第三章桿件的強(qiáng)度與壓桿穩(wěn)定

建筑力學(xué)與建筑結(jié)構(gòu)教學(xué)課件問(wèn)題提出：FPFPFPFP1.內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強(qiáng)度的大小。2.強(qiáng)度

(1)內(nèi)力在截面分布集度應(yīng)力；

(2)材料承受荷載的能力。第一節(jié)應(yīng)力與應(yīng)變的概念FRAK總應(yīng)力：一、應(yīng)力的概念受力桿件截面上某一點(diǎn)處的內(nèi)力集度稱為該點(diǎn)的應(yīng)力。總應(yīng)力p是一個(gè)矢量，通常情況下，它既不與截面垂直，也不與截面相切。為了研究問(wèn)題時(shí)方便起見，習(xí)慣上常將它分解為與截面垂直的分量σ和與截面相切的分量τ。第一節(jié)應(yīng)力與應(yīng)變的概念總應(yīng)力分解為與截面相切pK工程中應(yīng)力的單位常用Pa或MPa。

1Pa=1N/m2

1MPa=1N/mm2另外，應(yīng)力的單位有時(shí)也用kPa和GPa，各單位的換算情況如下：

1kPa=103Pa，

1GPa=109Pa=103MPa1MPa=106Pa正應(yīng)力σ剪應(yīng)力τ與截面垂直第一節(jié)應(yīng)力與應(yīng)變的概念說(shuō)明：（1）應(yīng)力是針對(duì)受力桿件的某一截面上某一點(diǎn)而言的，所以提及應(yīng)力時(shí)必須明確指出桿件、截面、點(diǎn)的名稱。（2）應(yīng)力是矢量，不僅有大小還有方向。（3）內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系：內(nèi)力在某一點(diǎn)處的集度為該點(diǎn)的應(yīng)力；整個(gè)截面上各點(diǎn)處的應(yīng)力總和等于該截面上的內(nèi)力。第一節(jié)應(yīng)力與應(yīng)變的概念二變形—位移和應(yīng)變

1、位移（變形位移）線位移：物體中一點(diǎn)相對(duì)于原來(lái)位置所移動(dòng)的直線距離。角位移：物體中某一直線或平面相對(duì)于原來(lái)位置所轉(zhuǎn)過(guò)的角度。第一節(jié)應(yīng)力與應(yīng)變的概念2、應(yīng)變線應(yīng)變切應(yīng)變第一節(jié)應(yīng)力與應(yīng)變的概念屋架結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化一軸向拉伸和壓縮的概念

工程中有很多構(gòu)件，例如屋架中的桿，是等直桿，作用于桿上的外力的合力的作用線與桿的軸線重合。在這種受力情況下，桿的主要變形形式是軸向伸長(zhǎng)或縮短。第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變兩個(gè)FP力指向端截面，使桿發(fā)生縱向收縮，稱為軸向壓力。FPFPFPFP

在桿的兩端各受一集中力FP作用，兩個(gè)FP力大小相等，指向相反，且作用線與桿軸線重合兩個(gè)FP力背離端截面，使桿發(fā)生縱向伸長(zhǎng)，稱為軸向拉力。第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變一、軸向拉（壓）桿的內(nèi)力——軸力

軸向拉（壓）桿的內(nèi)力是一個(gè)作用線與桿件軸線重合的力，習(xí)慣上把與桿件軸線相重合的內(nèi)力稱為軸力。并用符號(hào)FN表示。

軸力的正負(fù)規(guī)定:

FN與外法線同向,為正軸力(拉力)FN與外法線反向,為負(fù)軸力(壓力)FNFNFNFN第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變求內(nèi)力的基本方法——截面法

內(nèi)力的計(jì)算是分析構(gòu)件強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等問(wèn)題的基礎(chǔ)。求內(nèi)力的一般方法是截面法。

截面法的基本步驟：

（1）截開：在所求內(nèi)力的截面處，假想地用截面將桿件一分為二。

（2）代替：任取一部分，其棄去部分對(duì)留下部分的作用，用作用在截開面上相應(yīng)的內(nèi)力（力或力偶）代替。

（3）平衡：對(duì)留下的部分建立平衡方程，根據(jù)其上的已知外力來(lái)計(jì)算桿在截開面上的未知內(nèi)力。軸向拉伸和壓縮截開：FPFPⅠⅡmmFNFPmmxⅠFNFPmmⅡ由平衡方程

∑Fx=0，F(xiàn)N-FP=0得

FN=FP（１）截（3）代（4）平軸向拉伸和壓縮（2）取120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0FN1+20=0FN1=-20kN于1-1截面處將桿截開，取右段為分離體，設(shè)軸力為正值。則例1試求等直桿指定截面的軸力。FN120kND第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變20kN20kNFN2DC

于2-2截面處將桿截開，取右段為分離體，設(shè)軸力為正值。則120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0-FN2+20-20=0FN2=0第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變FN320kN20kN30kNDCB

于3-3截面處將桿截開，取右段為分離體，設(shè)軸力為正值。則120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0-FN3+30+20-20=0FN3=30kN第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變

任一截面上的軸力的數(shù)值等于對(duì)應(yīng)截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和，且當(dāng)外力的方向使截面受拉時(shí)為正，受壓時(shí)為負(fù)。FN=ΣF結(jié)論120kN20kN30kNABCD12233FN1=-20kNFN2=0FN1=-20kN第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變二、軸力圖

為了形象地表明桿的軸力隨橫截面位置變化的規(guī)律，通常以平行于桿軸線的坐標(biāo)（即x坐標(biāo)）表示橫截面的位置，以垂直于桿軸線的坐標(biāo)（即FN坐標(biāo)）表示橫截面上軸力的數(shù)值，按適當(dāng)比例將軸力隨橫截面位置變化的情況畫成圖形，這種表明軸力隨橫截面位置變化規(guī)律的圖稱為軸力圖。第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變意義：（1）反映出軸力與截面位置變化關(guān)系，較直觀；（2）確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。求軸力的方法為截面法，一般所求截面上的內(nèi)力采用“設(shè)正法”，即無(wú)論受力如何，將內(nèi)力一律設(shè)為拉力。結(jié)果正，表明該軸力為拉。軸力圖與桿件應(yīng)注意一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，應(yīng)在其值變化的角點(diǎn)標(biāo)出數(shù)值。截面不能剛好截在外力作用點(diǎn)處，因?yàn)樵谕饬ψ饔命c(diǎn)處軸力發(fā)生突變，其值是不定值。畫軸力圖注意的問(wèn)題120kN20kN30kNABCD12233第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變

例

桿受力如圖所示。試畫出桿的軸力圖。BD段：DE

段：AB段：30kN20kN30kN402010–++FN圖（kN）

注：內(nèi)力的大小與桿截面的大小無(wú)關(guān)，與材料無(wú)關(guān)。第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變

軸力圖要求：練習(xí)直桿受力如圖所示，試畫出桿的軸力圖。2FPFP2FP5FPABCED正負(fù)號(hào)數(shù)值陰影線與軸線垂直圖名第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變FPFP’變形規(guī)律試驗(yàn)：三、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)桿受到軸向拉力作用后，所有的縱向線都伸長(zhǎng)了，而且伸長(zhǎng)量都相等，并且仍然都與軸線平行；所有的橫向線仍然保持與縱向線垂直，而且仍為直線，只是它們之間的相對(duì)距離增大了。第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變根據(jù)從桿件表面觀察到的現(xiàn)象，從變形的可能性考慮，可推斷：

軸向拉桿在受力變形時(shí)，橫截面只沿桿軸線平行移動(dòng)。由此可知：橫截面上只有正應(yīng)力σ。假如把桿想象成是由許多縱向纖維組成的話，則任意兩個(gè)橫截面之間所有縱向纖維的伸長(zhǎng)量均相等，即兩橫截面間的變形是均勻的，所以拉（壓）桿在橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力σ都相同。

sFNFP第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變通過(guò)上述分析知：軸心拉桿橫截面上只有一種應(yīng)力——正應(yīng)力，并且正應(yīng)力在橫截面上是均勻分布的，所以拉桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式為式中A—拉（壓）桿橫截面的面積；

FN—軸力。

當(dāng)軸力為拉力時(shí)，正應(yīng)力為拉應(yīng)力，取正號(hào)；當(dāng)軸力為壓力時(shí)，正應(yīng)力為壓應(yīng)力，取負(fù)號(hào)。第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變對(duì)于等截面直桿，最大正應(yīng)力一定發(fā)生在軸力最大的截面上。習(xí)慣上把桿件在荷載作用下產(chǎn)生的應(yīng)力，稱為工作應(yīng)力。通常把產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的截面稱為危險(xiǎn)截面，產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。對(duì)于產(chǎn)生軸向拉（壓）變形的等直桿，軸力最大的截面就是危險(xiǎn)截面，該截面上任一點(diǎn)都是危險(xiǎn)點(diǎn)。第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變

例3-1

圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件AB、CB的應(yīng)力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15的方截面桿。FABC

解：1、計(jì)算各桿件的軸力。用截面法取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象45°12BF45°第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變BF45°2、計(jì)算各桿件的應(yīng)力。第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變例題2

圖示為一變截面圓桿ABCD.已知F1=20kN，F(xiàn)2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.試求：（1）

Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的軸力并作軸力圖（2）

桿的最大正應(yīng)力maxF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變解：求支座反力FRD=-50kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的軸力并作軸力圖F1FN1第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變F2F1FN2F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDFRDFN3第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15+-2050F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變（2）

桿的最大正應(yīng)力maxAB段DC段BC段FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDmax=176.8MPa

發(fā)生在AB段.第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變FkkF

四、斜截面上的應(yīng)力（Stressonaninclinedplane)1.斜截面上的應(yīng)力（Stressonaninclinedplane）FkkFαpα以pα表示斜截面k-k上的應(yīng)力，于是有第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變沿截面法線方向的正應(yīng)力沿截面切線方向的切應(yīng)力將應(yīng)力pα分解為兩個(gè)分量：pαFkkFFkkxnpα第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變（1）α角2.符號(hào)的規(guī)定(Signconvention)（2）正應(yīng)力拉伸為正壓縮為負(fù)（3）切應(yīng)力對(duì)研究對(duì)象任一點(diǎn)取矩pαFkkFFkkxnpα順時(shí)針為正逆時(shí)針為負(fù)逆時(shí)針時(shí)

為正號(hào)順時(shí)針時(shí)

為負(fù)號(hào)自x

轉(zhuǎn)向n第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變（1）當(dāng)

=0°

時(shí)，（2）當(dāng)

=45°時(shí)，

（3）當(dāng)=-45°

時(shí)，（4）當(dāng)=90°時(shí)，討論xnFkk第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變五

五拉壓桿的變形計(jì)算

(Calculationofaxialdeformation)FFbh

一、縱向變形(Axialdeformation)b1ll12.縱向應(yīng)變(Axialstrain)1.縱向變形(Axialdeformation)第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變二、橫向變形(Lateraldeformation)三、泊松比

(Poisson’sratio)稱為泊松比

(Poisson’sratio)2.橫向應(yīng)變(Lateralstrain)FFbhb1ll11.橫向變形(Lateraldeformation)第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變四、胡克定律

(Hooke’slaw)式中E

稱為彈性模量(modulusofelasticity)，EA稱為抗拉（壓）剛度(rigidity).

實(shí)驗(yàn)表明工程上大多數(shù)材料都有一個(gè)彈性階段，在此彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比.上式改寫為由第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變例題2

圖示為一變截面圓桿ABCD.已知F1=20kN，F(xiàn)2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.試求：（1）

Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的軸力并作軸力圖（2）

桿的最大正應(yīng)力maxF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變（3）

B截面的位移及AD桿的變形FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15+-2050F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變（3）

B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD第二節(jié)軸向拉伸（壓縮）桿的應(yīng)力與應(yīng)變一、強(qiáng)度條件(Strengthcondition)

桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力1.數(shù)學(xué)表達(dá)式(Mathematicalformula)2.強(qiáng)度條件的應(yīng)用(Applicationofstrengthcondition)（2）設(shè)計(jì)截面（1）

強(qiáng)度校核（3）確定許可荷載第四節(jié)軸向受力構(gòu)件的強(qiáng)度條件例題1

一橫截面為正方形的磚柱分上、下兩段,其受力情況,各段長(zhǎng)度及橫截面面積如圖所示.已知F=50kN，試求荷載引起的最大工作應(yīng)力.FABCFF3000400037024021解：（1）作軸力圖第四節(jié)軸向受力構(gòu)件的強(qiáng)度條件FABCFF300040003702402150kN150kN（2）求應(yīng)力結(jié)論：

在柱的下段，其值為1.1MPa，是壓應(yīng)力.第四節(jié)軸向受力構(gòu)件的強(qiáng)度條件例題2

簡(jiǎn)易起重設(shè)備中，AC桿由兩根80807等邊角鋼組成，AB桿由兩根10號(hào)工字鋼組成.材料為Q235鋼，許用應(yīng)力[]=170MPa.求許可荷載[F].ABCF1m30。第四節(jié)軸向受力構(gòu)件的強(qiáng)度條件解：（1）取結(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，受力分析如圖所示.ABCF1m30°FAxyFN1FN230。第四節(jié)軸向受力構(gòu)件的強(qiáng)度條件結(jié)點(diǎn)A的平衡方程為由型鋼表查得FAxyFN1FN230。得到第四節(jié)軸向受力構(gòu)件的強(qiáng)度條件（2）

許可軸力為（3）各桿的許可荷載（4）

結(jié)論：許可荷載[F]=184.6kN第四節(jié)軸向受力構(gòu)件的強(qiáng)度條件例題3

剛性桿ACB有圓桿CD懸掛在C點(diǎn),B端作用集中力F=25kN,已知CD桿的直徑d=20mm,許用應(yīng)力[]=160MPa，試校核CD桿的強(qiáng)度,并求：（1）結(jié)構(gòu)的許可荷載[F];（2）若F=50kN,設(shè)計(jì)CD桿的直徑.2aaFABDC第四節(jié)軸向受力構(gòu)件的強(qiáng)度條件解：（1）求CD桿的內(nèi)力2aaFABDCFNCDFACBFRAyFRAx（2）結(jié)構(gòu)的許可荷載[F]由第四節(jié)軸向受力構(gòu)件的強(qiáng)度條件[F]=33.5kN2aaFABDCFNCDFACBFRAy得（3）

若F=50kN，設(shè)計(jì)CD桿的直徑由得d=24.4mm取d=25mmFRAx第四節(jié)軸向受力構(gòu)件的強(qiáng)度條件

CD梁段橫截面上只有彎矩,而沒(méi)有剪力，這種平面彎曲稱為純彎曲。

AC和DB梁段橫截面上不僅有彎矩還伴有剪力，這種平面彎曲稱為橫力彎曲。MFPaFQFPFPFPFPaaCDAB第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件一、彎曲正應(yīng)力

純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力研究方法是：觀察變形應(yīng)力分布應(yīng)力計(jì)算公式

σ與ε物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系一、純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件Oyxzbhoyz觀察純彎曲梁變形現(xiàn)象o1ao2b12121.幾何變形方面第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件zyxoMMOyz所有縱向線都彎成曲線，仍與橫向線垂直，靠近凸邊的縱向線伸長(zhǎng)了，靠近凹邊的縱向線縮短了。橫向線仍為直線但轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度；矩形截面的上部變寬下部變窄。1212MMo1a1o2b1第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

平面假設(shè)：梁變形后其橫截面仍保持為平面，且仍與變形后的梁軸線垂直。同時(shí)還假設(shè)梁的各縱向纖維之間無(wú)擠壓。

單向受力假設(shè)：將梁看成由無(wú)數(shù)條縱向纖維組成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件根據(jù)現(xiàn)象，推測(cè)梁內(nèi)部變形中性層MMzy中性軸受壓區(qū)受拉區(qū)

中性層：梁的下部縱向纖維伸長(zhǎng)，而上部縱向纖維縮短，由變形的連續(xù)性可知，梁內(nèi)肯定有一層長(zhǎng)度不變的纖維層，稱為中性層。

中性軸：中性層與橫截面的交線稱為中性軸，由于荷載作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的變形沿縱向?qū)ΨQ，則中性軸垂直于橫截面的對(duì)稱軸。梁彎曲變形時(shí)，其橫截面繞中性軸旋轉(zhuǎn)某一角度。

第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件1212o1ao2b1212o1ao2b1122MMdx

梁中取出的長(zhǎng)為dx的微段變形后其兩端相對(duì)轉(zhuǎn)了d角a1b1O2O1dr第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件距中性層為y處的縱向纖維ab的變形式中ρ為中性層上的纖維的曲率半徑?？芍毫簝?nèi)任一層縱向纖維的線應(yīng)變與y成正比。

則纖維的應(yīng)變?yōu)樵L(zhǎng)：))O1O2a1b1O2O1dr1212o1ao2b變形后長(zhǎng)：第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

2.物理關(guān)系方面

由于假設(shè)梁內(nèi)各縱向纖維只受拉伸或壓縮，所以當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，由虎克定律可得各縱向纖維的正應(yīng)力為

梁橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。即彎曲正應(yīng)力沿截面高度成線性分布。

中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力等于零，距中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣上各點(diǎn)處正應(yīng)力最大，其它點(diǎn)的正應(yīng)力介于零到最大值。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件xyzO坐標(biāo)系的選取：

y軸：截面的縱向?qū)ΨQ軸。

z軸：中性軸。

x軸：沿縱向線。

受力分析：dA上的內(nèi)力為σdA，于是整個(gè)截面上所有內(nèi)力組成一空間平行力系，由于橫截面上只有繞中性軸的彎矩MZ，所以橫截面法向的軸力FN和力偶矩My應(yīng)為零，即：ΣFx＝0ΣMy=0ΣMz=M(y

z)M3.靜力學(xué)關(guān)系方面第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件故：Sz

=0

即中性軸z必過(guò)橫截面的形心。代入胡克定律：及：故：Iyz＝0，

y軸為對(duì)稱軸，z軸又過(guò)形心，則軸y，z為橫截面的形心主慣性軸。（中性層曲率公式）故：第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件其中1／ρ是梁軸線變形后的曲率。稱EIZ為梁的抗彎剛度。得純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式：代入：

表明：橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該橫截面上的彎矩和該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而與該截面對(duì)中性軸的慣性矩成反比。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

計(jì)算時(shí)公式中代入M和y的絕對(duì)值。σ的正負(fù)可由彎矩的正負(fù)和所求點(diǎn)的位置來(lái)判斷.-++-第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件適用條件是：

(1)梁的橫截面至少具有一個(gè)縱向?qū)ΨQ軸。

(2)正應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限。

(3)梁產(chǎn)生純彎曲。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。此時(shí)，橫截面是不僅有正應(yīng)力，而且有切應(yīng)力。純彎曲理論的推廣對(duì)于跨度與截面高度之比大于5的橫力彎曲梁，橫截面上的最大正應(yīng)力按純彎曲正應(yīng)力公式計(jì)算，滿足工程上的精度要求。梁的跨高比越大，誤差就越小。梁在純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和各縱向纖維間無(wú)擠壓的假設(shè)不再成立。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

若截面是高為h，寬為b的的矩形，則若截面是直徑為d的圓形，則第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

式中WZ僅與截面的幾何形狀及尺寸有關(guān)，稱為截面對(duì)中性軸的抗彎截面模量。單位：m3或mm3。

若截面是外徑為D、內(nèi)徑為d的空心圓形，則

DdDd=a對(duì)于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數(shù)可從書后“附錄”型鋼表中查出。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

例

簡(jiǎn)支梁受均布荷載q作用，試完成：(1)求距左端為１m的C截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力。(2)求梁的最大正應(yīng)力值，并說(shuō)明最大正應(yīng)力發(fā)生在何處。(3)作出C截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。

200q=3.5kN/mAB3m1m第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件解

（1）求指定截面上指定點(diǎn)的應(yīng)力先求出支座反力,由對(duì)稱性C截面積的彎矩矩形截面對(duì)中性軸z的慣性矩MC=(5.25×1－3.5×1×0.5)kN·m=3.5kN·m200q=3.5kN/mAB3m1m第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算C截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力：200第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件(2)求梁的最大正應(yīng)力值，及最大正應(yīng)力發(fā)生的位置。梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩Mmax所在的上、下邊緣處。由梁的變形情況可以判定，最大拉應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處；最大壓應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的邊緣處。其最大正應(yīng)力的值為第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件(3)作C截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件式中，F(xiàn)Q—需求切應(yīng)力處橫截面上的剪力；

Iz—為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；

Sz*—為橫截面上需求切應(yīng)力處平行于中性軸的線以上（或以下）部分的面積對(duì)中性軸的靜矩；

b—為橫截面的寬度。bhyzyFQ1.矩形截面梁第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件二、彎曲剪應(yīng)力

切應(yīng)力的分布規(guī)律：

1)切應(yīng)力的方向與剪力同向平行。

2)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即同一橫截面上，與中性軸等距離的點(diǎn)切應(yīng)力均相等。

3)切應(yīng)力沿截面高度按二次拋物線規(guī)律分布。距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處切應(yīng)力等于零；中性軸上切應(yīng)力取得該截面上的最大值，其值為第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件將

說(shuō)明：矩形截面梁任一橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其值為該截面上平均切應(yīng)力FQ/A的1.5倍，切應(yīng)力沿截面高度的分布規(guī)律如圖示。

zyFQ第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件2.工字形截面梁結(jié)論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計(jì)算腹板上的tmax。

鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應(yīng)力式中，h1—腹板的高度。b1—腹板的寬度。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

一般情況下，最大正應(yīng)力發(fā)生于彎矩最大的橫截面上矩中性軸最遠(yuǎn)處。令：三、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算1.梁的最大正應(yīng)力習(xí)慣上把產(chǎn)生最大應(yīng)力的截面稱為危險(xiǎn)截面，產(chǎn)生最大應(yīng)力的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

對(duì)于中性軸不是截面對(duì)稱軸的梁，例如T型截面的等直梁。yy1y2C同一橫截面上σtmax≠σcmax

，這時(shí)整個(gè)梁的σtmax

或σcmax不一定發(fā)生在|Mmax|截面處，需對(duì)最大正彎矩和最大負(fù)彎矩處的σtmax和σcmax分別計(jì)算。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件2.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算對(duì)于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料（如低碳鋼），由于，所以只要求：梁橫截面上絕對(duì)值最大的正應(yīng)力不超過(guò)材料的彎曲許用應(yīng)力。其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：對(duì)于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料（如鑄鐵），由于，所以要求：梁橫截面上的最大拉應(yīng)力不超過(guò)材料的彎曲許用拉應(yīng)力，同時(shí)，梁橫截面上的最大壓應(yīng)力不超過(guò)材料的彎曲許用壓應(yīng)力。其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

一般截面，最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。切應(yīng)力強(qiáng)度條件zyFQ梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件表達(dá)式為：第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲剪應(yīng)力驗(yàn)算范圍

在工程中的梁，大多數(shù)并非發(fā)生純彎曲，而是橫力彎曲。由于其絕大多數(shù)為細(xì)長(zhǎng)梁，并且在一般情況下，細(xì)長(zhǎng)梁的強(qiáng)度取決于其正應(yīng)力強(qiáng)度，而無(wú)須考慮其切應(yīng)力強(qiáng)度。但在遇到梁的跨度較小或在支座附近作用有較大載荷；鉚接或焊接的組合截面鋼梁；木梁等特殊情況，則必須考慮切應(yīng)力強(qiáng)度。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件3.強(qiáng)度條件應(yīng)用●

強(qiáng)度校核:●

設(shè)計(jì)截面:●

確定許用荷載

:第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

例

圖示簡(jiǎn)支梁選用木材制成，其橫截面為矩形b×h=140mm×210mm，梁的跨度l=4m，荷載FP=6kN，q=2kN/m，材料的彎曲許用應(yīng)力[σ]=11MPa，試校核該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。FAyFByhbz解：（1）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。求支座反力,由對(duì)稱性FBy=FAy=7kNqABl=4mFP第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件10kNm

(2)計(jì)算截面的幾何參數(shù)。

再作梁的彎矩圖，如圖示。hbz從圖可知：跨中截面上彎矩最大，其值為Mmax=10kN·m

。FAyFByqABl=4mFP第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件(3)校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。該梁滿足正應(yīng)力強(qiáng)度要求。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件y2y1C

例

T形截面外伸梁如圖示，已知：材料的彎曲許用應(yīng)力分別為[σt]=45MPa，[σc]=175MPa，截面對(duì)中性軸的慣性矩Iz=5.73×10-6m4，下邊緣到中性軸的距離y1=72mm，上邊緣到中性軸的距離y2=38mm。試校核該梁的強(qiáng)度。4FP1=40kN0.3m0.3m0.3mFP2=15kNABCD第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件解：(1)求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。

4.5kNm3kNmFP2=15kNDFP1=40kN0.3m0.3mABC0.3m第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件B截面和C截面應(yīng)力分布規(guī)律圖y2y1C

C截面

B截面第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件B截面滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。C截面B截面

C截面不滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。所以該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度不滿足要求。第五節(jié)梁的彎曲應(yīng)力、梁的正應(yīng)力、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件講解例題3-9、3-11、3-12梁的合理截面選擇

一、

根據(jù)抗彎截面系數(shù)選擇合理截面

從抗彎截面系數(shù)的計(jì)算可以推知：一般情況下，抗彎截面系數(shù)與截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形狀應(yīng)該是在橫截面面積A相等的條件下，比值Wz/A盡量大些。

1)通過(guò)對(duì)矩形、圓形、工字形、正方形截面進(jìn)行理論計(jì)算發(fā)現(xiàn)：在橫截面的面積A相等的情況下，比值Wz/A從大到小的截面依次是：工字形、矩形、正方形、圓形；zzzz

2)通過(guò)對(duì)具有相同截面面積的實(shí)心及空心截面進(jìn)行理論分析發(fā)現(xiàn)：不論截面的幾何形狀是哪種類型，空心截面的Wz/A總是大于實(shí)心截面的Wz/A。zzzz

3）對(duì)具有相同面積的矩形截面進(jìn)行理論計(jì)算還發(fā)現(xiàn)：盡管截面形狀和尺寸都沒(méi)變，只是放置方式不同（中性軸不同），從而使抗彎截面系數(shù)不相同。立放的矩形截面Wz/A值比平放的矩形截面Wz/A值大。若h=2b，梁平放時(shí)Wz/A=b/6，梁豎放時(shí)Wz/A=b/3。zybhhzyb

注意：上面我們只是單從強(qiáng)度觀點(diǎn)出發(fā)分析了截面的選擇規(guī)律，事實(shí)上，在實(shí)際工程中，選擇截面時(shí)，除了考慮強(qiáng)度條件外，還要同時(shí)考慮穩(wěn)定性、施工方便、使用合理等因素后才正確選擇梁的截面形狀。這就是大家所看到的在實(shí)際工程中仍然大量使用實(shí)心矩形截面梁，而不常使用空心截面梁的原因。二、根據(jù)材料特性選擇截面sGz對(duì)于抗拉和抗壓相同的塑性材料，一般采用對(duì)稱于中性軸的截面，如圓形、工字形等，使得上、下邊緣同時(shí)達(dá)到材料的許用應(yīng)力值。對(duì)于抗拉和抗壓不相同的脆性材料，最好選用關(guān)于中性軸不對(duì)稱的截面，如T形、槽形等。三、采用變截面梁

為了充分利用材料，理想的梁應(yīng)該是在彎矩大的部位采用大截面，而在彎矩小的部分就采用小截面，使彎矩與截面相對(duì)應(yīng)，這種梁的橫截面尺寸在全梁范圍內(nèi)不是一個(gè)常數(shù)，而是沿著軸線有一定變化的梁稱為變截面梁。最理想的變截面梁應(yīng)該是：梁的每一個(gè)橫截面上的最大正應(yīng)力都恰好等于梁所用材料的彎曲許用應(yīng)力，這種變截面梁稱為等強(qiáng)度梁。

從強(qiáng)度的觀點(diǎn)來(lái)看，等強(qiáng)度梁最經(jīng)濟(jì)，能充分發(fā)揮材料的潛能，是一種非常理想的梁，但是從實(shí)際應(yīng)用情況分析，這種梁的制作比較復(fù)雜，給施工帶來(lái)好多困難，因此綜合考慮強(qiáng)度和施工兩種因素，它并不是最經(jīng)濟(jì)合理的梁。在建筑工程中，通常是采用形狀比較簡(jiǎn)單又便于加工制作的各種變截面梁，而不采用等強(qiáng)度梁。圖示為建筑工程中常見變截面梁的情況。

第八節(jié)壓桿穩(wěn)定（BucklingofColumns）

§8-1

壓桿穩(wěn)定的概念

(Thebasicconceptsofcolumns)§8-3

歐拉公式的應(yīng)用范圍§8-2

細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力(TheCriticalLoadforastraight,uniform,axiallyloaded,pin-endedcolumns)第八節(jié)壓桿穩(wěn)定§8-4壓桿穩(wěn)定的實(shí)用計(jì)算公式30mm1m兩根相同材料（松木）制成的桿，σb=20MPa；A＝10mm×30mm短桿長(zhǎng)：l＝30mm；FFFF長(zhǎng)桿長(zhǎng)：l＝1000mm8-1壓桿穩(wěn)定的概念一、穩(wěn)定問(wèn)題的提出若按強(qiáng)度條件計(jì)算，兩根桿壓縮時(shí)的極限承載能力均應(yīng)為：F=σb

A=6kN第八節(jié)壓桿穩(wěn)定（1）短桿在壓力增加到約為6kN時(shí)，因木紋出現(xiàn)裂紋而破壞。（2）長(zhǎng)桿在壓力增加到約4kN時(shí)突然彎向一側(cè)，繼續(xù)增大壓力，彎曲迅速增大，桿隨即折斷。30mm1mFFFF壓桿的破壞實(shí)驗(yàn)結(jié)果：第八節(jié)壓桿穩(wěn)定短壓桿的破壞屬于強(qiáng)度問(wèn)題；30mm1mFFFF長(zhǎng)壓桿的破壞則屬于能否保持其原來(lái)的直線平衡狀態(tài)的問(wèn)題結(jié)論：

短壓桿與長(zhǎng)壓桿在壓縮時(shí)的破壞性質(zhì)完全不同第八節(jié)壓桿穩(wěn)定

壓桿穩(wěn)定性：壓桿保持其原來(lái)直線平衡狀態(tài)的能力。壓桿不能保持其原來(lái)直線平衡狀態(tài)而突然變彎的現(xiàn)象，稱為壓桿的直線平衡狀態(tài)喪失了穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱為壓桿失穩(wěn)。第八節(jié)壓桿穩(wěn)定構(gòu)件的承載能力①?gòu)?qiáng)度②剛度③穩(wěn)定性

工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度,卻不一定能安全可靠地工作.案例120世紀(jì)初，享有盛譽(yù)的美國(guó)橋梁學(xué)家?guī)彀兀═heodoreCooper）在圣勞倫斯河上建造魁比克大橋(QuebecBridge)1907年8月29日，發(fā)生穩(wěn)定性破壞，85位工人死亡，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一.失穩(wěn)破壞案例

(Buckingexamples)第八節(jié)壓桿穩(wěn)定案例21995年6月29日下午，韓國(guó)漢城三豐百貨大樓，由于盲目擴(kuò)建，加層，致使大樓四五層立柱不堪重負(fù)而產(chǎn)生失穩(wěn)破壞使大樓倒塌，死502人，傷930人，失蹤113人.第八節(jié)壓桿穩(wěn)定案例32000年10月25日上午10時(shí)南京電視臺(tái)演播中心由于腳手架失穩(wěn)造成屋頂模板倒塌，死6人，傷34人.研究壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題尤為重要第八節(jié)壓桿穩(wěn)定1、平衡狀態(tài)的類型穩(wěn)定平衡：

干擾平衡的外力消失后，物體能自動(dòng)恢復(fù)到原來(lái)的平衡位置的平衡不穩(wěn)定平衡：

即使干擾平衡的外力消失后，物體仍繼續(xù)向遠(yuǎn)離原來(lái)平衡位置的方向繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的平衡。隨遇平衡：

干擾平衡的外力消失后，物體可在任意位置繼續(xù)保持平衡。顯然，隨遇平衡是界于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡之間的狀態(tài)，稱為臨界平衡狀態(tài)。第八節(jié)壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定的基本概念2.彈性壓桿的穩(wěn)定性(StabilityofEquilibriumappliestoelasticcompressivemembers)—穩(wěn)定平衡狀態(tài)

—臨界平衡狀態(tài)

—不穩(wěn)定平衡狀態(tài)

關(guān)鍵確定壓桿的臨界力

Fcr穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡臨界狀態(tài)臨界壓力:Fcr過(guò)度對(duì)應(yīng)的壓力第八節(jié)壓桿穩(wěn)定8-2細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力臨界力的影響因素

臨界力Fcr的大小反映了壓桿失穩(wěn)的難易，而壓桿失穩(wěn)就是直桿變彎，發(fā)生彎曲變形，因此臨界力的大小與影響直桿彎曲變形的因素有關(guān)：桿的長(zhǎng)度ll越大抵抗變形的能力越小容易失穩(wěn)Fcr越小抗彎剛度EIEI越大抵抗變形的能力越強(qiáng)不易失穩(wěn)Fcr越大桿端支承越牢固越不容易發(fā)生彎曲變形不易失穩(wěn)Fcr越大第八節(jié)壓桿穩(wěn)定兩端鉸支一端固定，另一端鉸支兩端固定一端固定，另一端自由表3-3

各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式

支承情況臨界力的歐拉公式長(zhǎng)度因數(shù)

=1

=0.7

=0.5

=2歐拉公式的統(tǒng)一形式(GeneralEulerBucklingLoadFormula)（

為壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)）第八節(jié)壓桿穩(wěn)定討論（Discussion)為長(zhǎng)度因數(shù)

l

為相當(dāng)長(zhǎng)度（1）相當(dāng)長(zhǎng)度l

的物理意義壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線上兩拐點(diǎn)間的長(zhǎng)度就是壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度l.

l是各種支承條件下，細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線中相當(dāng)于半波正弦曲線的一段長(zhǎng)度.第八節(jié)壓桿穩(wěn)定zyx取Iy

，Iz

中小的一個(gè)計(jì)算臨界力.若桿端在各個(gè)方向的約束情況不同（如柱形鉸），應(yīng)分別計(jì)算桿在不同方向失穩(wěn)時(shí)的臨界壓力.I為其相應(yīng)中性軸的慣性矩.即分別用

Iy

，Iz

計(jì)算出兩個(gè)臨界壓力.然后取小的一個(gè)作為壓桿的臨界壓力.（2）橫截面對(duì)某一形心主慣性軸的慣性矩I若桿端在各個(gè)方向的約束情況相同（如球形鉸等），則I應(yīng)取最小的形心主慣性矩.第八節(jié)壓桿穩(wěn)定例題1已知一內(nèi)燃機(jī)、空氣壓縮機(jī)的連桿為細(xì)長(zhǎng)壓桿.截面形狀為工字鋼形，慣性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4，彈性模量E=2.1×10

5MPa.試計(jì)算臨界力Fcr