大學物理光學第一章答案

第一章習題解答

1幾何光學基本定律1如圖所示為一種液面激光控制儀，當液面升降時，反射光斑移動，為不同部位的光電轉換元件所接收，變成電訊號輸入控制系統(tǒng)，試計算液面升高△h時反射光斑移動的距離△s。解：按光的反射定律作光路于附圖，則由圖可得反射光線的位移量為

又

于是得5試證明：當一條光線通過平行平面玻璃板時，出射光線方向不變，但產生側向平移，當入射角很小時，位移為式中n為玻璃板的折射率，t為其厚度。

解：對平行平板上下表面分別兩次運用折射定律，并考慮到平板上下是同一介質，便可證明最后出射光線與當初入射光線的方向一致，入附圖所示，根據幾何關系課的側向位移量為折射定律有所以在《1的條件下，取小角近似

于是有12如圖所示，在水中有兩條平行線1和2，光線2射到水和平行平板玻璃的分界面上。（1）兩光線射到空氣中是否還平行？（2）如果光線1發(fā)生全反射，光線2能否進入空氣？

解:我們先推到一下光線經過幾個平行界面的多層媒質時出射光線的方向。因為界面都是平行的，所以光線在同一媒質中上界面的的折射角與下界面的入射角相等，如下圖所示：由折射定律有以此類推得由此可見，最后出射光線的方向只與當初入射方向及兩邊介質的折射率有關。(1)由上面結論可知本題光線1和2射到空氣中仍保持平行。(2)如圖所示，當時，也有，所以光線1發(fā)生全反射時，光線2也不能進入空氣，光線2在玻璃與空氣的界面上發(fā)生全反射。

2惠更斯原理

5拖著棒的一端在水中以速度移動，比水波的速度為大，用惠更斯作圖法證明：在水中出現(xiàn)一圓錐形波前，其半頂角由下式給出，船后的弓形波，超管速飛機在空氣中產生的沖擊波，都是這樣產生的。證明：由于棒對水的撞擊（壓縮），使棒端沿途各點先后成為水波源。如附圖所示，設棒端在水中依次經過點，則當棒端到達點時，發(fā)出的水波面分別是半徑為，，的球面。作這些球面的包絡面，即為宏觀波面(總擾動的水波面)。設總擾動的水波面與次波面分別相切與各點，則即宏觀波面是以端點為頂點的錐面，成為“馬赫錐”，錐角大小由確定。3費馬原理2證明圖2-3中光線，，，….的光程相等。分析：本題就是證明折射光束是等光程的。我們任取其中兩條，即證下面圖中的證明：如圖，由次波源向光線作垂線，垂足標為顯然再比較，兩段的光程，在直角三角形和中，有由折射定律可知于是所以光程是相等的。同理可證其他的折射光束都是等光程的。4成像1以一節(jié)例題2所用的光線追跡法證明圖4-6中和是一對共軛點。證明：如圖，設球面半徑為R，物像方折射率分別為，，按我們的符號法則，由頂點A算其起的距離，，

由球心算起的距離，，于是在和中分別應用正弦定理，則有解得又根據折射定律以及角度關系進一步得到由此可見，只在的特殊情況下有此時位置與出射角u無關，使，成為寬光束嚴格成像的一對共軛點。5共軸球面組傍軸成像3凹面鏡的半徑為40cm，物體放在何處成放大兩倍的實像？放在何處成放大兩倍的虛像？解：實物形成兩倍實像時，球面反射鏡的橫向放大率，實物形成兩倍虛像時。聯(lián)立反射鏡物像距公式及橫向放大率公式解得按題意，，，，代入，分別算出即物體影分別置于凹面鏡前30cm和10cm處。6按以約定的正負號法則（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）（Ⅴ）等，標示出下列各圖中的物距，，曲率半徑，光線傾角，的絕對值。比較各圖中折射率，的大小，指明各圖中物，像的虛實。

解：結果示于圖（b）（c）（d）（e）中。（b），實物，實像（c），虛物，實像（d），實物，虛像（e），虛物，虛像8若空氣中一均勻球形透明體能講平行光束會聚于其背面的頂點上，此透明體的折射率應等于多少？解：由球面折射成像的焦距公式得按題意，，代入上式得即此透明體的折射率二倍于周圍介質的折射率。9如圖，一平行平面玻璃板的折射率為，厚度為，點光源發(fā)出的傍軸光束（即接近于正入射的光束）經上表面反射，成像于；穿過上表面后在下表面反射，再從上表面折射的光束成像于。證明與間的距離為。

證明：是由經上表面A反射成像所得。是經A面折射三次成像所得（如圖）。先計算的位置，設離A面的距離為，第一次經A面折射成像有解得：

即像在A面上方距A面處，距離B面。第二次經B面反射成像，按鏡像對稱知道像在B面下方距B面處，距A面。第三次再經A面折射成像

解得：即像在A面下方距A面處。經A面反射成像在A面下方處，所以，間的距離為11根據費馬原理推導傍軸條件下球面反射成像公式（5.19）

證明：任選一點M，則根據幾何關系，用s,s’和r表示(L1)。

利用展開式近似處理，簡化計算。根據費馬原理，知物像之間具有等光程性，其數學表達式為：從而可得

6薄透鏡1某透鏡用n=1.50的玻璃制成，它在空氣中的焦距為10.0cm，它在水中的焦距為多少?(水的折射率為4/3)。解：設薄透鏡材料的折射率為，物像方（同一介質）的折射率為，則薄透鏡的焦距公式應當為：如設該透鏡在空氣中和在水中的焦距分別為，，按上式有則

3用一曲率半徑為20cm的球面玻璃和一平玻璃粘合成空氣透鏡，將其浸入水中（見圖），設玻璃壁厚可忽略，水和空氣的折射率分別為4/3和1，求此透鏡的焦距f。此透鏡是會聚的還是發(fā)散的？解:以，，，代入薄透鏡焦距公式算出該空氣薄透鏡（置于水中）的焦距為f=-80cm，它是發(fā)散透鏡。8屏幕放在距物100cm遠，二者之間放一凸透鏡。當前后移動透鏡時，我們發(fā)現(xiàn)透鏡有兩個位置可以使物成像在屏幕上，測得這兩個位置之間的距離為20.0cm，求（1）這兩個位置到幕的距離和透鏡的焦距；（2）兩個像的橫向放大率。解：在物像距離（大于4倍焦距）一定的條件下，利用光的可逆性原理可以證明，兩次成像的物像距滿足對易關系，即第一次成像的物距正是第二次成像的像距，第一次成像的像距正是第二次成像的物距。這個結論也可以由高斯公式求得。令，應用高斯公式得：解出即由此可見，兩次物距差為已知，，于是透鏡焦距兩次像距分別為

橫向放大率分別為，

且有10如圖，和分別為凸透鏡凹透鏡。前面放一小物，移動屏幕到后20cm的處接到像?，F(xiàn)將凹透鏡撤去，將屏移前5cm至處，重新接收到像。求凹透鏡的焦距。

解：按題意無凹透鏡時所成的實像正是凹透鏡引入后的虛物，此時對凹透鏡來說，物距，像距。由高斯公式解得凹透鏡焦距。11（2班）一光學系統(tǒng)由一焦距為5.0cm的會聚透鏡和一焦距為10.0cm的發(fā)散透鏡組成，在之右5.0cm。在之左10.0cm處置一小物，求經此光學系統(tǒng)后所成的像的位置和橫向放大率。用作圖法驗證計算結果。解：這是兩次成像問題，設對的物距，像距分別為，，對的物距，像距分別為，，并注意到，是在右方的距離。把數據代入高斯公式得解得并有所以經此光學系統(tǒng)像成在之右10.0cm。橫向放大率分別為總放大率為作圖法驗證如附圖所示。

7理想光具組理論3如圖所示，已知光具組的主面和焦點，用作圖法求各圖中Q的像（入射線從左到右）。解：如右圖所示：4附圖所示的聯(lián)合光具組中，已知光具組Ⅰ的主面為，，焦點為，；光具組Ⅱ的主面為，，焦點為，。用作圖法求聯(lián)合光具組的主面和焦點。解：如下圖所示

8求放在空氣中玻璃球的焦距和主面，焦點的位置，并作圖表示。已知玻璃球的半徑2.00cm，折射率為1.500。解:在傍軸條件下，玻璃球是由兩個折射成像球面組成的共軸光具組。如圖所示，與重合；，與重合，且，。先求出單球面的焦距分別為：而且因此即在之右2.00cm處，在之左2.00cm處。在之左1.00cm處，在之右1.00cm處，其位置分別標示為附圖。由此可見和重合，均在球心C處。10（1）如圖所示，已知光具組的主面和焦點，用作圖法求光線1的共軛線；（2）在圖上標出光具組節(jié)點，的位置。解：如下圖所示：

11如圖所示，已知光具組的主面和節(jié)點，1—1’是一對共軛光線，求光線2的共軛光線。（如上圖）8光學儀器2某照相機可拍攝物體的最近距離為1m，裝上2D的近拍鏡后，能拍攝的最近距離為多少？（假設近拍鏡與照相機鏡頭是密接）解：，，并且解得即為能拍攝的最近距離。6一架顯微鏡的物鏡和目鏡的相距20.0cm，物鏡焦距7.0mm，目鏡焦距5.0mm。把物鏡和目鏡都看成是薄透鏡，求：（1)被觀察物到物鏡的距離；(2)物鏡的橫向放大率；(3)顯微鏡的總放大率；(4)焦深。解：（1）顯微鏡的工作距離應使小物成放大的實像（中間像）于目鏡第一焦點附近（靠里一些），故按題意的此顯微鏡中間像