自動控制理論課件7-5

7.7離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析

對于離散系統(tǒng)來說，影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素除了系統(tǒng)連續(xù)部分的結構、參數(shù)和外部輸入信號外，穩(wěn)態(tài)誤差還與采樣開關的位置、采樣周期的大小有關。7.7.1利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差定義為：若E(z)的全部極點在z平面的單位圓內(nèi)（或在z=1處)。則由終值定理求得7.7.2離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)分析典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結構、參數(shù)的關系。將開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)中包含的z=1極點個數(shù)ν定義為系統(tǒng)的型別。

1.當輸入信號為單位階躍函數(shù)時的穩(wěn)態(tài)誤差

定義靜態(tài)位置誤差系數(shù)

可見，當時，有，則2.當輸入信號為單位斜坡函數(shù)時的穩(wěn)態(tài)誤差

定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)

可見，當時，有，則3.當輸入信號為單位加速度函數(shù)時的穩(wěn)態(tài)誤差

定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù)可見，當時，有，則系統(tǒng)型別ν靜態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差0非零有限值

00∞∞Ⅰ∞非零有限值00∞Ⅱ∞∞非零有限值00Ⅲ∞∞∞000系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)、穩(wěn)態(tài)誤差與典型輸入、系統(tǒng)型別之間的關系

已知采樣系統(tǒng)結構如圖所示。采樣周期T=0.2秒，輸入信號

試用靜態(tài)誤差系數(shù)法，求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：

Ⅱ型系統(tǒng)例7-36為應用終值定理，須判別系統(tǒng)的特征根是否在單位圓內(nèi)。特征方程：

兩個閉環(huán)極點，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

整理得到7.8根軌跡和頻率特性在離散系統(tǒng)分析中的應用

1.根軌跡法

線性離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為幅值方程和相角方程為（根軌跡方程）2.頻率特性法首先利用w變換將系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)變成稱為虛擬頻率。

令

,得到開環(huán)虛擬頻率特性

繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線相頻特性曲線按照繪制的對數(shù)頻率特性曲線，可以用連續(xù)系統(tǒng)中的分析方法判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，計算幅值裕量和相位裕量，確定靜態(tài)誤差系數(shù)，以評價系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。也可以用尼柯爾斯圖求得閉環(huán)頻率特性，然后計算系統(tǒng)的諧振峰值、諧振頻率及帶寬等頻域性能指標。虛擬頻率和實際頻率之間具有關系：

根據(jù)幅值方程和相角方程，可以用連續(xù)系統(tǒng)根軌跡的作圖法則，作出離散系統(tǒng)的根軌跡。需要注意的是，在連續(xù)系統(tǒng)中，決定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定狀態(tài)的是根軌跡與s平面虛軸的交點，而在離散系統(tǒng)中，決定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定狀態(tài)的是根軌跡與z平面上單位圓的交點。7.9線性定常離散系統(tǒng)的數(shù)字校正

線性定常離散系統(tǒng)設計中，常用的性能指標有兩類：第一類指標與連續(xù)系統(tǒng)的大致相同，包括瞬態(tài)性能指標、穩(wěn)定裕量、靜態(tài)誤差系數(shù)、頻域性能指標等。瞬態(tài)性能指標有時也通過閉環(huán)主導極點的位置或阻尼比的形式給出。第二類指標是離散系統(tǒng)特有的，要求系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，具有零穩(wěn)態(tài)誤差和最小時間響應。與連續(xù)系統(tǒng)一樣，離散系統(tǒng)也可以采用串聯(lián)校正、局部反饋校正和復合校正幾種方式。本節(jié)介紹串聯(lián)數(shù)字控制器的設計。7.9.1數(shù)字控制器的模擬化和離散化設計方法1.數(shù)字控制器的模擬化設計方法數(shù)字控制器由于連續(xù)信號經(jīng)采樣后再經(jīng)過保持器可恢復連續(xù)信號，因此，采樣器與相鄰保持器的作用可忽略，這時離散系統(tǒng)可以等效為連續(xù)系統(tǒng)。只要按照連續(xù)系統(tǒng)的校正方法求出連續(xù)校正裝置的傳遞函數(shù)Gc(s)，然后進行離散化。若采樣周期T取的很小，也可以近似為2．數(shù)字控制器的離散化設計方法用離散化方法設計數(shù)字控制器，首先需要對系統(tǒng)中的連續(xù)部分離散化，求出未校正系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，然后選擇合適的D(z)使校正后的系統(tǒng)滿足設計要求。離散化設計方法可以有以下三種：

z域的根軌跡設計法

w域的頻率特性設計法

z域的直接設計方法連續(xù)系統(tǒng)校正方法在離散系統(tǒng)中的推廣

根據(jù)離散系統(tǒng)性能指標的要求，確定Φ(z)或Φe(z),然后利用公式求出D(z)。

或者7.9.2最少拍無差系統(tǒng)的設計稱一個采樣周期為一拍。所謂最少拍無差系統(tǒng)是指在典型輸入信號作用下，能夠以有限拍結束響應過程，且在采樣時刻上無穩(wěn)態(tài)誤差的離散系統(tǒng)。

常見的典型輸入信號及其它們的Z變換分別為：具有的一般形式：

最少拍無差系統(tǒng)的設計方法：首先選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)或Φe(z)，使系統(tǒng)在典型輸入作用下，經(jīng)最少采樣周期后能使輸出序列在各采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零。然后根據(jù)Φ(z)、Φe(z)確定所需要的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。是不含因子的多項式。使穩(wěn)態(tài)誤差為零的條件是Φe(z)中包含有的因子，即F(z)為不含因子的多項式。為滿足瞬態(tài)過程在最少拍結束的要求，需要選擇合適的F(z)，使Φe(z)的全部極點均位于Z平面的原點，且所含z-1項數(shù)最少。如果G(z)不含延遲環(huán)節(jié)z-1及Z平面單位圓上或單位圓外的零極點，則可以取F(z)=1。這時就有說明瞬態(tài)響應只經(jīng)過m拍就進入穩(wěn)態(tài)且誤差為零。下面討論最少拍系統(tǒng)在不同典型輸入信號作用下，數(shù)字控制器D(z)的確定方法。1.輸入為單位階躍信號即m=1,A(z)=1調(diào)節(jié)時間

可以取2.輸入為單位斜坡信號即m=2,調(diào)節(jié)時間

可以取調(diào)節(jié)時間

3.輸入為單位加速度信號即m=3,可以取7.9.3數(shù)字控制器的實現(xiàn)為了使求出D(z)的是物理可實現(xiàn)的，在最少拍系統(tǒng)設計中，Φ(z)及Φe(z)的選擇應遵循以下原則：

D(z)應是有理多項式分式，其極點的數(shù)目應大于等于零點的數(shù)目；

Φe(z)應把G(z)在單位圓上及單位圓外的極點作為自己的零點；

Φ(z)應把G(z)在單位圓上及單位圓外的零點作為自己的零點，當G(z)中含有因子z-1

時，要求Φ(z)也含有相同個數(shù)的z-1因子；由于，和應為階次相同的的多項式，且還應成為包含常數(shù)項等于1的的多項式。在最少拍無差系統(tǒng)設計中，如果G(z)含有時間延遲因子z-1及單位圓上或單位圓外的零極點，就不能直接應用上面的結果。必須對Φ(z)和Φe(z)的選擇加以限制，否則將造成D(z)實現(xiàn)上的困難。根據(jù)上述原則，當G(z)含有單位圓上及單位圓外的零極點以及延遲因子z-1時，選擇Фe(z)時，不能再取F(z)=1，而應使F(z)的零點能夠補償G(z)在單位圓上及單位圓外的極點。此時，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間要延長，從而變成準最少拍系統(tǒng)。

例7-37設單位負反饋線性定常離散系統(tǒng)的連續(xù)部分和零階保持器的傳遞函數(shù)分別為其中采樣周期為T=1(s)。若要求系統(tǒng)在單位斜坡輸入時實現(xiàn)最少拍控制，試求出數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D(z)。

解：

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

最少拍系統(tǒng)應具有的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)分別取

有m=2,輸入為單位斜坡信號時，數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)單位斜坡響應：系統(tǒng)單位斜坡響應的瞬態(tài)過程在第二拍結束。從第二拍開始，采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差達到零。數(shù)字控制器的計算機程序?qū)崿F(xiàn)算法

在數(shù)字控制系統(tǒng)中，數(shù)字控制器D(z)又稱為數(shù)字補償器或數(shù)字濾波器，其脈沖傳遞函數(shù)一般形式為對上式取Z反變換，并經(jīng)過整理得數(shù)字控制器的計算機程序?qū)崿F(xiàn)算法可見，若實現(xiàn)其描述的校正規(guī)律，除了需要當前采樣時刻信息e(kT)外，還需要從計算機存儲單元調(diào)用過去采樣時刻的信息。試寫出上面的例子中數(shù)字控制器D(z)的程序?qū)崿F(xiàn)算法。

解：

例7-38與連續(xù)系統(tǒng)一樣，離散系統(tǒng)所要研究的問題也主要包括模型方法、系統(tǒng)性能分析方法和校正方法。為了保證連續(xù)信號經(jīng)采樣后能夠恢復，要求采樣頻率必須大于等于原連續(xù)信號所含有的最高頻率的兩倍，即滿足香農(nóng)采樣定理。信號恢復需要的理想濾波器一般通過零階保持器近似實現(xiàn)。

描述離散系統(tǒng)的時域數(shù)學模型是差分方程，經(jīng)過Z變換可以獲得離散系統(tǒng)的z域模型，即脈沖傳遞函數(shù)，其重要作用與連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同。由于離散系統(tǒng)中采樣開關配置的多樣性，離散系統(tǒng)不具有連續(xù)系統(tǒng)結構圖化簡的一般規(guī)則。由離散系統(tǒng)的結構圖求脈沖傳遞函數(shù)一般可通過列寫變量之間的代數(shù)關系方程來求解。

線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：離散特征方程的全部特征根均位于z平面上以原點為圓心的單位圓內(nèi)。通過z域到w域的映射，連續(xù)系統(tǒng)的勞斯判據(jù)可以在w域中直接用來判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性除了與系統(tǒng)固有的結構和參數(shù)有關，還與系統(tǒng)的采樣周期有關。本章小結

離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析可以采用時域法、根軌跡法和頻率特性法。時域分析法是利用Z變換求解系統(tǒng)的離散輸出響應，近似計算系統(tǒng)的的動態(tài)性能。與連續(xù)系統(tǒng)類似，離散系統(tǒng)的閉環(huán)極點在z平面上的位置與系統(tǒng)的動態(tài)響應形式有明確的關系。在設計離散系統(tǒng)時，將閉環(huán)極點安置在z平面右半平面的單位圓內(nèi)，并且盡量靠近原點，可以提高系統(tǒng)瞬態(tài)響應速度，并且減少高頻振蕩的幅值和頻率。

在離散系統(tǒng)中，影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素更為復雜。穩(wěn)態(tài)誤差的大小除了與系統(tǒng)連續(xù)部分的結構、參數(shù)以及系統(tǒng)外部輸入信號有關，還與采樣開關的位置、采樣周期的大小有關。離散系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)反映了系統(tǒng)跟隨相應的典型輸入信號時的穩(wěn)態(tài)精度。

設計離散控制系統(tǒng)的數(shù)字控制器可以采用模擬化方法和離散化方法。模擬化設計方法就是按連續(xù)系統(tǒng)理論設計連續(xù)校正裝置，再將該校正裝置離散化。離散化設計方法則在z域中直接設計數(shù)字控制器。本章主要介紹如何用直接數(shù)字設計方法設計最少拍無差系統(tǒng)，使系統(tǒng)的輸出在有限的若干拍內(nèi)實現(xiàn)對典型輸入信號的完全跟蹤。MATLAB在離散控制系統(tǒng)中的應用1．脈沖傳遞函數(shù)在MATLAB中的表示零極點增益形式的脈沖傳遞函數(shù)：

多項式分式形式的脈沖傳遞函數(shù)：

脈沖傳遞函數(shù)兩種形式之間的轉(zhuǎn)換2．連續(xù)系統(tǒng)模型與離散系統(tǒng)模型之間的變換函數(shù)c2dm(

)用于將連續(xù)系統(tǒng)模型變換成離散系統(tǒng)模型，函數(shù)d2cm(

)用于將離散系統(tǒng)模型變換成連續(xù)系統(tǒng)模型。兩個函數(shù)的調(diào)用格式如下：numd表示離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的分子多項式系數(shù)；dend表示離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的分母多項式系數(shù)；num表示連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項式系數(shù)；den表示連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項式系數(shù)；T表示采樣周期；‘method’表示采用的離散化方法，有5種方法選擇。該參數(shù)的默認值為‘zoh’，即零階保持器法，表示在連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)之前帶有零階保持器；用‘matched’表示采用零極點匹配法。3.求閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)函數(shù)feedback()

可用于連續(xù)系統(tǒng)，也可用于離散系統(tǒng)。對于sys=feedback(sys1,sys2,sign)[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)sys1表示G(z)，sys1表示H(z)，num1和den1分別是sys1的分子和分母多項式系數(shù)，num2和den2分別是sys2的分子和分母多項式系數(shù)。Sign取+1表示正反饋，取-1表示負反饋，負反饋時可省略。函數(shù)feedback()的調(diào)用方法：函數(shù)dstep()求單位階躍響應函數(shù)dimpulse()求單位脈沖響應函數(shù)dlsim()求任意給定輸入的響應

4.求離散系統(tǒng)的時間響應函數(shù)的調(diào)用格式如下：[y,x]=dstep(numd,dend,n)或dstep(numd,dend,n)[y,x]=dimpulse(numd,dend