第七章應(yīng)力應(yīng)變分析

第七章應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度理論工程力學(xué)第七章應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度理論

§7-1

應(yīng)力狀態(tài)的概念

§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析§7-3空間應(yīng)力狀態(tài)分析

§7-4

強(qiáng)度理論

§7-5

強(qiáng)度理論

§7-1

應(yīng)力狀態(tài)的概念

一、應(yīng)力狀態(tài)的概念1、低碳鋼和鑄鐵的拉伸實(shí)驗(yàn)2、低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)低碳鋼?塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？鑄鐵

低碳鋼和鑄鐵的拉伸?為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)沿45o螺旋面斷開？低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)低碳鋼鑄鐵

(1)

拉中有剪，剪中有拉;(2)不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力;

(3)同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同;(4)同一點(diǎn)不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同3、重要結(jié)論（Importantconclusions)哪一點(diǎn)？

哪個(gè)方向面？應(yīng)力哪一個(gè)面上？

哪一點(diǎn)？4、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的情況，稱之為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，亦指該點(diǎn)的應(yīng)力全貌.二、應(yīng)力狀態(tài)的研究方法

1、單元體任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力相等2、單元體特征3、主單元體各面上切應(yīng)力均為零的單元體單元體的尺寸無(wú)限小，每個(gè)面上應(yīng)力均勻分布3122314、主平面

切應(yīng)力為零的截面5、主應(yīng)力

主平面上的正應(yīng)力

說(shuō)明:一點(diǎn)處必定存在這樣的一個(gè)單元體,

三個(gè)相互垂直的面均為主平面,三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力分別記為1,2,3且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來(lái)排列,即123

三、應(yīng)力狀態(tài)的分類1、空間應(yīng)力狀態(tài)

三個(gè)主應(yīng)力1、2、3均不等于零2、平面應(yīng)力狀態(tài)

三個(gè)主應(yīng)力1、2、3中有兩個(gè)不等于零3、單向應(yīng)力狀態(tài)

三個(gè)主應(yīng)力1、2、3中只有一個(gè)不等于零312231221111例題

1畫出如圖所示梁S截面的應(yīng)力狀態(tài)單元體.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面S平面254321543211x1x1x2x222333xzyalSF例題

2畫出如圖所示梁S截面的應(yīng)力狀態(tài)單元體

xzy4321zy4321FSMZT12yxzzy4321FSMZTxzy43213平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示.單元體上有x,xy

和y,yx§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法xxyzyxyyxxyxyyx一、斜截面上的應(yīng)力(Stressesonanobliquesection)1、截面法(Sectionmethod)

假想地沿斜截面ef

將單元體截開,留下左邊部分的單體元eaf

作為研究對(duì)象xyaxxyxxyefnefaxxyyxyαααnαxyaxxyxxyefn(1)由x軸轉(zhuǎn)到外法線n，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)則為正（2)正應(yīng)力仍規(guī)定拉應(yīng)力為正（3)切應(yīng)力對(duì)單元體內(nèi)任一點(diǎn)取矩，順時(shí)針轉(zhuǎn)為正2、符號(hào)的確定efaxxyyxyαααnα設(shè)斜截面的面積為dA,ae的面積為dAcos,af

的面積為dAsinefaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcos

3、任意斜截面上的應(yīng)力(Thestressactingonanyinclinedplane)

對(duì)研究對(duì)象列n和t方向的平衡方程得化簡(jiǎn)以上兩個(gè)平衡方程最后得不難看出即兩相互垂直面上的正應(yīng)力之和保持一個(gè)常數(shù)二、極值正應(yīng)力及方位1、極值正應(yīng)力的方位令0和0+90°確定兩個(gè)互相垂直的平面，一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面.2、極值正應(yīng)力將0和

0+90°代入公式得到max

和min

(主應(yīng)力）下面還必須進(jìn)一步判斷0是x與哪一個(gè)主應(yīng)力間的夾角(1)當(dāng)x>y時(shí)，0

是x與max之間的夾角

(2)當(dāng)x<y

時(shí)，0

是x與min之間的夾角(3)當(dāng)x=y

時(shí)

，0

=45°，主應(yīng)力的方向可由單元體上切應(yīng)力情況直觀判斷出來(lái)則確定主應(yīng)力方向的具體規(guī)則如下若約定|0|<45°即0

取值在±45°范圍內(nèi)三、極值切應(yīng)力及方位1、極值切應(yīng)力的方位令1和1+90°確定兩個(gè)互相垂直的平面，一個(gè)是最大切應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小切應(yīng)力所在的平面.2、極值切應(yīng)力將1和

1+90°代入公式得到max和min

比較和可見(jiàn)例題3簡(jiǎn)支梁如圖所示.已知mm

截面上A點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為

=-70MPa，=50MPa.確定A點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面的方位.AmmalA解：把從A點(diǎn)處截取的單元體放大如圖因?yàn)閤

<y

，所以0=27.5°與min

對(duì)應(yīng)xAA27.5o1313xyxy例題4

圖示單元體，已知x

=-40MPa，y

=60MPa，xy=-50MPa.試求ef

截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位.n30°ef(1)求

ef

截面上的應(yīng)力(2)求主應(yīng)力和主單元體的方位x

=-40MPa

y

=60MPa

xy

=-50MPa=-30°因?yàn)閤

<y

，所以0=-22.5°與min對(duì)應(yīng)xyxy22.5°13解（1）求主平面方位因?yàn)閤

=y

，且xy>0例題5求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位.xy所以0=-45°與max對(duì)應(yīng)45°（2）求主應(yīng)力1=，2=0，3=-13

§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法

一、莫爾圓將斜截面應(yīng)力計(jì)算公式改寫為把上面兩式等號(hào)兩邊平方，然后相加便可消去，得因?yàn)閤，y，xy

皆為已知量，所以上式是一個(gè)以，為變量的圓周方程。當(dāng)斜截面隨方位角變化時(shí),其上的應(yīng)力

，在-直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個(gè)圓

.1、圓心的坐標(biāo)2、圓的半徑此圓習(xí)慣上稱為應(yīng)力圓,或稱為莫爾圓(1)建-坐標(biāo)系,選定比例尺o二、應(yīng)力圓作法1、步驟xyxxyxxyyyDxyo(2)量取OA=xAD

=xy得D

點(diǎn)xyxxyxxyxAOB=y(3)量取BD′=yx得

D′

點(diǎn)yByxD′(4)連接DD′兩點(diǎn)的直線與軸相交于C

點(diǎn)(5)以C為圓心,CD

為半徑作圓,該圓就是相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓C(1)該圓的圓心C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為(2)該圓半徑為DxyoxAyByxD′C2、證明三、應(yīng)力圓的應(yīng)用1、求單元體上任一截面上的應(yīng)力從應(yīng)力圓的半徑CD按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2

得到半徑CE.圓周上E

點(diǎn)的坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。DxyoxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn證明點(diǎn)面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：?jiǎn)卧w某一面上的應(yīng)力，必對(duì)應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)。說(shuō)明AB夾角關(guān)系：圓周上任意兩點(diǎn)所引半徑的夾角等于單元體上對(duì)應(yīng)兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。2OCBA2、求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置

(1)主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1和B1兩點(diǎn)為與主平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為主應(yīng)力1，212DxyoxAyByxD′C20FE2B1A120DxyoxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位由CD順時(shí)針轉(zhuǎn)20到CA1所以單元體上從

x

軸順時(shí)針轉(zhuǎn)0（負(fù)值）即到1對(duì)應(yīng)的主平面的外法線0確定后，1對(duì)應(yīng)的主平面方位即確定3、求極值切應(yīng)力G1和G2兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別代表最大和最小切應(yīng)力20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2因?yàn)樽畲笞钚∏袘?yīng)力等于應(yīng)力圓的半徑o例題6從水壩體內(nèi)某點(diǎn)處取出的單元體如圖所示,x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,(1)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓(2)確定此單元體在

=30°和

=-40°兩斜面上的應(yīng)力。xyxy解:(1)畫應(yīng)力圓量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2,定出D點(diǎn);ACBOB

=y=-0.4和，BD′

=yx=0.2,定出D′點(diǎn).(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓。將半徑CD

逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)2=60°到半徑CE,E

點(diǎn)的坐標(biāo)就代表

=30°斜截面上的應(yīng)力。(2)確定=30°斜截面上的應(yīng)力E60°(3)確定

=-40°斜截面上的應(yīng)力將半徑

CD順時(shí)針轉(zhuǎn)2=80°到半徑CF,F

點(diǎn)的坐標(biāo)就代表

=-40°斜截面上的應(yīng)力。F80°AD′CBoD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa-40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa例題7兩端簡(jiǎn)支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試?yán)L出截面c上a,b

兩點(diǎn)處的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求出這兩點(diǎn)處的主應(yīng)力。12015152709zab250KN1.6m2mABC+200kN50kN+80kN.m解:(1)首先計(jì)算支反力,并作出梁的剪力圖和彎矩圖Mmax

=MC=80kN?mFSmax

=FC左

=200kN250KN1.6m2mABC12015152709zab(2)橫截面C上a點(diǎn)的應(yīng)力為a點(diǎn)的單元體如圖所示axxxyyx由x，xy

定出D

點(diǎn)由y，yx

定出D′

點(diǎn)以DD′為直徑作應(yīng)力圓OC(3)做應(yīng)力圓

x=122.5MPa，xy

=64.6MPa

y=0，yx

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1，A2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表a

點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力

1和

3A1點(diǎn)對(duì)應(yīng)于單元體上1

所在的主平面

axxxyyx01312015152709zab(4)橫截面C上b點(diǎn)的應(yīng)力b點(diǎn)的單元體如圖所示bxxb點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為1所在的主平面就是x

平面,

即梁的橫截面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′1已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力1、2、3利用應(yīng)力圓確定該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。一、空間應(yīng)力狀態(tài)下的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力§7-3

空間應(yīng)力狀態(tài)分析31223113首先研究與其中一個(gè)主平面(例如主應(yīng)力3所在的平面)垂直的斜截面上的應(yīng)力122用截面法，沿求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對(duì)象21主應(yīng)力3所在的兩平面上是一對(duì)自相平衡的力，因而該斜面上的應(yīng)力,

與3無(wú)關(guān),只由主應(yīng)力

1,2

決定與3垂直的斜截面上的應(yīng)力可由

1,2作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來(lái)表示123321該應(yīng)力圓上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于與3垂直的所有斜截面上的應(yīng)力

A1O2B與主應(yīng)力2所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力,

可用由1,3作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來(lái)表示C3與主應(yīng)力１所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力,

可用由2,3作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來(lái)表示A1O2BC3結(jié)論三個(gè)應(yīng)力圓圓周上的點(diǎn)及由它們圍成的陰影部分上的點(diǎn)的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力(指代數(shù)值)應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點(diǎn)的橫坐標(biāo)1A1O2BC3最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓的半徑最大切應(yīng)力所在的截面與2所在的主平面垂直，并與1和3所在的主平面成450角。二、各向同性材料的廣義胡克定律（1）正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正,壓應(yīng)力為負(fù)1、符號(hào)規(guī)定（2）切應(yīng)力：對(duì)單元體內(nèi)任一點(diǎn)取矩,若產(chǎn)生的矩為順時(shí)針，則τ為正；反之為負(fù)（3）線應(yīng)變：以伸長(zhǎng)為正,縮短為負(fù)；（4）切應(yīng)變：使直角減小為正,增大為負(fù).xxyzyxyyxz22

x方向的線應(yīng)變用疊加原理，分別計(jì)算出

1

,2,3分別單獨(dú)存在時(shí),x，y，z方向的線應(yīng)變1

,2，

3，然后代數(shù)相加.2、各向同性材料的廣義胡克定律單獨(dú)存在時(shí)單獨(dú)存在時(shí)

單獨(dú)存在時(shí)xyyz3311在1

、2

、

3同時(shí)存在時(shí),x

方向的線應(yīng)變1為同理，在1

、2

、3同時(shí)存在時(shí),y,z

方向的線應(yīng)變?yōu)樯鲜椒Q為廣義胡克定律

——沿x、y、z軸的線應(yīng)變

例題11一直徑d=20mm的實(shí)心圓軸，在軸的的兩端加扭矩

m=126N·m.在軸的表面上某一點(diǎn)A處用變形儀測(cè)出與軸線成

-45°方向的應(yīng)變

=5.010-4,試求此圓軸材料的剪切彈性模量G.mmA45°x解：圍繞A點(diǎn)取一單元體A13xyyx

-45°Abhzb=50mmh=100mm例題9已知矩形外伸梁受力F1，F(xiàn)2作用.彈性模量E=200GPa，泊松比=0.3,F1=100KN，F(xiàn)2=100KN。求：（1）A點(diǎn)處的主應(yīng)變1，

2，3（2）A點(diǎn)處的線應(yīng)變x，

y，zaAF1F2F2l解：梁為拉伸與彎曲的組合變形.A點(diǎn)有拉伸引起的正應(yīng)力和彎曲引起的切應(yīng)力.（拉伸）（負(fù)）Ax=20xy

=30（1）A點(diǎn)處的主應(yīng)變1，

2，3（2）A點(diǎn)處的線應(yīng)變x，

y，z§7-4

材料的破壞形式一、材料破壞的基本形式1、屈服2、斷裂——在構(gòu)件上出現(xiàn)了一定量的塑性變形——在外力作用下，構(gòu)件由于應(yīng)力過(guò)大而產(chǎn)生裂縫并導(dǎo)致斷裂如：低、中碳鋼，鋁、銅等塑性材料如：鑄鐵、高碳鋼等脆性材料1、三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)2、三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)二、應(yīng)力狀態(tài)對(duì)材料破壞形式的影響——塑性材料也發(fā)生脆性斷裂——脆性材料表現(xiàn)出較大的塑性變形一、強(qiáng)度理論的概念

1、引言§7-5

強(qiáng)度理論軸向拉、壓彎曲剪切扭轉(zhuǎn)彎曲

切應(yīng)力強(qiáng)度條件

正應(yīng)力強(qiáng)度條件

(2)材料的許用應(yīng)力，是通過(guò)拉(壓)試驗(yàn)或純剪試驗(yàn)測(cè)定試件在破壞時(shí)其橫截面上的極限應(yīng)力,以此極限應(yīng)力作為強(qiáng)度指標(biāo),除以適當(dāng)?shù)陌踩禂?shù)而得，即根據(jù)相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果建立的強(qiáng)度條件.上述強(qiáng)度條件具有如下特點(diǎn)(1)危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài)；2、強(qiáng)度理論的概念

是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強(qiáng)度失效起因”的假說(shuō).基本觀點(diǎn)

構(gòu)件受外力作用而發(fā)生破壞時(shí)，不論破壞的表面現(xiàn)象如何復(fù)雜，其破壞形式總不外乎幾種類型，而同一類型的破壞則可能是某一個(gè)共同因素所引起的.根據(jù)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞時(shí)的一些現(xiàn)象與形式,進(jìn)行分析,提出破壞原因的假說(shuō).在這些假說(shuō)的基礎(chǔ)上,可利用材料在單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的試驗(yàn)結(jié)果,來(lái)建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件.引起破壞的某一共同因素形狀改變比能最大切應(yīng)力最大線應(yīng)變最大正應(yīng)力二、四個(gè)強(qiáng)度理論

第一類強(qiáng)度理論

—以脆斷作為破壞的標(biāo)志包括：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論第二類強(qiáng)度理論—以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標(biāo)志包括：最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論根據(jù)：當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過(guò)大時(shí)，其危險(xiǎn)點(diǎn)處的材料

就會(huì)沿最大拉應(yīng)力所在截面發(fā)生脆斷破壞.

1、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）

基本假說(shuō)：最大拉應(yīng)力1是引起材料脆斷破壞的因素.脆斷破壞的條件：

1=b強(qiáng)度條件:1[2、最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論)

根據(jù)：當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過(guò)大時(shí)，其危險(xiǎn)點(diǎn)處的材料就會(huì)沿垂直于最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變方向的平面發(fā)生破壞.基本假說(shuō)：最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變1是引起材料脆斷破壞的因素.脆斷破壞的條件最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變強(qiáng)度條件

3、最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)

基本假說(shuō):最大切應(yīng)力max是引起材料屈服的因素.根據(jù)：當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過(guò)大時(shí)，其危險(xiǎn)點(diǎn)處的材料就會(huì)沿最大切應(yīng)力所在截面滑移而發(fā)生屈服失效.屈服條件

在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力為強(qiáng)度條件

4、畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）基本假說(shuō)：畸變能密度

vd是引起材料屈服的因素.單向拉伸下，1=

s，

2=

3=0，材料的極限值

強(qiáng)度條件屈服條件三、相當(dāng)應(yīng)力把各種強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件寫成統(tǒng)一形式r

稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的相當(dāng)應(yīng)力.1、適用范圍(2)塑性材料選用第三或第四強(qiáng)度理論；(3)在二向和三向等拉應(yīng)力時(shí)，無(wú)論是塑性還是脆性都發(fā)生脆性破壞，故選用第一或第二強(qiáng)度理論；四、各種強(qiáng)度理論的適用范圍及其應(yīng)用(1)一般脆性材料選用第一或第二強(qiáng)度理論；(4)在二向和三向等壓應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，無(wú)論是塑性還是脆性材料都發(fā)生塑性破壞，故選用第三或第四強(qiáng)度理論.2、強(qiáng)度計(jì)算的步驟(1)外力分析：確定所需的外力值；(2)內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險(xiǎn)面；(3)應(yīng)力分析：畫危面應(yīng)力分布圖，確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫出單元體，求主