常微分方程模型

常微分方程模型簡介1

目錄

1.人口模型(人口增長和人口控制模型)2.作戰(zhàn)模型3.火箭發(fā)射模型

21.人口增長模型人口問題是當今世界人們最關心的問題之一,從我們建國以來的歷史和當前的現(xiàn)實已經(jīng)證明.這個問題也是我們國家必須認真思考和慎重對待的重大問題.過去曾認為人多好辦事,對呼吁人口增長的經(jīng)濟學家馬寅初錯誤地開展批評,結果造成人口超過13億,背上了沉重的包袱.因此要實現(xiàn)四個現(xiàn)代化,應有效地控制人口增長,就必須制定正確的人口政策,為此就要建立人口增長的數(shù)學模型,用以描述人口增長過程,通過分析對人口增長進行預測,制定相應的人口政策以控制人口增長.3

影響人口增長的因素很多,人口的多少,出生率的高低,人口男女比例的大小,人口年齡組成情況,工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平高低,各民族的風俗習慣,自然災害,戰(zhàn)爭,人口遷移等等.如果一開始把眾多因素全考慮,則無從下手.我們先把問題簡化,只考慮影響人口的主要因素—增長率(出生率減去死亡率),其余因素暫不考慮,建立一個較粗的數(shù)學模型.在這個模型的基礎上逐步考慮次要因素的影響,從而建立一個與實際更加吻合的數(shù)學模型.4

初看起來人口增長是按整數(shù)變化的,不是時間的可微函數(shù),是不能用微分方程來描述的.但是若人口總數(shù)很大時,可以近似認為它是時間的連續(xù)函數(shù),甚至是可微的函數(shù).所以人口增長可以用微分方程來描述.(這種假設,認識是建立模型的基礎)5設,表示t時刻人口總數(shù)和增長率,

只考慮增長率,其它因素的影響不考慮.

則在t至t+這段時間內(nèi)人口總數(shù)增長為

兩端同除以,并令,得

我們將逐步深入討論上面這個模型

6一.馬爾薩斯(malthus)模型(指數(shù)增長模型)英國人口學家馬爾薩斯(1766—1834)根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計資料,于1798年提出了著名的人口指數(shù)增長模型.

基本假設

人口增長率是常數(shù),

或者說,單位時間內(nèi)人口的增長量與當時人口成正比.

在（1）式中令=r(常數(shù))得其解:(3)7(2)式是一個線性方程,稱為馬爾薩斯人口模型,人口以為公比,按幾何級數(shù)增加.

據(jù)統(tǒng)計,1961年世界人口總數(shù)為3.06,而在此之前的十來年間人口按每年2%的速率增長.因此

公式(4)能非常準確地反映了在1700-1961年間世界估計人口總數(shù),

8但當t=2510年,=(2萬億),

t=2635年,=(18萬億),

t=2670年,=(36萬億),

顯然,這些數(shù)字說明馬爾薩斯人口模型對長期的預測是不正確的.

由上可以看出,馬爾薩斯人口增長模型對1700-1961年的人口總數(shù)是對的,但對未來的人口總數(shù)預測不正確,應予以修正.

二、logistic模型(阻滯增長模型)

由上面分析,馬爾薩斯人口模型對1700-1961年間人口總數(shù)的檢驗是對的,而未來的人口總數(shù)預測又是錯的,原因何在?

9產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是:隨著人口的增加,自然資源,環(huán)境條件等因素對人口繼續(xù)增長的阻滯作用越來越顯著.如果當人口較少時(相對于資源而言),人口增長率還可以看作常數(shù)的話,那么當人口增加到一定數(shù)量后,增長率就會隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少,許多國家人口增長的實際情況完全證實了這一點.

看來為了使人口預報,特別是長期預報更好地符合實際情況,必須修改指數(shù)增長模型關于人口增長率是常數(shù)這個基本假設.

10荷蘭生物學家Verhulst引入常數(shù),用來表示自然資源和環(huán)境條件所允許的最大人口,并假定人口增長率

即人口增長率隨著的增加而減少,當時，人口增長率趨于零．

其中：是根據(jù)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)或經(jīng)驗確定的常數(shù);

因子體現(xiàn)了對人口增長的阻滯作用.

由此得：Logistic模型

11解之得：根據(jù)(6),(7)兩式可畫出和曲線圖如圖1-a及圖1-b：

圖1-a

圖1-b12如圖1-a,是一條拋物線，他表示人口增長率隨著人口數(shù)量的增加而先增后減，在處達到最大值。

如圖1-b，是一條型曲線，拐點在處，當時，

本世紀初人們曾用這個模型預報美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較，直到1930年計算結果都相吻合，后來的誤差越來越大，一個明顯原因是到1960年美國實際人口已突破了過去確定最大人口。

13這個模型改進了Mslthus模型，但不易準確得到，事實上，隨著生產(chǎn)力的發(fā)展和人們認識能力的改變，也是可以改變的。

關于人口模型這方面的內(nèi)容是很豐富的，我國學者為了解決我國人口迅速增長的問題，作了大量的調查研究，建立了不少的人口模型，為我國政府指定相應的人口政策提供依據(jù)。下面僅給一個我國的人口控制離散模型：

14三、人口控制模型：

在前面討論的兩個模型中，我們只關心人口總數(shù)，不考慮人口的年齡分布。事實上在研究人口問題時，按年齡分布的人口結構情況是非常重要的。兩個國家或地區(qū)，目前人口的總數(shù)一樣，如果其中之一的年輕人比例高于另一個，那么二者的人口發(fā)展狀況將很不一樣。下面將考慮人口年齡，不同年齡的生育率及死亡率等因素來建立人口離散模型，用以預測及控制人口增長及人口老化問題。

人口發(fā)展方程：

時間以年為單位，年齡按周歲計算，

設最大年齡為m歲，

15記為第t年歲（滿周歲而不到周歲）的人數(shù)，

只考慮由于生育、老化和死亡引起的人口演變，而不記遷移等社會因素的影響。

記為第t年歲人口的死亡率，即

于是：

16記為第t年歲女性生育率，即每位女性平均生育嬰兒數(shù)，

[]為育齡區(qū)間,

為第t年歲人口的女性比，

則第t年的出生人數(shù)為：

記為第t年嬰兒死亡率，

即第t年出生但未活到人口統(tǒng)計時刻的嬰兒比例

17于是

對于,將（9）、（10）代入（8）得

將分解為：,其中是生育模式，

用以調整育齡婦女在不同年齡時生育率的高低，滿足：

18利用（13）式對（12）式的求和得到可知表示第t年每個育齡婦女平均生育的嬰兒數(shù)，

若設在t年后的一個育齡時期內(nèi)各個年齡的女性生育率都不變，

那么又可表示為

即是第t年歲的每位婦女一生平均生育的嬰兒數(shù)，稱總和生育率，或生育胎次，它是控制人口數(shù)量的主要參數(shù)。19將（12）式代入（11）式，并記：

則（11）式寫作：

制訂生育政策就是確定和，通過控制生育多少，通過可以控制生育的早晚和疏密。

引入向量、矩陣記號：

2021那么（17）式和（8）式（）可以寫作

這個向量形式的一階差分方程就是人口發(fā)展方程。

說明：

(1)當初始人口分布已知時，又由統(tǒng)計資料確定A(t)及B(t)，并且給定了總和生育率以后，用這個方程就可以預測發(fā)展過程。

(2)在控制論中，稱狀態(tài)變量，

作為控制變量。

(3)在穩(wěn)定的社會環(huán)境下，可以認為死亡率、生育模式和女性比不隨時間變化，于是A(t),B(t)為常數(shù)矩陣，

22（21）式化為：

雖然全面地反映了人口的年齡結構及其發(fā)展過程，但是為了更簡明地描述人口的特征，還需要一些指標，稱為人口指數(shù)，主要有：

人口指數(shù)：

人口總數(shù)

平均年齡

23平均壽命（經(jīng)過復雜計算可得）

其含義是：第t年出生的人不論活到哪一年,死亡率都用第t年的死亡率計算時,這些人的平均存活時間.我國人口的平均壽命在本世紀三十年代是35歲左右,解放初期為50歲左右(1950年北京地區(qū)),到1978年達到68.3歲.

老年化指數(shù)24它是反映人口老年化程度的指標.平均年齡R(t)越大，越大;對于R(t)相同的兩個國家和地區(qū)，平均壽命S(t)大時，表示健康水平高，一個人能工作的時間在一生中占的比例大，所以老齡化指數(shù)小。<0.5時屬于青壯年型社會，我國=0.3835(1978年)

.

依賴性指數(shù)其中25這里和分別是男性和女性勞動力的年齡區(qū)間，是有勞動力的人口數(shù)，于是表示每個勞動力需供養(yǎng)的人口數(shù)。我國(1978年)，世界平均水平為（1981年）。我國人口數(shù)的預測用模型（3.9-21）根據(jù)1978年的統(tǒng)計資料對我國人口總數(shù)作的預測如下，死亡率用下列公式外推：

26生育模式取分布的離散值：

性別比取統(tǒng)計數(shù)據(jù)的平均值0.487，在不同的總和生育率下得到1980--2080年一系列結果：1)若（七十年代中期水平），則2000年將達14.2億，2080年達43.1億，近于當前全世界人口總和；

2)若（約1980年水平），則2000年將達12.9億，2080年為21.2億；

3)若（大約是保持人口長期穩(wěn)定的水平），則2000年為12.2億，72年后達到最大值，此后略有下降；

274)若，則在2007年達到最大值，到2080年將降至7.8億(1968年的水平)；

5)若，即全國嚴格執(zhí)行一對夫婦只生一個孩子的政策，則在2004年達到最大值10.6億，50年后降至9.5億（1978年水平）。

282.作戰(zhàn)模型問題：兩軍對陣，現(xiàn)甲軍有個士兵，乙軍有個士兵，試討論戰(zhàn)斗過程中雙方的傷亡情況以及最后的結局。

一、正規(guī)戰(zhàn)爭模型令表示t時刻甲軍人數(shù)，

表示t時刻乙軍人數(shù)。

在以上假設下，顯然甲軍人數(shù)越多，乙軍傷亡越大，反之亦然，所以有甲軍人數(shù)的減員率與乙軍人數(shù)成正比；

乙軍人數(shù)的減員率與甲軍人數(shù)成正比。

29所以正規(guī)戰(zhàn)爭模型為其中均為常數(shù)，

a(或b)越大，表示乙軍（或甲軍）戰(zhàn)斗力越強。

記E＝稱為甲軍與乙軍的交換比，

聯(lián)立方程(10-1)求解得分離變量并積分得

30若初始條件為

(3)式就是“蘭徹斯特平方定律”，它在xoy平面上是一族雙曲線，如圖

31圖上箭頭表示兵力隨時間而變化的方向。

由圖可知若，乙軍勝，且當y減少到時，x將為零；

若，平局，且當y減少到零時，x也減少到零；

若，甲軍勝，且當x減少到時，y將為零。

32對于乙軍來說，為了保持取勝的戰(zhàn)斗態(tài)勢，當然希望，即

所以要想取勝，要么士兵多，要么增加士兵的戰(zhàn)斗力；因此，如果士兵的戰(zhàn)斗力強，當然可以以少勝多。另一方面，(5)式可寫成(6)式說明雙方初始兵力之比以平方關系影響著戰(zhàn)爭的結局。

33例如，若乙方兵力增加到原來的兩倍（甲方不變），則影響戰(zhàn)爭結局的能力增加到4倍；或者說，若甲方的戰(zhàn)斗力增加到原來的4倍，那么為了與此相抗衡，乙方只需將初始兵力增加到原來的2倍，由于這個原因，正規(guī)戰(zhàn)爭模型又稱為平方律模型。

例如：如果戰(zhàn)爭開始時甲軍為6000人，乙軍為3000人。當交換比E＝1時，即兩軍的裝備和戰(zhàn)斗力差不多時，由(10-4)式可確定從而得微分方程特解

由于交換比為1，而甲軍人數(shù)占優(yōu)勢，故乙軍失敗。

34當乙軍被消滅光時，即y＝0

甲軍還剩下的人數(shù)

即甲軍損失人數(shù)為6000－5200＝800人可見，中國古代憑戰(zhàn)爭經(jīng)驗總結出來的“殺人三千，自損八百”確實存在數(shù)學上的理論根據(jù)。

如果交換比E=得

甲軍勝當y＝0時，

所以甲軍損失：

356000－3000＝3000人，

即殺人3000自損3000。如果交換比E＝

所以當乙軍被消滅,即y＝0時，x＝0，即雙方“同歸于盡”。

如果交換比E＝得

乙軍勝當x＝0時，

這說明雖然乙軍人少，但能以一當五最后戰(zhàn)勝甲軍，而只損失了1660人。

36可見，戰(zhàn)爭勝負的決定性的因素是“交換比”，即裝備和戰(zhàn)斗力（包括將帥的指揮和官兵的素質及勇氣），而不僅是人數(shù)，人數(shù)只是我們決定戰(zhàn)斗的形式，例如人多勢大可以用來分割圍攻、打進攻戰(zhàn)；人少勢弱只能回避銳利、打防守戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)?？傊?，在未來的戰(zhàn)爭中，要想取勝，不能抱著人多勢重的思想，而應大力進行國防現(xiàn)代化的建設，以提高我軍對敵作戰(zhàn)的交換比。37問題：如果兩軍作戰(zhàn)時有增援，其作戰(zhàn)模型如何？令f(t)和g(t)分別表示甲軍和乙軍t時刻的增援率，

則正規(guī)戰(zhàn)爭模型為

J.H.Engel用二次大戰(zhàn)末期美日硫黃島戰(zhàn)役中的美軍戰(zhàn)地記錄，對正規(guī)戰(zhàn)爭模型進行了驗證，發(fā)現(xiàn)模型結果于實際數(shù)據(jù)吻合得很好。38

硫黃島位于東京以南660英里的海面上，是日軍的重要空軍基地，美軍在1945年2月19日開始進攻，激烈的戰(zhàn)斗持續(xù)了一個月，雙方傷亡慘重，日軍守軍21500人全部陣亡或被浮，美軍投入兵力73000人，傷亡20265人，戰(zhàn)斗進行到28天時美軍宣布占領該島，實際戰(zhàn)斗到36天才停止。美軍的戰(zhàn)地記錄有按天統(tǒng)計的戰(zhàn)斗減員和增援情況，日軍沒有后援。根據(jù)實際戰(zhàn)地記錄，由正規(guī)戰(zhàn)爭模型得到的美軍傷亡的理論曲線與實際傷亡曲線相當吻合。

39二、混合戰(zhàn)爭模型記表示t時刻游擊隊人數(shù)；

表示t時刻正規(guī)軍人數(shù)。

假設：

(1)游擊隊的戰(zhàn)斗減員率與及的乘積成正比，因為越大，目標越大，被敵方子彈命中的可能性越大，另一方面，越大，火力越強，的傷亡人數(shù)也就越大。(2)正規(guī)軍的戰(zhàn)斗減員率與游擊隊人數(shù)成正比。

(3)游擊隊和正規(guī)軍的增援率分別為f(t),g(t)。

40則混合戰(zhàn)爭模型：

其中為常數(shù)。

稱為正規(guī)軍的戰(zhàn)斗有效系數(shù)；稱為游擊隊的戰(zhàn)斗有效系數(shù)；

戰(zhàn)斗中，若雙方都無增援，即f(t)＝g(t)＝0，

則(10-7)變?yōu)?1由(10-8)得積分

若初始條件為

(10-9)式在xoy平面上是一族拋物線，如圖

42圖中箭頭表示兵力隨時間而變化的方向。

由圖知：

若M>0，乙軍勝，且當y減少到時，x將為零；

若M＝0，平局，且當y減少到零時，x也將為零；

若M<0，甲軍勝，且當x減少到時，y將為零。

43因此對于正規(guī)軍來說，為了保證取勝的戰(zhàn)斗態(tài)勢，必須M>0，即所以正規(guī)軍取勝的條件：由于分別表示正規(guī)軍與游擊隊的戰(zhàn)斗有效系數(shù)，所以可將它們表示為其中是正規(guī)軍的射擊率（每個士兵單位時間射擊次數(shù)），

44是正規(guī)軍每次射擊的命中率；

是游擊隊的射擊率（每個士兵單位時間射擊次數(shù)），

是游擊隊每次射擊的命中率。

但在戰(zhàn)斗過程中，可假定正規(guī)軍在游擊隊的火力之內(nèi)且游擊隊每次射擊是有目標的，而游擊隊雖然在正規(guī)軍的火力之內(nèi)，但活動范圍大且是隱蔽的，所以正規(guī)軍每次命中率與游擊隊活動范圍及每次射擊的打擊面有關，

因此又可表示為表示游擊隊的活動范圍；

表示正規(guī)軍每次射擊有效面積。45所以將(10-12)代入(10-11)得正規(guī)軍取勝的條件：

假定正規(guī)軍的作戰(zhàn)火力比游擊隊作戰(zhàn)火力強，

不妨設；

游擊隊的作戰(zhàn)兵力＝100人，

命中率＝0.1，

46活動范圍＝0.1平方千米，

正規(guī)軍每次射擊的有效面積＝1平方米，

則由(6-13)式，正規(guī)軍取勝的條件為即正規(guī)軍必須10倍于游擊隊的兵力才能取勝。

47

美國人曾用這個模型分析越南戰(zhàn)爭（甲方為越南，乙方為美國）。根據(jù)類似于上面的計算以及四五十年代發(fā)生在馬來西亞、菲律賓、印尼、老撾等地的混合戰(zhàn)爭的實際情況估計出，正規(guī)軍一方要想取勝必須至少投入8倍于游擊隊一方的兵力。而美國最多只能派出6倍于越南的兵力。越南戰(zhàn)爭的結局是美國不得不接受和談并撤軍，越南人民取得最后勝利。

三、游擊戰(zhàn)爭模型483.發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級火箭一、為什么不能用一級火箭發(fā)射衛(wèi)星？1、衛(wèi)星進入軌道，火箭所需的最低速度。將問題理想化，假設:

(a)、衛(wèi)星軌道為過地球中心某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上以地球引力作為向心力繞

地球作平面圓周運動（如圖)49(b)、地球是固定于空間的均勻球體，其他星球對衛(wèi)星的引力忽略不計。設地球半徑為R，中心為O，地球質量看成集中于球心（根據(jù)地球為均勻球體的假設），曲線C為地球表面，為衛(wèi)星軌道，其半徑為r，衛(wèi)星質量為m，

根據(jù)牛頓定理，地球對衛(wèi)星的引力為其中G為引力常數(shù)，可由衛(wèi)星在地面的重量算出，即

50

代入(11-1)式得

由假設(a)，衛(wèi)星所受到的引力既它作勻速圓周運動的向心力，故又有

故有從而速度為

51取g=9.81m/,R=6400km,可算出衛(wèi)星離地面高度為h公里處的速度如下表

離地面高度h(km)1002004006008001000衛(wèi)星速度v(km/s)7.867.807.697.587.477.37

2、火箭推進力及速度的分析假設火箭在噴氣推動下作直線運動，火箭重力及空氣阻力不計。

52設在t時刻火箭質量為m(t)，速度為v(t)，均為t的連續(xù)可微函數(shù)。

由泰勒展式有在t到t+時間內(nèi)火箭的質量減少量為這個質量的減少，是由于燃料燃燒噴出氣體所致。

設噴出氣體相對于火箭的速度為u(就一種燃料而言為常數(shù))，則氣體相對于地球運動速度為v(t).

53根據(jù)動量守恒定律知

t時刻火箭動量=（t+t)時刻火箭動量

+（t+t)時刻轉換到氣體的能量

所以從而有上式兩端同除以，并令得54(11-2)式又端表示火箭所受的推力，由此解得此處

(11-2)式表明火箭所受的推力等于燃料消耗速度與氣體相對于火箭運動速度的乘積

(11-3)式表明,在和一定的條件下,v(t)由噴發(fā)速度(相對于火箭)u及質量比決定.

這為提高火箭速度找到了正確的途徑:提高u(從燃料上想法),減少m(t)(從結構上想法).完全合乎實際.

553、一級火箭末速度上限(目前技術條件下)火箭—衛(wèi)星系統(tǒng)的質量可分為三部分:

(有效負載,如衛(wèi)星),

,(燃料質量),

(結構質量,如外殼,燃料容器及推進器).在發(fā)射一級火箭運載衛(wèi)星時,最終(燃料耗盡)質量為,

由式(3)知末速度為一般來說,結構質量在中應占一定的比例,

56在現(xiàn)有的技術條件下,要使燃料倉和發(fā)動機的質量之和小于所載燃料的或是很難做到的.

其中為常數(shù),

為初始總質量,即結構質量為燃料和結構質量和的倍,

代入(4)式得

由此可以得出一個重要結論:57對于給定的u值,當凈栽質量時(即假設火箭不攜帶任何東西).火箭所能達到的最大速度為我們已知目前的火箭燃料其u=3km/s,如果取則上式可得前面已推出,即使要把衛(wèi)星送入600公里高的圓形軌道,火箭的末速度應為7.58km/s,而剛才我們推導火箭速度是在假定忽略空氣阻力,重力,不攜帶任何東西的情況下，最大速度才達7km/s.由此得出,如上的單級火箭是不能用于發(fā)射衛(wèi)星的.

58我們回過頭來檢查上面的設計中有那些地方不合理,以便加以改進.我們發(fā)現(xiàn),火箭的推進力在加速著整個火箭,其實際效率越來越低,最后幾乎是在加速著最終毫無用處的結構質量(包括空油箱).所以應改進火箭的設計.

二、理想的火箭模型理想的火箭模型應該是隨著燃料燃燒隨時拋棄無用的結構。

假設在t到時間內(nèi)，丟掉的總質量為1個單位（包括結構質量和燃料燃燒質量），其中丟掉結構質量為<<1），燒掉的質量為1。

59當然，不可能制造這樣的理想火箭，但是我們把實際情況理想化以后，使得問題變得比較簡單，在此基礎上建立相應的數(shù)學模型，從而可獲得一些我們需要的信息，通過一些修正，我們就可以把理想過程還原到實際過程。建模由動量守恒定律：

代入上式得

60化簡整理，令，可得解得比較(11-5)、(11-6)兩式可知，理想火箭與一級火箭的最大區(qū)別在于：

當燃料燃燒完，結構質量也被逐漸拋掉，僅僅剩下（衛(wèi)星），即，

61從而最終速度為(11-7)式表明：當足夠大便可使衛(wèi)