a第2講力系的等效與簡化

力系的等效與簡化

EquivalenceandReductionofaForceSystem

第二講張宇主講

力系的實例力系的等效與簡化力系(forcesystem):

作用在物體上的一組力張宇主講—有效推進力飛機向前飛行—有效升力飛機上升—側向力飛機側移—滾轉力矩飛機繞x軸滾轉—偏航力矩飛機轉彎—俯仰力矩飛機仰頭力系的等效與簡化張宇主講問題是什么？問題的表面——力的集合看起來很麻煩，計算起來也很麻煩如何把復雜的變簡單？F1F2FnF3M1Mn力系的等效與簡化張宇主講問題的性質是什么？需要考慮到——復雜變簡單后，不改變力的作用效應（含義深刻）等效理論力系的等效與簡化張宇主講解決問題的方法是什么？簡化理論力系的等效與簡化張宇主講引言需要建立或者重新認識的幾個關鍵概念

力系

力對點之矩力對軸之矩

力系的基本特征

特殊的力系—力偶

等效簡化

以上是本講的關鍵概念，要特別加以注意，這幾個概念也構成了本部分內(nèi)容的綱要。力系的等效與簡化張宇主講等效力系(equivalentforcesystem):

對同一剛體產(chǎn)生相同作用效應的力系力系(forcesystem):

作用在物體上的一組力合力(resultantforce):與某力系等效的力平衡力系(forcesysteminequilibrium):

對剛體不產(chǎn)生任何作用效應的力系力系張宇主講若匯交力系中，力的作用線在同一平面內(nèi)，則稱為平面匯交力系(concurrentcoplanarforcesystem)。

若匯交力系中，力的作用線不在同一平面內(nèi)，則稱為空間匯交力系(concurrentnoncoplanarforcesystem)。AA匯交力系(concurrentforcesystem):力作用線匯交于一點的力系。力系張宇主講一、幾何法（矢量法）力多邊形設為作用在A點的力系，求其合力結論：合力為力多邊形的封閉邊（直觀但不便于運算）設為作用在A點的共點力系A力系張宇主講二、解析法(投影法、代數(shù)法)xyzA其中：是合力矢量與三個坐標軸的夾角力系（便于運算但比較抽象）張宇主講三、幾何平衡條件結論：力多邊形自行封閉特點：利用幾何法（矢量法），便于定性分析平衡問題。力系張宇主講四、解析平衡條件有三個獨立的平衡方程有兩個獨立的平衡方程結論：滿足平衡方程特點：利用解析法，便于定量分析平衡問題。xyzA空間力系平面力系力系張宇主講AF

h問題的繼續(xù)提出張宇主講F問題的繼續(xù)提出張宇主講力對點之矩

力對點之矩張宇主講

物理學中已經(jīng)闡明，力對點之矩（momentofaforceaboutapoint）是力使物體繞某一點轉動效應的量度。這一點稱為力矩中心（centerofmoment），簡稱矩心。

力對點之矩張宇主講AFBh力對點之矩張宇主講脊椎骨受損敏感點請同學們配合我進行演示力對點之矩張宇主講xyzO1、力對點之矩的數(shù)學描述（關鍵是如何描述轉動效應）（1）矢量表示式（直觀）rFd力對點之矩張宇主講力矩矢量的方向

M=r

F按右手定則FrMO力系的等效與簡化張宇主講（2）解析表示式（便于運算）力對點之矩在軸上的投影：xyzijkrFxyz力對點之矩張宇主講2、合力矩定理：則有：若作用在剛體上的力系存在合力力對點之矩張宇主講AFBhh——力臂

O——

矩心MO（F）——代數(shù)量（標量）“＋”——使物體逆時針轉時力矩為正；“－”——使物體順時針轉時力矩為負。力對點之矩3、平面力對點之矩張宇主講

力矩與合力矩的解析表達式xAFFxFyOyxy平面匯交力系合力對于平面內(nèi)一點之矩等于所有各分力對于該點之矩的代數(shù)和。4、平面合力矩定理力對點之矩張宇主講FnOrFrF例題h

已知：Fn，，r求：力Fn

塊對輪心O的力矩。直接計算利用全力之矩定理計算解：（1）（2）力對點之矩張宇主講力對軸之矩

力對軸之矩張宇主講

定義:

力使物體繞某一軸轉動效應的量度,稱為力對該軸之矩。力對軸之矩的定義力系的等效與簡化張宇主講FFFzFxFy

力對軸之矩實例力系的等效與簡化張宇主講力對軸之矩(momentofaforceaboutanaxis)Fzod逆時針＋，順時針－F力對軸之矩張宇主講問題：如果已知：如何求力F對z軸之矩xzijkyFyxz力對軸之矩計算公式（工程中普遍使用）問題：力對軸之矩與力對點之矩有什么關系？力對軸之矩張宇主講問題：力對軸之矩與力對點之矩有什么關系？力對軸之矩第一，力對點之矩是矢量，力對軸之矩是不是矢量？第二，力對軸之矩與力對點之矩有什么關系？張宇主講力對軸之矩代數(shù)量的正負號力系的等效與簡化張宇主講力對軸之矩與力對點之矩的關系Mz(F)(x,y,z)）Fxy力系的等效與簡化結論：力對點之矩的矢量在某一軸上的投影,等于這一力對該軸之矩。張宇主講力對軸之矩力對點之矩在各坐標軸上的投影結論：力對點之矩的矢量在某一軸上的投影,等于這一力對該軸之矩。xyzOrF力對軸之矩張宇主講xzFyOA例：在棱長為b的正方體上作用有一力F，求該力對x、y、z

軸之矩以及對OA軸之矩。解：力對軸之矩張宇主講力系的主矢和主矩

力系的主矢和主矩張宇主講力系的主矢FRMAx

一般力系（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n）中所有力的矢量和，稱為力系的主矢量，簡稱為主矢（principalvector），即力系的主矢和主矩張宇主講主矢僅與各力的大小和方向有關，主矢不涉及作用點和作用線,因而主矢是自由矢。力系主矢的特點對于給定的力系，主矢唯一；力系的主矢力系的主矢和主矩張宇主講力系的主矩FRMAx

力系中所有力對于同一點之矩的矢量和，稱為力系對這一點的主矩（principalmoment），即力系的主矢和主矩張宇主講力系主矩的特點力系主矩是定位矢,其作用點為矩心。力系主矩MO與矩心(O)的位置有關;力系的主矩力系的等效與簡化張宇主講力系等效定理

力系的等效與簡化張宇主講怎樣判斷不同力系的運動效應是否相同？如何判斷力系等效MCFBFA力系1FCMEMD力系2力系的等效與簡化張宇主講所謂力系等效是指不同的力系對于同一物體所產(chǎn)生的運動效應是相同的。兩個力系對剛體運動效應相同的條件是：主矢相等和對同一點的主矩相等。力系等效定理力系的等效與簡化張宇主講力偶與力偶系

力系的等效與簡化張宇主講1、力偶的定義

大小相等,方向相反,不共線的兩個平行力所組成的力系，稱為力偶（couple）。力系的等效與簡化F1F2張宇主講力偶實例F1F2F1＝－F2力系的等效與簡化張宇主講

二力作用線之間的垂直距離-力偶臂（armofacouple）。力偶的作用面與力偶臂F1F2

二力所在平面-力偶作用面（actingplaneofacouple）。力系的等效與簡化張宇主講ABFF’2、力偶矩(momentofacouple)FABF’dM注：力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面，其大小和方向與取矩點無關。O力偶矩張宇主講3、力偶的等效條件和性質1）力偶的等效條件(定理）兩個力偶等效的條件是它們的力偶矩相等ABCD力偶矩張宇主講力偶的表示MMM力系的等效與簡化張宇主講2）力偶的性質性質一

力偶不能與一個力等效力偶的性質張宇主講2）力偶的性質性質二

力偶可在其作用面內(nèi)任意移動（或移到另一平行平面),而不改變對剛體的作用效應ABAB力偶的性質張宇主講性質三

只要力偶矩矢量的方向和大小不變（F，d

可變），則力偶對剛體的作用效應就不變。AB力偶的性質張宇主講4、力偶系的合成設作用于剛體上的兩個力偶結論：兩個力偶的合成仍然為力偶，且力偶系的合成張宇主講平衡的充分必要條件:空間力偶系的平衡條件：平面力偶系的平衡條件：作用于剛體上的力偶系合成為一力偶力偶系的平衡張宇主講舉例力系的等效與簡化張宇主講討論題

試:畫出AB和BDC桿的受力圖；

求A、C二處的約束力。已知:結構受力如圖所示,圖中M,r均為已知,且l=2r.力系的等效與簡化張宇主講1.AB桿為二力桿;受力分析:2.

BDC桿的A、B二處分別受有一個方向雖然未知、但可以判斷出的力。力系的等效與簡化張宇主講力系的等效與簡化張宇主講ABOABO（A）（B）例：結構如圖所示，已知主動力偶

M，哪種情況鉸鏈的約束力較小（不計構件自重）。1、研究OA桿2、研究AB桿力偶系的平衡張宇主講ABO思考題：結構如圖所示，已知各桿均作用一個主動力偶M，確定各個鉸鏈約束力的方向（不計構件自重）力偶系的平衡張宇主講CADB研究BD研究AC例:求當系統(tǒng)平衡時,力偶應滿足的關系。ABDD力偶系的平衡張宇主講空間一般力系(generalnoncoplanarforcesystem)：

力作用線在空間任意分布的力系？問題：力系的簡化張宇主講力系的簡化

所謂力系的簡化，就是將由若干力和力偶所組成的一般力系，變?yōu)橐粋€力，或一個力偶，或者一個力和一個力偶的簡單的、但是等效的情形。這一過程稱為力系的簡化(reductionofaforcesystem)。力系簡化的基礎是力向一點的平移定理力系的等效與簡化張宇主講一、力的移動1、力沿作用線移動加減平衡力系原理：

在剛體上增加或減去一組平衡力系，不會改變原力系對剛體的作用效應AB若則FFABFF’F”ABFF’F”ABF’F力系的簡化張宇主講剛體變形體定理：作用在剛體上的力，沿其作用線移動后，作用效應不變。作用于剛體上力的三要素：大小、方向、作用線力系的簡化張宇主講2、力向一點的平移FABFABFABF’F”力的平移定理F’ABMBrBA力系的簡化張宇主講力系的簡化★可以把作用于剛體上點A的力F平行移到任一點B，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力F對新作用點B的矩。張宇主講(b)F為什么釘子有時會折彎？FF(a)(b)圖示兩圓盤運動形式是否一樣？M′F′FM力系的等效與簡化張宇主講你能不能自己舉幾個實際的例子來描述力向一點的簡化？力系的等效與簡化張宇主講力系的等效與簡化張宇主講力系的簡化對于平面任意力系一、向一點的簡化二、簡化結果：主矢和主矩三、簡化結果分析對于空間任意力系一、向一點的簡化二、簡化結果：主矢和主矩三、簡化結果分析力系的等效與簡化張宇主講F3F1F2OOOFR′MOF1′M1F1=F1′M1=MO(F1)F2′M2F2=F2′M2=MO(F2)F3′M3F3=F3′M3=MO(F3)簡化中心OFR=F1+F2+F3=F1+F2+F3

MO=M1+M2+M3=MO(F2)+MO(F2)+MO(F3)′′′′力系的等效與簡化

平面任意力系向作用面內(nèi)一點的簡化·主矢和主矩張宇主講主矢FR′MO主矩OxyMOFR′★平面任意力系向作用面內(nèi)任一點O簡化，可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心。這個力偶的矩等于力系對于點O的主矩。力系的等效與簡化張宇主講●

FR=0，MO≠0′●

FR≠

0，MO=0′●

FR≠

0，MO

≠0′●

FR=0，MO=0′1.平面任意力系簡化為一個力偶的情形●

FR=0，MO≠0′★因為力偶對于平面內(nèi)任意一點的矩都相同，因此當力系合成為一個力偶時，主矩與簡化中心的選擇無關。力系的等效與簡化平面任意力系的簡化結果分析張宇主講′O′FRO2.平面任意力系簡化為一個合力的情形●

FR≠

0，MO=0′合力的作用線通過簡化中心●

FR≠

0，MO

≠0′FROO′dFRFR′′dFR′OMoO′力系的等效與簡化張宇主講●

FR=0，MO=0′原力系平衡3.平面任意力系平衡的情形力系的等效與簡化張宇主講O二、空間任意力系向一點簡化主矢主矩FR

一個作用在O點上的力,MO

一個作用在剛體上的力偶（與簡化點無關）（與簡化點有關）OABCoO稱為簡化點力系的簡化張宇主講三、空間任意力系簡化的最后結果空間任意力系簡化結果平衡合力合力偶2、1、3、4、?力系的簡化張宇主講oMoo1FR●

FR≠

0，MO

≠0且

FR⊥MO′′o1FR′′FRdo力系的等效與簡化張宇主講●

FR≠

0，Mo≠0且FR∥Mo′′OMoOMoOO力螺旋左螺旋右螺旋力系的等效與簡化張宇主講OMo′′Mo′●

FR≠

0，MO≠0，且為一般狀態(tài)′OFRO1Mo′dOMo力系的等效與簡化一般情形下空間任意力系可合成為力螺旋張宇主講結論與討論力系的等效與簡化張宇主講結論與討論對于重力——把分布力簡化成集中力的分析力系的等效與簡化張宇主講力系的等效與簡化張宇主講結論與討論力系簡化在固定端約束力分析中的應用力系的等效與簡化張宇主講力系簡化結果的應用固定端約束的約束力平面載荷作用的情形力系的等效與簡化張宇主講

FA

x;FAy;MA平面分布約束力簡化結果:力系簡化結果的應用固定端約束的約束力力系的等效與簡化張宇主講FAxFAy一般力系簡化結果的應用固定端約束的約束力力系的等效與簡化張宇主講固定端約束的實例力系的等效與簡化張宇主講力系的等效與簡化張宇主講鉸鏈約束與固定端約束結論與討論力系的等效與簡化張宇主講這兩種約束