《工程彈性力學(xué)基礎(chǔ)》

彈性力學(xué)李li@課程簡介

教材《工程彈性力學(xué)基礎(chǔ)》周道祥張偉林編著合肥工業(yè)大學(xué)出版社

參考書彈性力學(xué)復(fù)習(xí)及解題指導(dǎo)王俊民同濟(jì)大學(xué)出版社彈性力學(xué)徐芝綸高等教育出版社彈性力學(xué)楊桂通高等教育出版社工程彈性力學(xué)趙學(xué)仁北京理工大學(xué)出版社工程彈性力學(xué)黃炎清華大學(xué)出版社鐵木辛柯（Timoshenko）彈性理論科學(xué)出版社

CarlosA.Felippa.Introductiontofiniteelementmethods.Colorado,2004課程計劃與成績評定第一章緒論第二章平面問題的基本理論第三章用直角坐標(biāo)解平面問題第四章用極坐標(biāo)解平面問題第五章有限單元法解平面問題考核方式：平時成績（30%）+期末考試（70%）第一章緒論

研究對象和任務(wù)基本假設(shè)基本概念發(fā)展歷史

§1.1

彈性力學(xué)的內(nèi)容

§1.2

彈性力學(xué)的基本假設(shè)

§1.3

彈性力學(xué)的基本概念

§1.4

彈性力學(xué)的發(fā)展和主要解法目錄彈性力學(xué)，是變形體力學(xué)的一個重要組成部分。

基本任務(wù)—研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力、形變和位移及其分布情況等?！?.1

彈性力學(xué)的內(nèi)容材料力學(xué)─研究桿件（如梁、柱和軸）的拉壓、彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)和組合變形等問題。

彈性力學(xué)─研究各種形狀的彈性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結(jié)構(gòu)等問題。

結(jié)構(gòu)力學(xué)─在材料力學(xué)基礎(chǔ)上研究桿系結(jié)構(gòu)

（如桁架、剛架等）。

課程

研究對象

研究任務(wù)

材料力學(xué)

桿狀構(gòu)件分析彈性構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和位移，校核強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性

結(jié)構(gòu)力學(xué)桿系，即：桿狀構(gòu)件組成的結(jié)構(gòu)

彈性力學(xué)一般性構(gòu)件（桿、板、殼、塊體）及結(jié)構(gòu)三種力學(xué)體系的對比研究采用的假設(shè)彈力：物理問題－基本假設(shè)－力學(xué)模型－數(shù)學(xué)模型－解答。精確分析和精確結(jié)果材力：基本假設(shè)+附加簡化假設(shè)－例如平截面假設(shè)、剪力分布假設(shè)等。結(jié)構(gòu)力學(xué)：附加簡化假設(shè)－例如分層法忽略各層框架相互影響假設(shè)不同－求解難度不同；結(jié)果的復(fù)雜程度也不同

工程應(yīng)用(設(shè)計)和理論研究的思維方式不同最后的數(shù)學(xué)問題彈力：三維數(shù)學(xué)問題，綜合分析的是偏微分方程邊值問題。材力：一維數(shù)學(xué)問題，求解的基本方程是常微分方程。研究方法彈力:從微分單元體入手,僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分析，放棄了材力中的大部分附加假定。材力：借助于直觀和實驗現(xiàn)象作一些假定，如平面假設(shè)等，然后由靜力學(xué)、幾何關(guān)系、物理方程三方面進(jìn)行分析。結(jié)果不同：彈性力學(xué)求解微分方程得出較精確的解答；材料力學(xué)建立的是近似理論，得到的是近似的解答；例1：分析深度和跨度相同的直梁在橫向荷載作用下的彎曲。彈性力學(xué)與材料力學(xué)比較按材料力學(xué)，應(yīng)用平面截面假設(shè)，得出橫截面上的正應(yīng)力（彎應(yīng)力）,按直線分布（M(y-3h)/I）；彈性力學(xué)分析的結(jié)果并不是按直線分布，而是按曲線變化的。彈性力學(xué)與材料力學(xué)比較因此，材料力學(xué)給出的最大正應(yīng)力誤差很大例2：分析有孔拉伸構(gòu)件凈截面上的拉應(yīng)力分布。彈性力學(xué)與材料力學(xué)比較按材料力學(xué)，通常假定拉應(yīng)力在凈截面上均勻分布；彈性力學(xué)分析的結(jié)果，遠(yuǎn)不是均勻分布，而是在孔的附近發(fā)生高度的應(yīng)力集中，孔邊的最大拉應(yīng)力會比平均拉應(yīng)力大出幾倍。彈性力學(xué)與材料力學(xué)比較應(yīng)用于非桿件工程結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析；現(xiàn)代大型工程結(jié)構(gòu)中安全性和經(jīng)濟(jì)性評價與分析；彈性力學(xué)在機(jī)械、水利、土木、航空等工程學(xué)科中占有重要地位；彈性力學(xué)的工程應(yīng)用領(lǐng)域建筑工程水利工程航空航天工程船舶機(jī)械工程桿、板、塊體組合結(jié)構(gòu)

§1.1

彈性力學(xué)的內(nèi)容

§1.2

彈性力學(xué)的基本假設(shè)

§1.3

彈性力學(xué)的基本概念

§1.4

彈性力學(xué)的發(fā)展和主要解法目錄基本假設(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究。彈性力學(xué)基本假設(shè)為什么要提出基本假定？

任何學(xué)科的研究，都要略去影響很小的次要因素，抓住主要因素建立計算模型歸納為學(xué)科的基本假定。1.2

彈性力學(xué)的基本假設(shè)連續(xù)性假設(shè)均勻性假設(shè)各向同性假設(shè)完全彈性假設(shè)小變形假設(shè)無初始應(yīng)力的假設(shè)1.

連續(xù)性假設(shè)

——假設(shè)所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個質(zhì)點之間不存在任何空隙?！冃魏笕匀槐３诌B續(xù)性。根據(jù)這一假設(shè)，物體所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均為物體空間的連續(xù)函數(shù)。微觀上這個假設(shè)不成立——宏觀假設(shè)。2.

均勻性假設(shè)

——假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的?！矬w的彈性性質(zhì)處處都是相同的。物體各個部分的物理性質(zhì)不隨坐標(biāo)位置的變化而改變。工程材料，例如混凝土顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，可以視為均勻材料。3.各向同性假設(shè)

——假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標(biāo)方向的改變而變化。——宏觀假設(shè)，材料性能各向同性。當(dāng)然，像木材，竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料?！@些材料的研究屬于復(fù)合材料力學(xué)研究的對象。材料力學(xué)性能參數(shù)由36個減少為2個。4.完全彈性假設(shè)

——對應(yīng)一定的溫度，如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，而且這個關(guān)系和時間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，稱為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學(xué)研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。研究對象的材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變。消除時間因素對變形體的影響?！僭O(shè)物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內(nèi)部沒有應(yīng)力。彈性力學(xué)求解的應(yīng)力僅僅是外部作用（外力或溫度改變）產(chǎn)生的。5.

無初始應(yīng)力假設(shè)

6.

小變形假設(shè)

——假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量?！趶椥泽w的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化?！雎晕灰啤?yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。彈性力學(xué)的基本假設(shè)：連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全彈性、自然應(yīng)力狀態(tài)和小變形假設(shè)都是關(guān)于材料變形的宏觀假設(shè)。彈性力學(xué)問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用基本假設(shè)。這些基本假設(shè)被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行的。彈性力學(xué)的基本假設(shè)

§1.1

彈性力學(xué)的內(nèi)容

§1.2

彈性力學(xué)的基本假設(shè)

§1.3

彈性力學(xué)的基本概念

§1.4

彈性力學(xué)的發(fā)展和主要解法目錄X、Y、Z為體力矢量在坐標(biāo)軸上的投影單位：N/m3kN/m3——體力分布集度xyzO

F

是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；

F

的加載方式是任意的

(如：重力，磁場力、慣性力等)

X、Y、Z

的正負(fù)號由坐標(biāo)方向確定。一、外力:

其他物體對研究對象（彈性體）的作用力。1.體力：分布在物體體積內(nèi)的力，如重力、慣性力等。體力大小一般用彈性體內(nèi)單位體積所受力的大小表示，稱體力的集度。2.

面力作用于物體表面單位面積上的外力——面力分布集度（矢量）xyzO——面力矢量在坐標(biāo)軸上投影單位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)

F是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；

F的加載方式是任意的;

的正負(fù)號由坐標(biāo)方向確定。內(nèi)力

物體承受外力作用，其內(nèi)部各部分之間產(chǎn)生相互作用，即為內(nèi)力。為了顯示出這些內(nèi)力，用一截面截開物體，并取出其中一部分：其中一部分對另一部分的作用，表現(xiàn)為內(nèi)力，它們是分布在截面上分布力的合力。1.內(nèi)力包括力和力矩2.內(nèi)力同時與位置和截面有關(guān)3.彈性力學(xué)中，內(nèi)力是應(yīng)力的積分。4.內(nèi)力的計算可以采用截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計算內(nèi)力的截面暴露出來，通過平衡關(guān)系計算截面內(nèi)力F。

2、應(yīng)力應(yīng)力：內(nèi)力的集度，即單位面積上的內(nèi)力。取截面的一部分，它的面積為ΔA，為物體在該截面上ΔA點的應(yīng)力ΔFΔA平均集度為ΔF/ΔA，其極限作用于其上的內(nèi)力為ΔF，全應(yīng)力p

、正應(yīng)力σ

、切應(yīng)力τ

通常將全應(yīng)力p沿垂直于截面和平行于截面兩個方向分解為pτ正應(yīng)力σ剪（切）應(yīng)力τ與物體的變形和材料強(qiáng)度直接相關(guān)的是正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ。σyxyzoσxσz正應(yīng)力σ

圖示單元體面的法線為y,稱為y面，應(yīng)力分量垂直于單元體面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力。正應(yīng)力記為σy,沿y軸的正向為正,其下標(biāo)y表示所沿坐標(biāo)軸方向。剪（切）應(yīng)力τ

平行于單元體面的應(yīng)力稱為切應(yīng)力，用τyx

、τyz表示，其第一下標(biāo)y表示所在的平面，第二下標(biāo)x、z分別表示沿坐標(biāo)軸的方向。如圖示的τyx、τyz。xyzoτyzτyxσyxyzo（2）符號規(guī)定：正面和負(fù)面：截面外法線與坐標(biāo)軸正方向一致，則該面為正面，反之，如果截面外法線與坐標(biāo)軸負(fù)方向一致，則該面為負(fù)面。正面正面正面NNN應(yīng)力的符號：正面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸正向為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)向為負(fù)；負(fù)面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸負(fù)向為正，沿坐標(biāo)軸的正向為負(fù)。即：“＋＋”＝“＋”；“－－”＝“＋”“＋－”＝“－”；“－＋”＝“－”xyzox、y、z負(fù)面上的正的應(yīng)力分量的表示如圖所示。xyzo可見：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)，與材料力學(xué)的符號一致。正、負(fù)面上，正的應(yīng)力分量正、負(fù)面上，負(fù)的應(yīng)力分量彈性力學(xué)材料力學(xué)注意彈性力學(xué)切應(yīng)力符號和材料力學(xué)是有區(qū)別的，圖示中，彈性力學(xué)里，切應(yīng)力都為正，而材料力學(xué)中相鄰兩面的的符號是不同的。在畫應(yīng)力圓時，應(yīng)按材料力學(xué)的符號規(guī)定。應(yīng)力分量描述一點的應(yīng)力狀態(tài)，通常圍繞該點取一微小的正平行六面體，其棱邊分別平行于三個坐標(biāo)軸。各面上的應(yīng)力用沿坐標(biāo)軸的分量來表示，稱為應(yīng)力分量。

相對平面上的應(yīng)力分量在略去高階小量的意義上大小相等，方向相反。xyzo應(yīng)力不僅和點的位置有關(guān)，和截面的方位也有關(guān)，不是一般的矢量，而是二階張量。（4）切應(yīng)力互等定律即τxy＝τyx

,τyz

＝τzy,

τzx

＝τxz證明：連接六面體前后兩面中心的直線ab為矩軸，列出力矩平衡方程：同理可得：得：例：平面問題中正的應(yīng)力應(yīng)力與面力，在正面上，兩者正方向一致，在負(fù)面上，兩者正方向相反。例：應(yīng)力與面力正方向的關(guān)系彈力與材力相比，正應(yīng)力符號，相同切應(yīng)力符號，不同材力：以拉為正材力：順時針向為正例：彈力與材力中應(yīng)力符號對比已知單元體各面上的應(yīng)力分量，試在單元上標(biāo)出方向與數(shù)值。應(yīng)力的概念－舉例3.應(yīng)變1.線應(yīng)變:過該點取三個正交微分線段研究,如圖所示：(1)應(yīng)變分量沿x方向沿y方向

沿z方向線應(yīng)變符號規(guī)定伸長為正縮短為負(fù)。(與正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相對應(yīng)）

沿兩個坐標(biāo)軸正向之間的直角變小為正,變大為負(fù)。（與剪應(yīng)力正負(fù)號規(guī)定相對應(yīng)）(1)剪應(yīng)變分量角度的變化－與材料力學(xué)相同。2、剪應(yīng)變：(2)剪應(yīng)變符號規(guī)定所以應(yīng)變分量共有六個:剪應(yīng)變例：分析如圖所示微分體(PA固定)的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)。一點應(yīng)變狀態(tài)xyzOPBCA四.位移：物體內(nèi)任一點位置的移動。一般用在三個坐標(biāo)中的投影表示，符號：變形前變形后對比材料力學(xué)的位移：彈性力學(xué)位移是針對點的，不存在角位移。量綱：m或mm剛體位移：物體內(nèi)部各點位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對位置不變變形位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內(nèi)部各個點的相對位置。位移形式坐標(biāo)軸正向為正,負(fù)向為負(fù)。位移的符號規(guī)定

§1.1

彈性力學(xué)的內(nèi)容

§1.2

彈性力學(xué)的基本假設(shè)

§1.3

彈性力學(xué)的基本概念

§1.4

彈性力學(xué)的發(fā)展和主要解法目錄1、發(fā)展初期（約于1660－1820）

這一時期的研究工作主要是通過實驗方法探索物體的受力與變形之間的關(guān)系。

1678年，胡克（R.Hooke）通過實驗發(fā)現(xiàn)胡克定律；伯努利（1705年）和庫侖（1776年）研究了梁的彎曲理論。

1807年，楊通過實驗提出和測定了材料的彈性模量；

§1.4

彈性力學(xué)的發(fā)展和主要解法彈性力學(xué)的發(fā)展大致可分為四個時期：2、理論基礎(chǔ)的建立（約于1821－1855年）

這個時期建立了線性彈性力學(xué)的基本理論，并對材料性質(zhì)進(jìn)行了深入研究。

1820年，納維建立了各向同性彈性體的方程，其中只有一個參數(shù)；

1828年，柯西提出應(yīng)力、應(yīng)變概念，建立了平衡微分方程，幾何方程和廣義胡克定律?？挛鞯墓ぷ魇墙鷱椥粤W(xué)的一個起點，使得彈性力學(xué)成為一門獨立的固體力學(xué)分支學(xué)科。

3、線性理論發(fā)展時期（約于1854－1907年）這個時期主要是數(shù)學(xué)家和力學(xué)家應(yīng)用已建立的線性理論去解決工程實際問題。1856年，圣維南（A.J.Saint-Venant）建立了柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的基本理論，提出了圣維南原理；圣維南（A.J.Saint-Venant）1862年，艾里（G.B.Airy）提出了應(yīng)力函數(shù)，以求解平面問題；1882年，赫茲建立了接觸應(yīng)力理論，求解了接觸問題；赫茲（H.Hertz）1850年及以后，基爾霍夫建立了平板理論，解決了平板的平衡和振動問題；生於德國。曾在海登堡大學(xué)和柏林大學(xué)任物理學(xué)教授，他發(fā)現(xiàn)了電學(xué)中的“基爾霍夫定理”，同時也對彈性力學(xué)，特別是薄板理論的研究作出重要貢獻(xiàn)?；鶢柣舴?G.R.Kirchoff)4、彈性力學(xué)更深入的發(fā)展時期（1907年至今）

1907年后，非線性彈性力學(xué)迅速發(fā)展。1907年，卡門提出了薄板的大撓度問題；卡門和錢學(xué)森提出了薄殼的非線性穩(wěn)定問題；力學(xué)工作者提出了大應(yīng)變問題、非線性材料問題（塑性力學(xué)等）。1933年，穆斯海里什維利發(fā)展了應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論求解彈性力學(xué)問題的方法等。另一個重要理論成果是建立能量原理；提出一系列基于能量原理的近似計算方法。許多科學(xué)家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，樂甫(A.E.H.Love)，鐵木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了貢獻(xiàn)。中國科學(xué)家錢偉長、錢學(xué)森、徐芝倫、胡海昌等在彈性力學(xué)的發(fā)展，特別是在中國的推廣應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn)。錢偉長錢學(xué)森胡海昌徐芝綸楊桂通彈性力學(xué)的研究方法根據(jù)已知彈性體的邊界形狀、彈性常數(shù)、物體所受的體力，以及邊界上的面力和約束，來求解彈性體內(nèi)的應(yīng)力、形變和位移的未知函數(shù)。彈性力學(xué)問題究竟是如何求解的呢？物體的形狀、尺寸、體力、面力、約束情況、材料的物理常數(shù)。應(yīng)力、應(yīng)變、位移共15個函數(shù)。已知量和待求量(1)已知量(2)待求量1、解析法：根據(jù)靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)等條件，建立區(qū)域內(nèi)的微分方程和邊界條件，用數(shù)學(xué)分析方法求解微分方程的邊值問題，得出的解答是精確的函數(shù)解；2、變分法（能量法）：根據(jù)變形體的能量極值原理，導(dǎo)出彈性力學(xué)的變分方程，并進(jìn)行求解。所得解大多是近似的。3、差分法：將導(dǎo)出的微分方程及邊界條件化為差分方程（代數(shù)方程）進(jìn)行求解，是微分方程的近似數(shù)值解法。彈性