第2部分+插值方法

明德新民止于至善插值和數(shù)據(jù)擬合簡介及應用2004年6月至7月黃河進行了第三次調水調沙試驗，特別是首次由小浪底、三門峽和萬家寨三大水庫聯(lián)合調度，采用接力式防洪預泄防水，形成人造洪峰進行調沙試驗獲得成功。整個試驗期為20多天，小浪底從6月19日開始預泄放水，直到7月13日恢復正常供水結束。小浪底水利工程按設計攔沙量為75.5億m3,在這之前，小浪底共積泥沙達14.15億t，這次調水調沙試驗一個重要目的就是由小浪底上游的三門峽和萬家寨水庫泄洪，在小浪底形成人造洪峰，沖刷小浪底庫區(qū)沉積的泥沙，在小浪底水庫1、黃河小浪底調水調沙問題明德新民止于至善陸續(xù)開閘放水，人造洪峰于29日先后達到小浪底，7月3日達到最大流量2700m3/s,使小浪底水庫的排沙量也不斷地增加。表1是由小浪底觀測站從6月29日到7月10日檢測到的試驗數(shù)據(jù)。現(xiàn)在根據(jù)試驗數(shù)據(jù)建立數(shù)學模型研究下面的問題:(1)給出估算任意時刻的排沙量及總排沙量的方法。(2)確定排沙量與水流量的變化關系。開閘泄洪以后，從6月27日開始三門峽水庫和萬家寨水庫1、黃河小浪底調水調沙問題明德新民止于至善日期6.296.307.17.27.37.4時間8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00水流量18001900210022002300240025002600265027002720026500含沙量326075859098100102108112115116表1試驗觀測數(shù)據(jù)單位：水流為m3/s，含沙量為kg/m31、黃河小浪底調水調沙問題明德新民止于至善續(xù)表1日期7.57.67.77.87.97.10時間8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00水流量26002500230022002000185018201800175015001000900含沙量118120118105806050302620851、黃河小浪底調水調沙問題2、機床加工問題3、給藥方案問題4、化學反應濃度問題明德新民止于至善5、水箱水流量問題5、水箱水流量問題

許多供水單位由于沒有測量流入或流出水箱流量的設備，而只能測量水箱中的水位。試通過測得的某時刻水箱中水位的數(shù)據(jù)，估計在任意時刻（包括水泵灌水期間）t流出水箱的流量

f（t）。時間（s）水位（10–2E）時間（s）水位（10-2E）03175446363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水8596834753943535508995333974331834459327033405、水箱水流量問題

給出上面原始數(shù)據(jù)表，其中長度單位為E(1E=30.24cm）。水箱為圓柱體，其直徑為57E。假設：（1）影響水箱水流量的唯一因素是該區(qū)公眾對水的普通需求；（2）水泵的灌水速度為常數(shù)；（3）從水箱中流出水的最大流速小于水泵灌水速度；（4）每天的用水量分布都是相似的；（5）水箱的流水速度可用光滑曲線來近似；（6）當水箱的水容量達到514.8×103g時，開始泵水；達到667.6×103g時，便停止泵水。一、問題的提出第1類問題：函數(shù)y=f(x)表達式未知,但知道其在[a,b]上n+1個互異點xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n).第2類問題：函數(shù)y=f(x)表達式已知,但太復雜,只能計算其在[a,b]上n+1個互異點xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n).第2部分插值與逼近已知一個數(shù)據(jù)表格：x

x0x1

x2…xny

y0

y1

y2

…yn1.問題:如何求函數(shù)f(x)的解析式？2.方法:用一個簡單而又盡可能光滑的函數(shù)

y=p(x)f(x)

p(x)明德新民止于至善近似代替函數(shù)y=f(x),即y=f(x)y=p(x)滿足條件

p(xi)=yi=f(xi)(i=0,1,...,n)3.插值法的思想4.幾何意義.......Oxyx0x1xn-1xn（2）f(x)稱為被插函數(shù)；說明：（1）p(x)稱為f(x)的插值函數(shù)；（3）xi稱為插值節(jié)點,(xi,yi)稱為插值點,[a,b]稱為插值區(qū)間.

第2部分插值與逼近若將多項式函數(shù)作為插值函數(shù),相應的插值問題稱為多項式插值（代數(shù)多項式插值）。

pn(x)是一個次數(shù)不超過n的多項式;二、多項式插值已知一個數(shù)據(jù)表格：x

x0x1

x2…xny

y0

y1

y2

…yn求一個多項式pn(x),使其滿足如下條件：（2）pn(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1,...,n)

。(2-1)

第2部分插值與逼近明德新民止于至善設所要構造的插值多項式為：由插值條件

得到如下線性代數(shù)方程組二、多項式插值

第2部分插值與逼近明德新民止于至善D

0，因此，pn(x)由a0,a1,…,an唯一確定。二、多項式插值(1)插值多項式存在性且唯一性!!討論的問題：(2)如何求插值多項式?(3)插值多項式近似代替f(x)的誤差（余項）?

第2部分插值與逼近節(jié)點互不相同！明德新民止于至善x0x1(x0,y0)(x1

,y1)p1(x)f(x)

2.1一次插值多項式及誤差估計

f(x)

p1(x)已知數(shù)據(jù)表格：x

x0x1y

y0

y1

p1(x)是一個次數(shù)不超過1的多項式;求一個多項式p1(x),使其滿足如下條件：（2）p

1(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1)

。幾何意義!問題的引入：明德新民止于至善(1)一次拉格朗日（Lagrange）插值公式稱之為節(jié)點x0,x1處的拉格朗日插值基函數(shù)。稱之為一次拉格朗日插值多項式特點？Lagrange法1736-1813

2.1一次插值多項式及誤差

2.1一次插值多項式及誤差(2)一次牛頓（Newton）插值公式稱之為一次牛頓插值多項式(3)線性（行列式）插值公式稱之為一次線性插值多項式(4)一次插值的誤差截斷誤差R1(x)=f(x)–p1(x)稱為插值多項式的誤差定義稱為函數(shù)f(x)關于點x0、xk的一階差商(均差)；（余項）。明德新民止于至善設f(x)在區(qū)間[a,b]上2階導數(shù)存在,xi[a,b](i=0,1)為2個互異節(jié)點,則對任何x[a,b],有(且與x有關）

2.1一次插值多項式及誤差(4)一次插值的誤差估計特別地x0x1x2f(x)p2(x)f(x)問題提出：

2.2二次插值多項式及誤差估計p2(x)

p2(x)是一個次數(shù)不超過2

的多項式;已知數(shù)據(jù)表格：x

x0x1

x2y

y0

y1

y2求一個多項式p2(x),使其滿足如下條件：（2）p

2(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1,2)

。幾何意義？明德新民止于至善(1)二次拉格朗日（Lagrange）插值公式特點？

2.2二次插值多項式及誤差估計稱之為二次拉格朗日(Lagrange)插值多項式.(2)二次牛頓（Newton）插值公式稱之為節(jié)點xi(i=0,1,2)處的拉格朗日插值基函數(shù)。

2.2二次插值多項式及誤差估計(1)二次拉格朗日(Lagrange)插值公式補差商概念稱之為二次牛頓（Newton）插值多項式.令,則明德新民止于至善可驗證

2.2二次插值多項式及誤差估計(3)逐次線性插值公式二次逐次線性插值多項式明德新民止于至善(4)二次插值多項式的誤差估計設f(x)在區(qū)間[a,b]上3階導數(shù)存在,xi[a,b](i=0,1,2)為3個互異節(jié)點,則對任何x[a,b],有(且與x有關）

2.2二次插值多項式及誤差估計明德新民止于至善

pn(x)是一個次數(shù)不超過n的多項式;已知數(shù)據(jù)表格：x

x0x1

x2…xny

y0

y1

y2

…yn求一個多項式pn(x),使其滿足如下條件：（2）pn(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1,...,n)

。問題提出：其中l(wèi)i(x)(i=0,1,…,n)是節(jié)點xi處的n次拉格朗日插值基函數(shù)。

2.3n次插值多項式及誤差估計(1)n

次拉格朗日（Lagrange）插值公式明德新民止于至善節(jié)函點數(shù)函數(shù)值其中A為常數(shù).由li(xi)=1可得

2.3n次插值多項式及誤差估計(1)n

次拉格朗日（Lagrange）插值公式明德新民止于至善

2.3n次插值多項式及誤差估計(1)n

次拉格朗日（Lagrange）插值公式明德新民止于至善(2)n次牛頓（Newton)插值公式其中稱為的階均差。

2.3n次插值多項式及誤差估計明德新民止于至善（3）n次逐次線性插值公式可驗證

2.3n次插值多項式及誤差估計(4)n次插值余項（2）若說明：則（1）誤差的大小依賴于哪些量？節(jié)點的位置和個數(shù)？（3）pn(x）的特點（優(yōu)點和缺點）？明德新民止于至善例1解

2.2二次插值多項式及誤差估計明德新民止于至善functiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x)；fori=1:mz=x(i);s=0;fork=1:np=1;forj=1:nifj~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));end

ends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endM-文件：clearformatlongex0=[144,169,225];y0=[12,13,15];x=175;y=lagrange(x0,y0,x)運行程序：結果：13.230158730158731901年德國數(shù)學家龍格(Runge)

給出一個例子:

定義在區(qū)間[-5，5]上，這是一個光滑函數(shù)，它的任意階導數(shù)都存在，對它在[-5，5]上作等距節(jié)點插值時，插值多項式情況:問題的引入：2.4分段低次插值公式P5(x),P10(x),P16(x)？明德新民止于至善(1)將區(qū)間[-5，5]分割成五等份，得到節(jié)點和節(jié)點處的函數(shù)值如下表：x

-5-3-1135y

0.038460.100000.500000.500000.100000.038462.4分段低次插值公式明德新民止于至善節(jié)點處的插值基函數(shù)記為：2.4分段低次插值公式P5(x)=0.03846l1(x)明德新民止于至善那么5次插值多項式函數(shù)為+0.10000l2(x)+0.50000l3(x)+0.50000l4(x)+0.10000l5(x)+0.03846l6(x)其圖形如下：其逼近情況如下圖：明德新民止于至善2.4分段低次插值公式明德新民止于至善(2)將區(qū)間[-5，5]分割成十等份，得到節(jié)點和節(jié)點處的函數(shù)值為節(jié)點處的插值基函數(shù)記為那么10次插值多項式函數(shù)為其圖形如下：明德新民止于至善2.4分段低次插值公式明德新民止于至善(3)將區(qū)間[-5，5]分割成十六等份，得到節(jié)點和節(jié)點處的函數(shù)值為節(jié)點處的插值基函數(shù)記為那么16次插值多項式函數(shù)為其圖形如下：明德新民止于至善

從圖中，可看見，在0附近插值效果是好的，即余項較小，另一種現(xiàn)象是插值多項式隨節(jié)點增多而振動更多。

這種插值多項式當節(jié)點增加時反而不能更好地接近被插值函數(shù)的現(xiàn)象，稱為龍格現(xiàn)象2.4分段低次插值公式（1）I(x)在每個小區(qū)間[xi，xi+1]上是個次數(shù)不超過一的多項式;x

x0x1

x2…xny

y0

y1

y2

…yn求一個多項式I(x),使其滿足如下條件：（3）I(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1,...,n).已知數(shù)據(jù)表格：設在[a,b]上取n+1個節(jié)點，且

a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b,f(x)的函數(shù)值為yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n),

即（2）I(x）∈C[a,b];

明德新民止于至善稱之為f(x)在區(qū)間[a,b]上關于數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)的分段線性插值函數(shù).說明：I(x）的特點（優(yōu)點和缺點）？失去了原函數(shù)的光滑性。(1)插值公式明德新民止于至善在每個子區(qū)間[xi，xi+1]，或(2)插值余項明德新民止于至善因此,在插值區(qū)間[a,b]上有(2)插值余項將區(qū)間[-5，5]分成10等份，做分段線性插值函數(shù)，并做出圖形觀察逼近程度。課下練習：明德新民止于至善2.4分段低次插值公式明德新民止于至善解將區(qū)間[-5，5]分割成十等份，得到節(jié)點和節(jié)點處的函數(shù)值為節(jié)點處的分段線性插值基函數(shù)記為那么分段線性插值多項式函數(shù)為其圖形如下：明德新民止于至善1、兩點帶導數(shù)的三次埃爾米特插值多項式求多項式H3(x),使其滿足如下條件：

H3(x)稱為兩點帶導數(shù)的三次埃爾米特插值多項式。法1822-1901

2.5埃爾米特(Hermite）插值給定如下數(shù)據(jù)表：x

x0x1y

y0y1

y′

m0m1

H3(x)是一個次數(shù)不超過3的多項式;（2）明德新民止于至善

節(jié)點基函數(shù)函數(shù)值導數(shù)值x0x1x0x1λ0(x)1000λ1(x)0100μ0(x)0010μ1(x)00011、兩點帶導數(shù)的三次埃爾米特插值多項式(1)埃爾米特插值公式設節(jié)點xi處的插值基函數(shù)分別是λi(x)和μi(x)(i=0,1)令由得由得于是

2.5埃爾米特(Hermite）插值明德新民止于至善同理于是令由得同理(1)埃爾米特插值公式

2.5埃爾米特(Hermite）插值

節(jié)點基函數(shù)函數(shù)值導數(shù)值x0x1x0x1λ0(x)1000λ1(x)0100μ0(x)0010μ1(x)0001設f(x)在包含x0、x1的區(qū)間[a,b]內存在4階導數(shù)，則當x∈[a,b]時,有設則當x∈(x0,x1)時,余項有如下估計式且與x有關)(2)埃爾米特插值余項1、兩點帶導數(shù)的三次Hermite插值多項式

2.5埃爾米特(Hermite）插值明德新民止于至善例已知f(x)=x1/2及其一階導數(shù)的數(shù)據(jù)見下表,用埃爾米特插值公式計算1251/2的近似值,并估計其截斷誤差.

x121144

f(x)1112

f'(x)1/221/24解得由可得2、n+1個節(jié)點帶導數(shù)的埃爾米特插值多項式求一個多項式H2n+1(x),使其滿足如下條件：H2n+1(x)稱為n+1節(jié)點帶導數(shù)的2n+1次埃爾米特插值多項式。法1822-1901給定如下數(shù)據(jù)表：x

x0x1…xny

y0y1…yn

y′

m0m1…mn

H2n+1(x)是一個次數(shù)不超過2n+1的多項式;（2）H2n+1(xi)=yi,H'2n+1(xi)=mi(i=0,1,…,n).

2.5埃爾米特(Hermite）插值(1)埃爾米特插值公式設節(jié)點xi處的插值基函數(shù)分別是λi(x)和μi(x)(i=0,1,…,n)令由得由得從而同理設由得從而于是

2.5埃爾米特(Hermite）插值

定理

設f(x)在包含節(jié)點xi的區(qū)間(a,b)內存在2n+2階導數(shù)，則當x∈(a,b)時,有說明：且與x有關)(2)埃爾米特插值余項2、n+1個節(jié)點帶導數(shù)的埃爾米特插值多項式（1）H2n+1(x)的特點（優(yōu)點和缺點）？（2）H2n+1(x)和pn

(x)的區(qū)別？但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……（3）插值基函數(shù)在節(jié)點處取值的特點？

2.5埃爾米特(Hermite）插值已知給定如下數(shù)據(jù)表：x

x0x1…xny

y0y1…yn

y′

m0m1…mn（1）In(x)在每個小區(qū)間[xi，xi+1]上是次數(shù)不超過3的多項式;求一個多項式In(x),使其滿足如下條件：（2）In(x）∈C1[a,b];

（3）3、分段的三次埃爾米特（Hermite）插值多項式明德新民止于至善(1)插值公式3、分段的三次埃爾米特（Hermite）插值多項式(1)插值公式3、分段的三次埃爾米特（Hermite）插值多項式(1)插值公式稱為分段三次埃爾米特插值函數(shù).(2)插值余項[xi，xi+1]上，在每個小區(qū)間或3、分段的三次埃爾米特（Hermite）插值多項式因此，在插值區(qū)間[a,b]上有(2)插值余項說明：In(x）的特點（優(yōu)點和缺點）？導數(shù)一般不易得到。明德新民止于至善

在區(qū)間[a,b]上，給定n+1個互不相同的節(jié)點在每個小區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,...,n-1)上是次數(shù)不超過3的多項式;

2.6*

三次樣條(spline)插值函數(shù)y=f(x)在這些節(jié)點的值為yi=f(xi)(i=0,1,…,n)。如果a=x0<x1<…<xn=b,分段表示的函數(shù)S(x)滿足下列條件，稱為三次樣條插值函數(shù).（2）S(xi)=yi(i=0,1,…,n);(3)S(x)∈C2[a,b].問題的提出:明德新民止于至善

6.1三次樣條函數(shù)的構造S(x)在區(qū)間的表達式為記明德新民止于至善

6.1三次樣條函數(shù)的構造所以同理

(i=1,2,…,n)

(i=0,1,…,n-1)由