第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論06

第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論§7-1概述§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析·主應(yīng)力§7-3空間應(yīng)力狀態(tài)的概念§7-4應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系§7-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度§7-6強度理論及其相當(dāng)應(yīng)力§7-8各種強度理論的應(yīng)用一、一點的應(yīng)力狀態(tài)

1.一點的應(yīng)力狀態(tài)：通過受力構(gòu)件一點處各個不同截面上的應(yīng)力情況。

2.研究應(yīng)力狀態(tài)的目的：找出該點的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構(gòu)件破壞原因并進(jìn)行失效分析。§7-1概述二、研究應(yīng)力狀態(tài)的方法—單元體法

1.單元體：圍繞構(gòu)件內(nèi)一所截取的微小正六面體。單元體性質(zhì)—①平行面上，應(yīng)力相等。

②平行面上，應(yīng)力均布；xOzydzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz①材料單元體上相對坐標(biāo)面上的應(yīng)力大小相等、方向相反。②材料單元體上任意方向面上的應(yīng)力視作均勻分布。txz（1）應(yīng)力分量的角標(biāo)規(guī)定：第一角標(biāo)表示應(yīng)力作用面，第二角標(biāo)表示應(yīng)力平行的軸，兩角標(biāo)相同時，只用一個角標(biāo)表示。（2）面的方位用其法線方向表示3.截取原始單元體的方法、原則①用三個坐標(biāo)軸(笛卡爾坐標(biāo)和極坐標(biāo)，依問題和構(gòu)件形狀而定)在一點截取，因其微小，統(tǒng)一看成微小正六面體②單元體各個面上的應(yīng)力已知或可求；③幾種受力情況下截取單元體方法：2.單元體上的應(yīng)力分量PMeMePPMeMe彎曲Ctss扭轉(zhuǎn)B軸向拉伸與壓縮As=P/Ast=Me/WnABCBCAPCABtBtCsCsCsAsA三、應(yīng)力狀態(tài)的分類主平面：單元體上切應(yīng)力為零的面；主單元體：各面均為主平面的單元體，單元體上有三對主平面；主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力．（1）單向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力中只有一個不為零（2）平面應(yīng)力狀態(tài)：若三個主應(yīng)力中有兩個不為零（3）空間應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力都不等于零

1.主平面和主應(yīng)力2.應(yīng)力狀態(tài)的分類平面應(yīng)力狀態(tài)和空間應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。規(guī)定：主應(yīng)力采用符號：一、斜截面上的應(yīng)力§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析·主應(yīng)力

sytyxtxysxsxsxtxysysysxtyxsxtxysysysxtyxABxyantasαtαsxtxytyxsyxdAsxsytxytyx

得

符號規(guī)定：a角—以x軸正向為起線，逆時針旋轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)s—拉為正，壓為負(fù)t—使微元產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動趨勢者為正，反之為負(fù)２.主應(yīng)力及其方位：

①由主平面定義，令tα

=0，得：

可求出兩個相差90o的a0值，對應(yīng)兩個互相垂直主平面。②令得：即主平面上的正應(yīng)力取得所有方向上的極值。一個面上為極大值，另一個面上為極小值。

③主應(yīng)力大小：④由s'、s"、0按代數(shù)值大小排序得出：s1≥s2≥s3

⑤判斷s'、s"作用方位(與兩個a0如何對應(yīng))

txy箭頭指向第幾象限(一、四)，則s'(較大主應(yīng)力)在第幾象限，即先判斷s'大致方位，再判斷其與算得的a0相對應(yīng)，還是與a0+90o相對應(yīng)。

⑥txys's"a0*txys"s'a0*4.極值切應(yīng)力：

①令：，可求出兩個相差90o

的

a1，代表兩個相互垂直的極值切應(yīng)力方位。②極值切應(yīng)力：③(極值切應(yīng)力平面與主平面成45o)例圖示懸臂梁上A點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。①求單元體上指定截面上的應(yīng)力；②求A點主平面和主應(yīng)力(用主單元體表示)。解：①求指定截面應(yīng)力②求主應(yīng)力=角度確定了，大靠大，小靠小。例

分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：1.確定危險點并畫其原始單元體2.求極值應(yīng)力txyCtyxTCxyOtxytyx3.破壞分析低碳鋼鑄鐵1.應(yīng)力圓方程(1)(2)整理可得：(3)圓心坐標(biāo)：半徑：二、應(yīng)力圓sxsxtxytyxtxytyxsysyOstxynaC2a0A1s'B1s"2a(sa,ta)EG1t'G2t"

D'(sy,tyx)BAD(sx,txy)sata２.應(yīng)力圓的繪制：②取x面，定出D()點；取y面，定出D‘()點；③連DD'交s軸于C點，以C為圓心，DD1為直徑作圓；①定坐標(biāo)及比例尺；

3.應(yīng)力圓的應(yīng)用①點面對應(yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上一點坐標(biāo)代表單元體某個面上的應(yīng)力；②角度對應(yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過2a，單元體上坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)過a;③旋向?qū)?yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上半徑的旋向與單元體坐標(biāo)軸旋向相同；④求外法線與x軸夾角為a斜截面上的應(yīng)力，只要以D為起點，按a轉(zhuǎn)動方向同向轉(zhuǎn)過2a到E點，E點坐標(biāo)即為所求應(yīng)力值。⑤用應(yīng)力圓確定主平面、主應(yīng)力：由主平面上切應(yīng)力t=0，確定D轉(zhuǎn)過的角度；D轉(zhuǎn)至s軸正向A1點代表s‘所在主平面，其轉(zhuǎn)過角度為2，轉(zhuǎn)至s軸負(fù)向B1點代表s"所在主平面；⑥確定極值切應(yīng)力應(yīng)力及其作用面：應(yīng)力圓上縱軸坐標(biāo)最大的G1點為t’，縱軸坐標(biāo)最小的G2點為t”，作用面確定方法同主應(yīng)力。例用應(yīng)力圓法。求：1)a=30o斜截面上的應(yīng)力；2)主應(yīng)力及其方位；3)極值切應(yīng)力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020單位：MPaxasata40.3-40.3

例幾種特殊應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓。45單向拉伸ABDxDyC0DxDy單向壓縮0–0max=0DxDy純剪切0D1D20045min=01.概念123九個應(yīng)力分量六個獨立主單元體§7-3空間應(yīng)力狀態(tài)的概念三個主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)2.空間應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓由三向應(yīng)力圓可以看出：3210§7-4應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系1.廣義胡克定律－疊加法++“1”方向應(yīng)變廣義胡克定律：同理，可求出，即有：2.廣義胡克定律的一般形式§7-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度1.有關(guān)概念：

①應(yīng)變能(變形能)：伴隨彈性體的變形而儲存在彈性體的能量。用V表示；②應(yīng)變能密度：單位體積的應(yīng)變能，用vε表示；③取主應(yīng)力狀態(tài)，假定三個主應(yīng)力按某一比例由零增加到最終值，則該單元體所儲存的應(yīng)變能為：應(yīng)變能密度：

代入虎克定律：2.體積改變能密度vv與形狀改變能密度vd1.有關(guān)概念：①單元體的變形：體積改變和形狀改變。②體積改變能密度：與體積改變相對應(yīng)的那一部分比能，用vv表示；③形狀改變能密度：與形狀改變相對應(yīng)的那一部分比能，用vd表示；④在平均應(yīng)力作用下，單元體形狀不變，體積改變。體積改變能密度：形狀改變能密度：單元體的三個主應(yīng)力之和為零，其體積不變，形狀改變。已知應(yīng)變能密度：§7-6強度理論及其相當(dāng)應(yīng)力

1.簡單應(yīng)力狀態(tài)下材料的強度條件可由實驗確定

2.對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，危險點的應(yīng)力并不取決于橫截面上的應(yīng)力，也不僅僅取決于最大應(yīng)力，而需要考慮各個方向的應(yīng)力的共同作用，不可能通過實驗得到強度條件；一、強度理論的概念材料破壞基本類型：a脆性斷裂

(材料直到破壞都無明顯塑性變形)b塑性屈服

(材料產(chǎn)生顯著的塑性變形而使構(gòu)件喪失正常的工作能力)比如軸向拉壓，其強度條件為：介紹各向同性材料在常溫、靜載條件下的四個常用的強度理論。強度理論：是關(guān)于“材料發(fā)生強度失效（failurebyloststrength）原因”的假設(shè)。通過強度理論，利用單向拉伸實驗結(jié)果建立各種應(yīng)力狀態(tài)下的失效判據(jù)和相應(yīng)的設(shè)計準(zhǔn)則。強度理論意圖：利用簡單受力情況的實驗結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件。二、四個強度理論兩類強度理論：

1.第一類強度理論（以脆性斷裂破壞為標(biāo)志）

2.第二類強度理論（以塑性屈服破壞為標(biāo)志）認(rèn)為最大拉應(yīng)力是材料引起脆性斷裂破壞的因素。即無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，發(fā)生脆性斷裂的原因是構(gòu)件內(nèi)一點處的三個主應(yīng)力中最大拉應(yīng)力s1達(dá)到材料的極限值su。2.強度條件：

1.破壞條件：（1）最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）

3.適用范圍：符合脆性材料的拉斷試驗，如鑄鐵單向拉伸和扭轉(zhuǎn)中的脆斷；但未考慮其余主應(yīng)力影響，且不能用于無拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)，如單向、三向壓縮等。（2）最大伸長線應(yīng)變理論（第二強度理論）

認(rèn)為最大伸長線應(yīng)變是材料引起脆性斷裂破壞的因素。即無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，發(fā)生脆性斷裂的原因是構(gòu)件內(nèi)一點處的單元體中的最大伸長線應(yīng)變e1達(dá)到材料的極限值eu。2.強度條件：

1.破壞條件：

3.適用范圍：考慮其余兩個主應(yīng)力，形式上更為完善。適用于壓應(yīng)力為主的情況。符合石料、混凝土等脆性材料的軸向壓縮破壞。

（3）最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）認(rèn)為最大切應(yīng)力是引起材料塑性屈服的主要因素，無論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，材料發(fā)生屈服流動的原因都是構(gòu)件內(nèi)一點處的最大切應(yīng)力tmax達(dá)到材料屈服時的的極限值tu。1.屈服條件：

2.強度條件：

3.應(yīng)用范圍：使用簡單，符合實際，偏于安全，廣泛應(yīng)用。

（4）形狀改變能密度理論（第四強度理論）

認(rèn)為形狀改變能密度是引起材料塑性屈服的主要因素。不論應(yīng)力狀態(tài)如何，材料發(fā)生屈服的原因是構(gòu)件內(nèi)一點處的形狀改變能密度vd達(dá)到材料的極限值vdu。1.屈服條件：

2.強度條件：

3.應(yīng)用范圍：對塑性材料比最大切應(yīng)力理論理符合試驗結(jié)果。

三、相當(dāng)應(yīng)力：（強度理論的統(tǒng)一形式）

其中，

r—相當(dāng)應(yīng)力。18

該理論并不簡單假設(shè)材料的破壞是由某一個因素達(dá)到了其極限值而引起的，而是以各種應(yīng)力狀態(tài)下材料的破壞實驗結(jié)果為依據(jù)，建立的帶有一定經(jīng)驗性的強度理論。一、莫爾強度理論（修正的最大切應(yīng)力理論）1.莫爾理論適用于脆性剪斷：脆性剪斷：在某些應(yīng)力狀態(tài)下，拉壓強度不等的一些材料也可能發(fā)生剪斷，例如鑄鐵的壓縮。§7–7莫爾強度理論及其相當(dāng)應(yīng)力

2.不考慮σ2的影響，每一種材料可通過一系列的試驗，作出極限應(yīng)力圓，它們的包絡(luò)線就是曲線，當(dāng)最大應(yīng)力圓恰好與包絡(luò)線相接觸時，則材料剛剛達(dá)到極限狀態(tài)；若最大應(yīng)力圓位于包絡(luò)線以內(nèi)時，則它代表的應(yīng)力狀態(tài)是安全的。

極限應(yīng)力圓：材料在破壞時的主應(yīng)力s1和s3下所作出的應(yīng)力圓(莫爾圓)。

O1拉伸拉伸純剪切壓縮st壓縮O2stOD2D1用單向拉伸和壓縮極限應(yīng)力圓作包絡(luò)線用單向拉伸、壓縮和純剪切極限應(yīng)力圓作包絡(luò)線O1[st][sc]O2D2D1s3s1O3O1PND3stO2.莫爾強度理論：①公式推導(dǎo)：

②強度準(zhǔn)則：

[st]—許用拉應(yīng)力；[sc]—許用壓應(yīng)力。如材料許用拉壓應(yīng)力相同，則莫爾強度理論與最大切應(yīng)力理論相同。冬天自來水管凍裂而管內(nèi)冰并未破裂，其原因是冰處于三向壓應(yīng)力狀態(tài)，而水管處于二向拉應(yīng)力狀態(tài)。石料在單向壓縮時會沿壓力作用方向的縱截面裂開，這與第二強度理論的論述基本一致。危險點接近于三向均勻受拉的塑性材料，應(yīng)選用第一強度理論進(jìn)行計算，因為此時材料的破壞形式為脆性斷裂?！?-8

各種強度理論的應(yīng)用各種強度理論的適用范圍：

1、不論是脆性或塑性材料，在三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，均會發(fā)生脆性斷裂，宜采用最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）。

2、脆性材料：在二軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)采用最大拉應(yīng)力理論；在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大、最小拉應(yīng)力分別為拉、壓時，由于材料的許用拉、壓應(yīng)力不等，宜采用莫爾強度理論。

3、塑性材料（除三軸拉伸外），宜采用形狀改變比能理論（第四強度理論）和最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）。

4、三軸壓縮狀態(tài)下，無論是塑性和脆性材料，均采用形狀改變比能理論。

例某結(jié)構(gòu)危險點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，其中s＝120MPa，t=60MPa。材料為鋼，許用應(yīng)力[s]=170MPa，