電磁場(chǎng)與電磁波第一章矢量2014

1電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)2第1章矢量分析授課：高洪民taoloveit@163.com138112882283第1章矢量分析授課：高洪民taoloveit@163.co/p>

電磁波是電磁場(chǎng)的一種運(yùn)動(dòng)形態(tài)。電與磁可說是一體兩面，電流會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，變動(dòng)的磁場(chǎng)則會(huì)產(chǎn)生電流。變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)構(gòu)成了一個(gè)不可分離的統(tǒng)一的場(chǎng)，這就是電磁場(chǎng)。變化的電磁場(chǎng)在空間的傳播形成了電磁波，電磁的振幅變動(dòng)就如同微風(fēng)輕拂水面產(chǎn)生水波一般，因此被稱為電磁波，也常稱為電波。41、課程簡(jiǎn)介①先修內(nèi)容：電磁學(xué)（普通物理） 高等數(shù)學(xué) 工程數(shù)學(xué)②后續(xù)課程：本科——微波技術(shù)基礎(chǔ)、天線原理 等碩士——高等電磁理論、射頻電路 等③應(yīng)用：

A.“微波技術(shù)研究所”涉及的領(lǐng)域

高頻電路分析、天線設(shè)計(jì)、雷達(dá)、隱身技術(shù)、計(jì)算電磁學(xué)

B.更廣泛的領(lǐng)域 通信、遙感、遙控遙測(cè)、電磁兼容、生物電磁學(xué)……5

電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)電場(chǎng)靜態(tài)磁場(chǎng)（第四章）靜電場(chǎng)（第二章）恒定電場(chǎng)（第三章）時(shí)變場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng)（第七章） 基本原理電磁波輻射（第十章） 天線原理矢量分析（第一章） 高等數(shù)學(xué)靜電場(chǎng)邊值問題（第五章） 工程數(shù)學(xué)（二~五章）（六~九章）電磁感應(yīng)（第六章） 引子電磁波的傳播有界空間（第九章）微波技術(shù)基礎(chǔ)無界空間（第八章）電磁學(xué)62、參考書目（教材）①《電磁場(chǎng)與電磁波》（第三版、第四版）謝處方、饒克謹(jǐn)

O441.42=3、O441.42=4 16開 ②《電磁場(chǎng)與電磁波》

焦其祥

O441.4104 16開③《電磁場(chǎng)與電磁波》（第一版、第二版）

BhagSinghGuru著周克定等譯

O441.482、O441.482=2 16開72、參考書目（習(xí)題）①《電磁場(chǎng)理論解題指導(dǎo)》

馮亞伯、江志云、崔正勤

O441.4–44/5 16開②《電磁場(chǎng)與電磁波解題指南》

余恒清

O441.4–44/12 16開③《電磁場(chǎng)的難題和例題分析》

張文燦、鄧親俊

O441.4–44/2 32開84、輔導(dǎo)地址：理工大學(xué)4#教學(xué)樓413室電話-Mail：gaohm@3、作業(yè)①每人準(zhǔn)備至少兩本作業(yè)本②獨(dú)立完成，嚴(yán)禁抄襲9在電磁理論中，研究某些物理量時(shí)，需要知道這些物理量的空間分布和變化規(guī)律，如電位、電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度等，因此引入了場(chǎng)的概念。即：場(chǎng)是用來研究某些物理量的空間分布和變化規(guī)律的量。

如果某一物理量在每一時(shí)刻、在空間中的某一點(diǎn)都有確定的值，則稱在此空間確定了該物理量的場(chǎng)。電磁場(chǎng)是分布在三維空間的矢量場(chǎng)，什么是矢量，首先從標(biāo)量談起。10本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3

標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4

矢量場(chǎng)的通量與散度1.5

矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度1.6

無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)1.7

拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理11

電磁場(chǎng)是分布在三維空間的矢量場(chǎng)，什么是矢量，首先從標(biāo)量談起。P11.1矢量代數(shù)1.1.1標(biāo)量和矢量P21.1.2矢量的加法和減法1.1.3矢量的乘法12電磁場(chǎng)是分布在三維空間的矢量場(chǎng)，什么是矢量，首先從標(biāo)量談起。1.1.1標(biāo)量和矢量任一代數(shù)量可以叫做標(biāo)量，給標(biāo)量一個(gè)物理單位，就得到有物理意義的標(biāo)量，也叫做物理量。如電壓u、電荷量Q、質(zhì)量m、能量W等賦予矢量一個(gè)“物理單位”，則得到具有物理意義的矢量。如電場(chǎng)強(qiáng)度矢量、磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量、作用力矢量、速度矢量等131.標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示

注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊?/p>

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

14矢量用坐標(biāo)分量表示zxy15（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的加法矢量的減法

在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律16（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）——矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量與的夾角——矢量的平行、重合——矢量的正交、垂直（1.2.4)p417（4）矢量的矢積（叉積）符合右手螺旋法則qsinABq矢量與的叉積單位坐標(biāo)矢量若，則若，則不符合交換律18（4）矢量的矢積（叉積）符合右手螺旋法則qsinABq矢量與的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為（1.2.5)p419（5）矢量的混合運(yùn)算——

分配律——

分配律——

標(biāo)量三重積——

矢量三重積20

場(chǎng)是用來研究某些物理量的空間分布和變化規(guī)律的量。矢量分析是研究電磁場(chǎng)在空間的分布和變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)規(guī)律之一。為研究具有物理意義的矢量，需要把矢量放置在空間，因此物理量的空間分布首先涉及到坐標(biāo)系。

1.2

三種常用的正交坐標(biāo)系21

坐標(biāo)系是將空間的點(diǎn)的位置用一組有順序的、一一對(duì)應(yīng)的數(shù)值來建立有關(guān)點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于位于平面上的一個(gè)點(diǎn)，只需一組二維獨(dú)立坐標(biāo)便可確定其位置；而對(duì)于空間中的點(diǎn)，任何描述三維空間的點(diǎn)的坐標(biāo)系則需要三個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)變量。當(dāng)坐標(biāo)變量為單一常數(shù)時(shí)，分別代表空間的三組曲面或平面，稱為坐標(biāo)面。如果每?jī)山M坐標(biāo)面相交成線，則其交線稱為坐標(biāo)曲線。1.2

三種常用的正交坐標(biāo)系22

直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系是正交坐標(biāo)系中最常見的三種坐標(biāo)系。

在電磁場(chǎng)與電磁波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系即采用：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。1.2

三種常用的正交坐標(biāo)系231.2

三種常用的正交曲線坐標(biāo)系

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。由三條正交曲線組成的、用來確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。若過空間任意M點(diǎn)的三條坐標(biāo)曲線兩兩相互正交，則稱這種坐標(biāo)系為正交坐標(biāo)系。為了研究某些物理量的空間分布和變化規(guī)律，必須引入坐標(biāo)系。P31.2三種常用的正交坐標(biāo)系241.直角坐標(biāo)系

見WORD版課件P2課本p5坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

odzdydx25位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

odzdydx課本p51.直角坐標(biāo)系

26坐標(biāo)變量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）課本p5坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系（1.2.13-15)課本p62.圓柱坐標(biāo)系不是常矢量，其方向隨空間坐標(biāo)變化坐標(biāo)單位矢量27坐標(biāo)變量圓柱坐標(biāo)系中的矢量運(yùn)算位置矢量線元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）課本p5課本p6、72.圓柱坐標(biāo)系

在增加方向上的微分元是

同各自坐標(biāo)的微分之比稱為度量系數(shù)或拉梅系數(shù)282.圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量圓柱坐標(biāo)系中的矢量運(yùn)算線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）課本p5課本p7311.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。

例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。

例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。如果場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)，則稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之叫做時(shí)變場(chǎng)。

為了實(shí)現(xiàn)全球?qū)Ш蕉ㄎ唬柚鶪PS系統(tǒng)，我們可以給出一個(gè)載體的空間位置和時(shí)間，即定位、授時(shí)。確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定的物理量與之對(duì)應(yīng)，則稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。1標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)321.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。

例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。

例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。如果場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。1標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為與時(shí)間有關(guān)：

靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為與時(shí)間無關(guān)：33標(biāo)量場(chǎng)的等值面

等值面:

標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。

等值面的特點(diǎn)：意義:

形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。標(biāo)量場(chǎng)的等值線(面)曲面“平行”：341.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)描述了場(chǎng)量如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等物理量的分布情況。矢量場(chǎng)描述了場(chǎng)量如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等物理量的分布情況為了從數(shù)學(xué)研究標(biāo)量場(chǎng)在場(chǎng)中任一點(diǎn)沿各個(gè)方向的變化，引入方向?qū)?shù)和梯度。

分析標(biāo)量場(chǎng)沿著任意一個(gè)矢量的變化率情形，并考慮復(fù)合函數(shù)的微分求解辦法。352.方向?qū)?shù)意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。概念：

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向減?。?/p>

——

u(M)沿方向無變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

取課本p11——

的方向余弦。為dx/dy/dz所圍小體積的對(duì)角線361.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)有無窮多個(gè)方向標(biāo)量場(chǎng)在同一個(gè)點(diǎn)M處沿不同方向的變化率不同。標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)M出發(fā)的某個(gè)方向上的變化率最大。特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？M0M方向?qū)?shù)的概念

概念：，其中是取得最大值的方向(1.3.5)371.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度M0M方向?qū)?shù)的概念

標(biāo)量場(chǎng)的梯度：，其中是取得最大值的方向梯度的表達(dá)式：直角坐標(biāo)系

意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向381.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度M0M方向?qū)?shù)的概念

標(biāo)量場(chǎng)的梯度：，其中是取得最大值的方向意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向P12（1.3.8）：哈密頓Nabla算符，矢性微分算符393.標(biāo)量場(chǎng)的梯度（或）概念：，其中

取得最大值的方向當(dāng)方向l與G方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)最大根據(jù)哈密頓Nabla算符，矢性微分算符根據(jù)對(duì)應(yīng)40圓柱坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系3.標(biāo)量場(chǎng)的梯度（或）(1.3.10)(1.3.11)直角坐標(biāo)系

41標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）常數(shù)微分常數(shù)與函數(shù)的函數(shù)之和的函數(shù)之積的復(fù)合函數(shù)的42

解

(1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為

例1.2.1

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z

描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：

(1)該函數(shù)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。

(2)求該函數(shù)沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。43表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對(duì)于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為cos0=1,cos900=144而該點(diǎn)的梯度值為

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。451.4矢量場(chǎng)的通量與散度

1.矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向。矢量線OM

462.矢量場(chǎng)的通量

問題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大?。恳胪康母拍?。

通量的概念其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量。

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是面積元矢量符合右手螺旋法則47通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義閉合曲面內(nèi)部有正通量源閉合曲面內(nèi)部有負(fù)通量源閉合曲面內(nèi)部無通量源483.矢量場(chǎng)的散度泰勒公式493.矢量場(chǎng)的散度

為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的散度。

散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。50直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP51直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP穿出前側(cè)面的凈通量值為52直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP穿出后側(cè)面的凈通量值為53直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP54直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP

穿出前側(cè)面的凈通量值為

穿入后側(cè)面的凈通量值為55直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出右、左兩側(cè)面的凈通量值為（參考）令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP

穿出右側(cè)面的凈通量值為（參考）

穿入左側(cè)面的凈通量值為（參考）56根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為

同理，分析穿出另外兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為57圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：584.散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S

從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即

散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。59通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義閉合曲面內(nèi)部有正通量源閉合曲面內(nèi)部有負(fù)通量源閉合曲面內(nèi)部無通量源601.5矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度

矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場(chǎng)。

不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。61環(huán)流的概念

矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C的線積分，即62

如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。

磁感應(yīng)線要么不穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線

安培環(huán)路定理：磁場(chǎng)強(qiáng)度H沿閉合路徑C的環(huán)流就是通過以C為邊界的有向曲面S的總電流。63

安培環(huán)路定理：磁場(chǎng)強(qiáng)度H沿閉合路徑C的環(huán)流就是通過以C為邊界的有向曲面S的總電流。取則上式建立了磁場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流與電流的關(guān)系。

磁感應(yīng)線要么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線

如環(huán)流不為零，則認(rèn)為場(chǎng)中有產(chǎn)生該矢量的源，這種源不發(fā)出矢量線也不匯聚矢量線，它所產(chǎn)生的矢量場(chǎng)的矢量線是閉合曲線，叫做旋渦源。64如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。環(huán)流的概念

矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C的線積分，即如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。65

矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。

2.矢量場(chǎng)的旋度（）

（1）環(huán)流面密度稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向

的環(huán)流面密度。特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向

有關(guān)。

過點(diǎn)M

作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限(1.5.2)p2166而

推導(dǎo)

的示意圖如圖所示。oyDz

DyCMzx1234計(jì)算的示意圖

直角坐標(biāo)系中、、的表達(dá)式67于是

同理可得故得泰勒公式68于是

同理可得故得概念：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場(chǎng)的旋度69概念：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場(chǎng)的旋度70旋度的計(jì)算公式:

直角坐標(biāo)系寫成行列式形式為（1.2.5)p4（1.2.7)p2371旋度的計(jì)算公式:

直角坐標(biāo)系

圓柱坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系72旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零733.斯托克斯定理

斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即741.矢量場(chǎng)的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。1.6無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)752.矢量場(chǎng)按源的分類（1）無旋場(chǎng)性質(zhì)：

，線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)762.矢量場(chǎng)按源的分類（1）無旋場(chǎng)性質(zhì)：

，線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)77（2）無散場(chǎng)僅有旋度源而無散度源的矢量場(chǎng)，即性質(zhì)：無散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)78（3）無旋、無散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）79（3）無旋、無散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無旋場(chǎng)部分和無散場(chǎng)部分無旋場(chǎng)部分無散場(chǎng)部分80（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無旋場(chǎng)部分和無散場(chǎng)部分無旋場(chǎng)部分無散場(chǎng)部分814.散度和旋度的區(qū)別

82梯度的表達(dá)式：直角坐標(biāo)系

對(duì)于標(biāo)量場(chǎng)的梯度（或）意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理

標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，再對(duì)求散度，即，則叫做標(biāo)量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算，記作。831.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理

1.拉普拉斯運(yùn)算

標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：——拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系84

矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：即注意：對(duì)于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：852