)量(噸)；求平均可變成本y(千元/噸)的最小值。平均可變成本為：由于是唯一的極值點(diǎn)，所以又是最小值。

時(shí)，y