廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高一下學(xué)期期中考試(數(shù)學(xué))

廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁．滿分為150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫在答題卡上。2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，不能答在試題卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只交回答題卡．（注：以下黑體字母均表示向量）一、選擇題：本大題12小題，每小題5分，滿分60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量＝(4，－2)，向量＝(x，5)，且∥，那么x等于()．A．10 B．5 C．－ D．－102．若cos＞0，sin＜0，則角的終邊在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知扇形的圓心角為π弧度，半徑為2，則扇形的面積是()A．π B． C．2π D．π4．已知向量,,則∠ABC=()A．30° B．45° C．60° D．120°5．若向量，，滿足條件++，||=||=||=1，則△P1P2P3的形狀是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．不能確定6．若則（）A．B．C．D．7．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．8．對(duì)任意向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b| B．|a-b|≤||a|-|b||C．(a+b)2=|a+b|2 D．(a+b)·(a-b)=a2-b29．若向量a，b的夾角為150°，|a|=，|b|=4，則|2a+b|=()A．2 B．3 C．4 D．510．設(shè)a=cos6°-sin6°，b=2sin13°.cos13°，c=，則有()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a11．已知函數(shù)f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的圖象的對(duì)稱軸完全相同，若x∈，則f(x)的取值范圍是()A．[-3，3]B．C． D．12．定義區(qū)間長度為，(），已知函數(shù)的定義域與值域都是，則區(qū)間取最大長度時(shí)a的值為（）A．B．1或-3，C．-1．D．3二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．.函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)，x∈R）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為.15．函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,單調(diào)遞減區(qū)間是.16．如圖所示，在中，，在線段上，設(shè)，，，則的最小值為．三．解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)(10分)已知0＜＜，sin＝．(1)求tan的值；(2)求cos2＋sin(＋)的值．18．（12分）已知，，(1)若，的夾角為，求；(2)求及的取值范圍；(3)若，求與的夾角.19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝sin（π－ωx）cosωx＋cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為π．(1)求ω的值；(2)將函數(shù)y＝f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，eq\f(π,16)]上的最小值．20．(12分)如圖，矩形ABCD的長AD=2，寬AB=1，A，D兩點(diǎn)分別在x軸，y軸的正半軸上移動(dòng)，B，C兩點(diǎn)在第一象限.求OB2的最大值.21．(12分)已知向量m=，n=，設(shè)函數(shù)f(x)=m·n.(1)求函數(shù)f(x)的解析式.(2)求函數(shù)f(x)，x∈[-π，π]的單調(diào)遞增區(qū)間.(3)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-k(k∈R)在區(qū)間[-π，π]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為a，試探求a的值及對(duì)應(yīng)的k的取值范圍.22．(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓及其上一點(diǎn)A(2,4).(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程.(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.數(shù)學(xué)參考答案選擇題（5*12=60分）D2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.B9.A10.C11.D12.D填空題（4*5=20分）14.y＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4)))15.;,k∈Z16.解答題（70分）17.（10分）(1)因?yàn)?＜＜，sin＝，故cos＝，所以tan＝．-------5分(2)cos2＋sin(＋)＝1－2sin2＋cos＝－＋＝．-----------5分18.（12分）解：（1）∵，的夾角為，∴＝||?||?cos＝，……1分∴|-|2＝（-）2……2分＝2＋2-2＝1＋3－3＝1， ……3分∴ ……4分（2）由得……6分由得……7分（3），．……8分又||＝1，||＝，．……9分．……10分……沒有此說明扣1分．……12分19．（12分）解：（1）因?yàn)閒（x）＝sin（π－ωx）cosωx＋cos2ωx，所以f（x）＝sinωxcosωx＋eq\f(1＋cos2ωx,2)＝eq\f(1,2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)．由于ω＞0，依題意得eq\f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1．-------------------4（2）由（1）知f（x）＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，所以g（x）＝f（2x）＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)．當(dāng)0≤x≤eq\f(π,16)時(shí)，eq\f(π,4)≤4x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)，所以eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))≤1．因此1≤g（x）≤eq\f(1＋\r(2),2)．故g（x）在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,16)))上的最小值為1．-----------------------620．（12分）解:過點(diǎn)B作BH⊥OA，垂足為H.設(shè)∠OAD=θ，則∠BAH=-θ，--------------------------2OA=2cosθ，--------------------------------------------------3BH=sin=cosθ，---------------------------------------4AH=cos=sinθ，-----------------------------------------5所以B(2cosθ+sinθ，cosθ)，---------------------------7OB2=(2cosθ+sinθ)2+cos2θ=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin.------------------------------9由0<θ<，知<2θ+<，所以當(dāng)θ=時(shí)，OB2取得最大值7+4.---------------------------------------12（12分）解：(1)f(x)=m·n=4sinxcosx+2cosx=2sinx+2cosx=4sin.----3(2)由(1)，知f(x)=4sin，x∈[-π，π]，所以x+∈，由-≤x+≤，解得-≤x≤，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.------------------------------7(3)當(dāng)x∈[-π，π]時(shí)，函數(shù)h(x)=f(x)-k的零點(diǎn)討論如下：當(dāng)k>4或k<-4時(shí)，h(x)無零點(diǎn)，a=0；----------------------------------8當(dāng)k=4或k=-4時(shí)，h(x)有一個(gè)零點(diǎn)，a=1；-------------------------------10當(dāng)-4<k<-2或-2<k<4時(shí)，h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，a=2；---------------------------11當(dāng)k=-2時(shí)，h(x)有三個(gè)零點(diǎn)，a=3.--------------------------------------1222.（12分）解：(1)設(shè)點(diǎn)N(6,n),因?yàn)榕cx軸相切,則圓N為(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,又圓N與圓M外切,圓M:(x-6)2+(y-7)2=25,則|7-n|=|n|+5,解得n=1,即圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-1)2=1.--------------------------------------------4(2)由題意得OA=2,kOA=2,設(shè)l:y=2x+b,則圓心M到直線l的距離d=,則BC=2=2,BC=2,即2=2?b=5或b=-15,即l:y=2x+5或y=2x-