a第2講力系的等效與簡(jiǎn)化

力系的等效與簡(jiǎn)化

EquivalenceandReductionofaForceSystem

第二講張宇主講

力系的實(shí)例力系的等效與簡(jiǎn)化力系(forcesystem):

作用在物體上的一組力張宇主講—有效推進(jìn)力飛機(jī)向前飛行—有效升力飛機(jī)上升—側(cè)向力飛機(jī)側(cè)移—滾轉(zhuǎn)力矩飛機(jī)繞x軸滾轉(zhuǎn)—偏航力矩飛機(jī)轉(zhuǎn)彎—俯仰力矩飛機(jī)仰頭力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講問(wèn)題是什么？問(wèn)題的表面——力的集合看起來(lái)很麻煩，計(jì)算起來(lái)也很麻煩如何把復(fù)雜的變簡(jiǎn)單？F1F2FnF3M1Mn力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講問(wèn)題的性質(zhì)是什么？需要考慮到——復(fù)雜變簡(jiǎn)單后，不改變力的作用效應(yīng)（含義深刻）等效理論力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講解決問(wèn)題的方法是什么？簡(jiǎn)化理論力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講引言需要建立或者重新認(rèn)識(shí)的幾個(gè)關(guān)鍵概念

力系

力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)軸之矩

力系的基本特征

特殊的力系—力偶

等效簡(jiǎn)化

以上是本講的關(guān)鍵概念，要特別加以注意，這幾個(gè)概念也構(gòu)成了本部分內(nèi)容的綱要。力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講等效力系(equivalentforcesystem):

對(duì)同一剛體產(chǎn)生相同作用效應(yīng)的力系力系(forcesystem):

作用在物體上的一組力合力(resultantforce):與某力系等效的力平衡力系(forcesysteminequilibrium):

對(duì)剛體不產(chǎn)生任何作用效應(yīng)的力系力系張宇主講若匯交力系中，力的作用線(xiàn)在同一平面內(nèi)，則稱(chēng)為平面匯交力系(concurrentcoplanarforcesystem)。

若匯交力系中，力的作用線(xiàn)不在同一平面內(nèi)，則稱(chēng)為空間匯交力系(concurrentnoncoplanarforcesystem)。AA匯交力系(concurrentforcesystem):力作用線(xiàn)匯交于一點(diǎn)的力系。力系張宇主講一、幾何法（矢量法）力多邊形設(shè)為作用在A點(diǎn)的力系，求其合力結(jié)論：合力為力多邊形的封閉邊（直觀但不便于運(yùn)算）設(shè)為作用在A點(diǎn)的共點(diǎn)力系A(chǔ)力系張宇主講二、解析法(投影法、代數(shù)法)xyzA其中：是合力矢量與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角力系（便于運(yùn)算但比較抽象）張宇主講三、幾何平衡條件結(jié)論：力多邊形自行封閉特點(diǎn)：利用幾何法（矢量法），便于定性分析平衡問(wèn)題。力系張宇主講四、解析平衡條件有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程結(jié)論：滿(mǎn)足平衡方程特點(diǎn)：利用解析法，便于定量分析平衡問(wèn)題。xyzA空間力系平面力系力系張宇主講AF

h問(wèn)題的繼續(xù)提出張宇主講F問(wèn)題的繼續(xù)提出張宇主講力對(duì)點(diǎn)之矩

力對(duì)點(diǎn)之矩張宇主講

物理學(xué)中已經(jīng)闡明，力對(duì)點(diǎn)之矩（momentofaforceaboutapoint）是力使物體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度。這一點(diǎn)稱(chēng)為力矩中心（centerofmoment），簡(jiǎn)稱(chēng)矩心。

力對(duì)點(diǎn)之矩張宇主講AFBh力對(duì)點(diǎn)之矩張宇主講脊椎骨受損敏感點(diǎn)請(qǐng)同學(xué)們配合我進(jìn)行演示力對(duì)點(diǎn)之矩張宇主講xyzO1、力對(duì)點(diǎn)之矩的數(shù)學(xué)描述（關(guān)鍵是如何描述轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)）（1）矢量表示式（直觀）rFd力對(duì)點(diǎn)之矩張宇主講力矩矢量的方向

M=r

F按右手定則FrMO力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講（2）解析表示式（便于運(yùn)算）力對(duì)點(diǎn)之矩在軸上的投影：xyzijkrFxyz力對(duì)點(diǎn)之矩張宇主講2、合力矩定理：則有：若作用在剛體上的力系存在合力力對(duì)點(diǎn)之矩張宇主講AFBhh——力臂

O——

矩心MO（F）——代數(shù)量（標(biāo)量）“＋”——使物體逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)力矩為正；“－”——使物體順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)力矩為負(fù)。力對(duì)點(diǎn)之矩3、平面力對(duì)點(diǎn)之矩張宇主講

力矩與合力矩的解析表達(dá)式xAFFxFyOyxy平面匯交力系合力對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)之矩等于所有各分力對(duì)于該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。4、平面合力矩定理力對(duì)點(diǎn)之矩張宇主講FnOrFrF例題h

已知：Fn，，r求：力Fn

塊對(duì)輪心O的力矩。直接計(jì)算利用全力之矩定理計(jì)算解：（1）（2）力對(duì)點(diǎn)之矩張宇主講力對(duì)軸之矩

力對(duì)軸之矩張宇主講

定義:

力使物體繞某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度,稱(chēng)為力對(duì)該軸之矩。力對(duì)軸之矩的定義力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講FFFzFxFy

力對(duì)軸之矩實(shí)例力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講力對(duì)軸之矩(momentofaforceaboutanaxis)Fzod逆時(shí)針＋，順時(shí)針－F力對(duì)軸之矩張宇主講問(wèn)題：如果已知：如何求力F對(duì)z軸之矩xzijkyFyxz力對(duì)軸之矩計(jì)算公式（工程中普遍使用）問(wèn)題：力對(duì)軸之矩與力對(duì)點(diǎn)之矩有什么關(guān)系？力對(duì)軸之矩張宇主講問(wèn)題：力對(duì)軸之矩與力對(duì)點(diǎn)之矩有什么關(guān)系？力對(duì)軸之矩第一，力對(duì)點(diǎn)之矩是矢量，力對(duì)軸之矩是不是矢量？第二，力對(duì)軸之矩與力對(duì)點(diǎn)之矩有什么關(guān)系？張宇主講力對(duì)軸之矩代數(shù)量的正負(fù)號(hào)力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講力對(duì)軸之矩與力對(duì)點(diǎn)之矩的關(guān)系Mz(F)(x,y,z)）Fxy力系的等效與簡(jiǎn)化結(jié)論：力對(duì)點(diǎn)之矩的矢量在某一軸上的投影,等于這一力對(duì)該軸之矩。張宇主講力對(duì)軸之矩力對(duì)點(diǎn)之矩在各坐標(biāo)軸上的投影結(jié)論：力對(duì)點(diǎn)之矩的矢量在某一軸上的投影,等于這一力對(duì)該軸之矩。xyzOrF力對(duì)軸之矩張宇主講xzFyOA例：在棱長(zhǎng)為b的正方體上作用有一力F，求該力對(duì)x、y、z

軸之矩以及對(duì)OA軸之矩。解：力對(duì)軸之矩張宇主講力系的主矢和主矩

力系的主矢和主矩張宇主講力系的主矢FRMAx

一般力系（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n）中所有力的矢量和，稱(chēng)為力系的主矢量，簡(jiǎn)稱(chēng)為主矢（principalvector），即力系的主矢和主矩張宇主講主矢僅與各力的大小和方向有關(guān)，主矢不涉及作用點(diǎn)和作用線(xiàn),因而主矢是自由矢。力系主矢的特點(diǎn)對(duì)于給定的力系，主矢唯一；力系的主矢力系的主矢和主矩張宇主講力系的主矩FRMAx

力系中所有力對(duì)于同一點(diǎn)之矩的矢量和，稱(chēng)為力系對(duì)這一點(diǎn)的主矩（principalmoment），即力系的主矢和主矩張宇主講力系主矩的特點(diǎn)力系主矩是定位矢,其作用點(diǎn)為矩心。力系主矩MO與矩心(O)的位置有關(guān);力系的主矩力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講力系等效定理

力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講怎樣判斷不同力系的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)是否相同？如何判斷力系等效MCFBFA力系1FCMEMD力系2力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講所謂力系等效是指不同的力系對(duì)于同一物體所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)是相同的。兩個(gè)力系對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)效應(yīng)相同的條件是：主矢相等和對(duì)同一點(diǎn)的主矩相等。力系等效定理力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講力偶與力偶系

力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講1、力偶的定義

大小相等,方向相反,不共線(xiàn)的兩個(gè)平行力所組成的力系，稱(chēng)為力偶（couple）。力系的等效與簡(jiǎn)化F1F2張宇主講力偶實(shí)例F1F2F1＝－F2力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講

二力作用線(xiàn)之間的垂直距離-力偶臂（armofacouple）。力偶的作用面與力偶臂F1F2

二力所在平面-力偶作用面（actingplaneofacouple）。力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講ABFF’2、力偶矩(momentofacouple)FABF’dM注：力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面，其大小和方向與取矩點(diǎn)無(wú)關(guān)。O力偶矩張宇主講3、力偶的等效條件和性質(zhì)1）力偶的等效條件(定理）兩個(gè)力偶等效的條件是它們的力偶矩相等ABCD力偶矩張宇主講力偶的表示MMM力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講2）力偶的性質(zhì)性質(zhì)一

力偶不能與一個(gè)力等效力偶的性質(zhì)張宇主講2）力偶的性質(zhì)性質(zhì)二

力偶可在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)（或移到另一平行平面),而不改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)ABAB力偶的性質(zhì)張宇主講性質(zhì)三

只要力偶矩矢量的方向和大小不變（F，d

可變），則力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)就不變。AB力偶的性質(zhì)張宇主講4、力偶系的合成設(shè)作用于剛體上的兩個(gè)力偶結(jié)論：兩個(gè)力偶的合成仍然為力偶，且力偶系的合成張宇主講平衡的充分必要條件:空間力偶系的平衡條件：平面力偶系的平衡條件：作用于剛體上的力偶系合成為一力偶力偶系的平衡張宇主講舉例力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講討論題

試:畫(huà)出AB和BDC桿的受力圖；

求A、C二處的約束力。已知:結(jié)構(gòu)受力如圖所示,圖中M,r均為已知,且l=2r.力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講1.AB桿為二力桿;受力分析:2.

BDC桿的A、B二處分別受有一個(gè)方向雖然未知、但可以判斷出的力。力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講ABOABO（A）（B）例：結(jié)構(gòu)如圖所示，已知主動(dòng)力偶

M，哪種情況鉸鏈的約束力較小（不計(jì)構(gòu)件自重）。1、研究OA桿2、研究AB桿力偶系的平衡張宇主講ABO思考題：結(jié)構(gòu)如圖所示，已知各桿均作用一個(gè)主動(dòng)力偶M，確定各個(gè)鉸鏈約束力的方向（不計(jì)構(gòu)件自重）力偶系的平衡張宇主講CADB研究BD研究AC例:求當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí),力偶應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系。ABDD力偶系的平衡張宇主講空間一般力系(generalnoncoplanarforcesystem)：

力作用線(xiàn)在空間任意分布的力系？問(wèn)題：力系的簡(jiǎn)化張宇主講力系的簡(jiǎn)化

所謂力系的簡(jiǎn)化，就是將由若干力和力偶所組成的一般力系，變?yōu)橐粋€(gè)力，或一個(gè)力偶，或者一個(gè)力和一個(gè)力偶的簡(jiǎn)單的、但是等效的情形。這一過(guò)程稱(chēng)為力系的簡(jiǎn)化(reductionofaforcesystem)。力系簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)是力向一點(diǎn)的平移定理力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講一、力的移動(dòng)1、力沿作用線(xiàn)移動(dòng)加減平衡力系原理：

在剛體上增加或減去一組平衡力系，不會(huì)改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效應(yīng)AB若則FFABFF’F”ABFF’F”ABF’F力系的簡(jiǎn)化張宇主講剛體變形體定理：作用在剛體上的力，沿其作用線(xiàn)移動(dòng)后，作用效應(yīng)不變。作用于剛體上力的三要素：大小、方向、作用線(xiàn)力系的簡(jiǎn)化張宇主講2、力向一點(diǎn)的平移FABFABFABF’F”力的平移定理F’ABMBrBA力系的簡(jiǎn)化張宇主講力系的簡(jiǎn)化★可以把作用于剛體上點(diǎn)A的力F平行移到任一點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)附加力偶的矩等于原來(lái)的力F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩。張宇主講(b)F為什么釘子有時(shí)會(huì)折彎？FF(a)(b)圖示兩圓盤(pán)運(yùn)動(dòng)形式是否一樣？M′F′FM力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講你能不能自己舉幾個(gè)實(shí)際的例子來(lái)描述力向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化？力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講力系的簡(jiǎn)化對(duì)于平面任意力系一、向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化二、簡(jiǎn)化結(jié)果：主矢和主矩三、簡(jiǎn)化結(jié)果分析對(duì)于空間任意力系一、向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化二、簡(jiǎn)化結(jié)果：主矢和主矩三、簡(jiǎn)化結(jié)果分析力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講F3F1F2OOOFR′MOF1′M1F1=F1′M1=MO(F1)F2′M2F2=F2′M2=MO(F2)F3′M3F3=F3′M3=MO(F3)簡(jiǎn)化中心OFR=F1+F2+F3=F1+F2+F3

MO=M1+M2+M3=MO(F2)+MO(F2)+MO(F3)′′′′力系的等效與簡(jiǎn)化

平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)的簡(jiǎn)化·主矢和主矩張宇主講主矢FR′MO主矩OxyMOFR′★平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，可得一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力等于該力系的主矢，作用線(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)化中心。這個(gè)力偶的矩等于力系對(duì)于點(diǎn)O的主矩。力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講●

FR=0，MO≠0′●

FR≠

0，MO=0′●

FR≠

0，MO

≠0′●

FR=0，MO=0′1.平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶的情形●

FR=0，MO≠0′★因?yàn)榱ε紝?duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)的矩都相同，因此當(dāng)力系合成為一個(gè)力偶時(shí)，主矩與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。力系的等效與簡(jiǎn)化平面任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析張宇主講′O′FRO2.平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力的情形●

FR≠

0，MO=0′合力的作用線(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)化中心●

FR≠

0，MO

≠0′FROO′dFRFR′′dFR′OMoO′力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講●

FR=0，MO=0′原力系平衡3.平面任意力系平衡的情形力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講O二、空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化主矢主矩FR

一個(gè)作用在O點(diǎn)上的力,MO

一個(gè)作用在剛體上的力偶（與簡(jiǎn)化點(diǎn)無(wú)關(guān)）（與簡(jiǎn)化點(diǎn)有關(guān)）OABCoO稱(chēng)為簡(jiǎn)化點(diǎn)力系的簡(jiǎn)化張宇主講三、空間任意力系簡(jiǎn)化的最后結(jié)果空間任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果平衡合力合力偶2、1、3、4、?力系的簡(jiǎn)化張宇主講oMoo1FR●

FR≠

0，MO

≠0且

FR⊥MO′′o1FR′′FRdo力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講●

FR≠

0，Mo≠0且FR∥Mo′′OMoOMoOO力螺旋左螺旋右螺旋力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講OMo′′Mo′●

FR≠

0，MO≠0，且為一般狀態(tài)′OFRO1Mo′dOMo力系的等效與簡(jiǎn)化一般情形下空間任意力系可合成為力螺旋張宇主講結(jié)論與討論力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講結(jié)論與討論對(duì)于重力——把分布力簡(jiǎn)化成集中力的分析力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講結(jié)論與討論力系簡(jiǎn)化在固定端約束力分析中的應(yīng)用力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講力系簡(jiǎn)化結(jié)果的應(yīng)用固定端約束的約束力平面載荷作用的情形力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講

FA

x;FAy;MA平面分布約束力簡(jiǎn)化結(jié)果:力系簡(jiǎn)化結(jié)果的應(yīng)用固定端約束的約束力力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講FAxFAy一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果的應(yīng)用固定端約束的約束力力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講固定端約束的實(shí)例力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講鉸鏈約束與固定端約束結(jié)論與討論力系的等效與簡(jiǎn)化張宇主講這兩種約束