第六章勒讓德函數(shù)

第六章勒讓德函數(shù)第一節(jié)勒讓德方程與勒讓德多項(xiàng)式一、線(xiàn)性常微分方程的級(jí)數(shù)解法主要內(nèi)容：利用復(fù)變函數(shù)論求二階線(xiàn)性齊次常微分方程的級(jí)數(shù)解。2.方程的常點(diǎn)和奇點(diǎn)4.正則奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解二、勒讓德方程與勒讓德多項(xiàng)式2.勒讓德多項(xiàng)式勒讓德方程的一般解為：其中級(jí)數(shù)在x<1收斂，而在x=±1處發(fā)散。和但物理問(wèn)題往往要求：當(dāng)時(shí)，y(x)為有限,因此需要進(jìn)一步確定滿(mǎn)足此定解條件的解。從系數(shù)遞推公式：l為偶數(shù)：l=2n（n為正整數(shù)），則級(jí)數(shù)將到項(xiàng)為止。因?yàn)椋簁=l=2n時(shí)，均為零，即退化為多項(xiàng)式，其最高次冪為。此時(shí)若取，則得：同理，l為奇數(shù)：l=2n+1(n為正整數(shù))，則級(jí)數(shù)將到項(xiàng)為止。因?yàn)椋簁=l=2n+1時(shí)，均為零，即退化為多項(xiàng)式，其最高次冪為。此時(shí)若取，則得：這樣，無(wú)論l為偶數(shù)還是奇數(shù)，這樣選取系數(shù)后，所得的多項(xiàng)式為勒讓德方程在滿(mǎn)足定解條件下的解。3.勒讓德多項(xiàng)式的簡(jiǎn)潔形式為了與后面要引入的勒讓德母函數(shù)所得結(jié)果一致，通常取多項(xiàng)式最高次冪的系數(shù)為：由系數(shù)遞推公式低次冪項(xiàng)的系數(shù)多項(xiàng)式，記作。由令k=l?2,l?4,…,l?2s，得：由于k,l均為整數(shù)，所以其中定義為：于是得到的具體表達(dá)式：由勒讓德多項(xiàng)式還可以得到以下結(jié)果：（1）奇偶性（2）的特殊值4.勒讓德多項(xiàng)式的微分表達(dá)式——羅德里格斯公式勒讓德多項(xiàng)式的另一種表示——微分表示——羅德里格斯公式證明：由二項(xiàng)式展開(kāi)定理得：所以：注意到：凡是指數(shù)(2l-2s)<l的項(xiàng)經(jīng)l次求導(dǎo)后為0，故只剩下2l?2s≥l的項(xiàng)，即2s≤l，于是得：因此有5.勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)、勒讓德多項(xiàng)式的積分表達(dá)式——施列夫利公式(1)定義：若函數(shù)w(x,t)的泰勒級(jí)數(shù)為t：復(fù)變數(shù)則稱(chēng)w(x,t)為的母函數(shù)（或生成函數(shù)）。C’：u平面的曲線(xiàn)，是t平面曲線(xiàn)C的像勒讓德多項(xiàng)式的積分表達(dá)式——(1)施列夫利公式勒讓德多項(xiàng)式的積分表達(dá)式——(2)拉普拉斯積分6.勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式遞推關(guān)系：相鄰的勒讓德多項(xiàng)式以及它們的導(dǎo)數(shù)之間存在著一定的關(guān)系。具體如下：證明：(1)由母函數(shù)關(guān)系式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，有：改寫(xiě)為：兩邊乘以(1?2xt+t2)，再將母函數(shù)關(guān)系式代入，有比較兩邊的系數(shù)，有：整理上式：當(dāng)時(shí)，由于：，所以(2)由母函數(shù)關(guān)系式兩邊對(duì)x求導(dǎo)：又整理上式后比較等式兩邊的系數(shù)，得遞推關(guān)系式(2)。7.勒讓德多項(xiàng)式的正交性與正交歸一關(guān)系式(1)勒讓德多項(xiàng)式的正交性：另一種形式：勒讓德方程可改寫(xiě)為下述形式：由于和分別是l階及k階方程的特解，因此用乘以第一式，乘以第二式后相減，然后再積分，得利用母函數(shù)的關(guān)系式，有：

(2)的模兩邊對(duì)x積分，并利用勒讓德多項(xiàng)式的正交性上式左邊的積分在的區(qū)域?qū)⒄归_(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)P64例3.3.6上式在的區(qū)域內(nèi)對(duì)任意的t成立，故有歸一化因子(3)勒讓德多項(xiàng)式的正交歸一關(guān)系式8.廣義傅里葉級(jí)數(shù)的完備性若函數(shù)f(x)在[-1，1]上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)和分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在[-1，1]上可以展開(kāi)成絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)?！獜V義傅里葉級(jí)數(shù)可以作為廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的基，且是完備的。展開(kāi)系數(shù)的求法：例1:將在[-1,1]內(nèi)展成勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)形式

10.關(guān)聯(lián)勒讓德方程與關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)(1)關(guān)聯(lián)勒讓德方程I.m≥0設(shè)是勒讓德方程的解，故有：將上式對(duì)x求m階導(dǎo)數(shù)：由計(jì)算上式左邊第(1)、(2)項(xiàng)上式實(shí)際上是關(guān)于所滿(mǎn)足的方程。設(shè)：代入關(guān)聯(lián)勒讓德方程，得：與滿(mǎn)足相同的方程關(guān)聯(lián)勒讓德方程的一個(gè)特解：記作：II．m<0將代入關(guān)聯(lián)勒讓德方程，得：上式的特解：III.關(guān)聯(lián)勒讓德方程的特解(2)關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)的微分將羅德里格斯公式代入方程的特解，得：(3)關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)的正交性與正交歸一關(guān)系式I.關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)在區(qū)間[-1,1]具有正交性：II.關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)的模IV.廣義傅里葉級(jí)數(shù)關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)的完備性若函數(shù)在區(qū)