第2部分+插值方法

明德新民止于至善插值和數(shù)據(jù)擬合簡(jiǎn)介及應(yīng)用2004年6月至7月黃河進(jìn)行了第三次調(diào)水調(diào)沙試驗(yàn)，特別是首次由小浪底、三門(mén)峽和萬(wàn)家寨三大水庫(kù)聯(lián)合調(diào)度，采用接力式防洪預(yù)泄防水，形成人造洪峰進(jìn)行調(diào)沙試驗(yàn)獲得成功。整個(gè)試驗(yàn)期為20多天，小浪底從6月19日開(kāi)始預(yù)泄放水，直到7月13日恢復(fù)正常供水結(jié)束。小浪底水利工程按設(shè)計(jì)攔沙量為75.5億m3,在這之前，小浪底共積泥沙達(dá)14.15億t，這次調(diào)水調(diào)沙試驗(yàn)一個(gè)重要目的就是由小浪底上游的三門(mén)峽和萬(wàn)家寨水庫(kù)泄洪，在小浪底形成人造洪峰，沖刷小浪底庫(kù)區(qū)沉積的泥沙，在小浪底水庫(kù)1、黃河小浪底調(diào)水調(diào)沙問(wèn)題明德新民止于至善陸續(xù)開(kāi)閘放水，人造洪峰于29日先后達(dá)到小浪底，7月3日達(dá)到最大流量2700m3/s,使小浪底水庫(kù)的排沙量也不斷地增加。表1是由小浪底觀測(cè)站從6月29日到7月10日檢測(cè)到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)?，F(xiàn)在根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型研究下面的問(wèn)題:(1)給出估算任意時(shí)刻的排沙量及總排沙量的方法。(2)確定排沙量與水流量的變化關(guān)系。開(kāi)閘泄洪以后，從6月27日開(kāi)始三門(mén)峽水庫(kù)和萬(wàn)家寨水庫(kù)1、黃河小浪底調(diào)水調(diào)沙問(wèn)題明德新民止于至善日期6.296.307.17.27.37.4時(shí)間8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00水流量18001900210022002300240025002600265027002720026500含沙量326075859098100102108112115116表1試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)單位：水流為m3/s，含沙量為kg/m31、黃河小浪底調(diào)水調(diào)沙問(wèn)題明德新民止于至善續(xù)表1日期7.57.67.77.87.97.10時(shí)間8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00水流量26002500230022002000185018201800175015001000900含沙量118120118105806050302620851、黃河小浪底調(diào)水調(diào)沙問(wèn)題2、機(jī)床加工問(wèn)題3、給藥方案問(wèn)題4、化學(xué)反應(yīng)濃度問(wèn)題明德新民止于至善5、水箱水流量問(wèn)題5、水箱水流量問(wèn)題

許多供水單位由于沒(méi)有測(cè)量流入或流出水箱流量的設(shè)備，而只能測(cè)量水箱中的水位。試通過(guò)測(cè)得的某時(shí)刻水箱中水位的數(shù)據(jù)，估計(jì)在任意時(shí)刻（包括水泵灌水期間）t流出水箱的流量

f（t）。時(shí)間（s）水位（10–2E）時(shí)間（s）水位（10-2E）03175446363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水8596834753943535508995333974331834459327033405、水箱水流量問(wèn)題

給出上面原始數(shù)據(jù)表，其中長(zhǎng)度單位為E(1E=30.24cm）。水箱為圓柱體，其直徑為57E。假設(shè)：（1）影響水箱水流量的唯一因素是該區(qū)公眾對(duì)水的普通需求；（2）水泵的灌水速度為常數(shù)；（3）從水箱中流出水的最大流速小于水泵灌水速度；（4）每天的用水量分布都是相似的；（5）水箱的流水速度可用光滑曲線來(lái)近似；（6）當(dāng)水箱的水容量達(dá)到514.8×103g時(shí)，開(kāi)始泵水；達(dá)到667.6×103g時(shí)，便停止泵水。一、問(wèn)題的提出第1類(lèi)問(wèn)題：函數(shù)y=f(x)表達(dá)式未知,但知道其在[a,b]上n+1個(gè)互異點(diǎn)xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n).第2類(lèi)問(wèn)題：函數(shù)y=f(x)表達(dá)式已知,但太復(fù)雜,只能計(jì)算其在[a,b]上n+1個(gè)互異點(diǎn)xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n).第2部分插值與逼近已知一個(gè)數(shù)據(jù)表格：x

x0x1

x2…xny

y0

y1

y2

…yn1.問(wèn)題:如何求函數(shù)f(x)的解析式？2.方法:用一個(gè)簡(jiǎn)單而又盡可能光滑的函數(shù)

y=p(x)f(x)

p(x)明德新民止于至善近似代替函數(shù)y=f(x),即y=f(x)y=p(x)滿足條件

p(xi)=yi=f(xi)(i=0,1,...,n)3.插值法的思想4.幾何意義.......Oxyx0x1xn-1xn（2）f(x)稱(chēng)為被插函數(shù)；說(shuō)明：（1）p(x)稱(chēng)為f(x)的插值函數(shù)；（3）xi稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn),(xi,yi)稱(chēng)為插值點(diǎn),[a,b]稱(chēng)為插值區(qū)間.

第2部分插值與逼近若將多項(xiàng)式函數(shù)作為插值函數(shù),相應(yīng)的插值問(wèn)題稱(chēng)為多項(xiàng)式插值（代數(shù)多項(xiàng)式插值）。

pn(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式;二、多項(xiàng)式插值已知一個(gè)數(shù)據(jù)表格：x

x0x1

x2…xny

y0

y1

y2

…yn求一個(gè)多項(xiàng)式pn(x),使其滿足如下條件：（2）pn(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1,...,n)

。(2-1)

第2部分插值與逼近明德新民止于至善設(shè)所要構(gòu)造的插值多項(xiàng)式為：由插值條件

得到如下線性代數(shù)方程組二、多項(xiàng)式插值

第2部分插值與逼近明德新民止于至善D

0，因此，pn(x)由a0,a1,…,an唯一確定。二、多項(xiàng)式插值(1)插值多項(xiàng)式存在性且唯一性!!討論的問(wèn)題：(2)如何求插值多項(xiàng)式?(3)插值多項(xiàng)式近似代替f(x)的誤差（余項(xiàng)）?

第2部分插值與逼近節(jié)點(diǎn)互不相同！明德新民止于至善x0x1(x0,y0)(x1

,y1)p1(x)f(x)

2.1一次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)

f(x)

p1(x)已知數(shù)據(jù)表格：x

x0x1y

y0

y1

p1(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)1的多項(xiàng)式;求一個(gè)多項(xiàng)式p1(x),使其滿足如下條件：（2）p

1(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1)

。幾何意義!問(wèn)題的引入：明德新民止于至善(1)一次拉格朗日（Lagrange）插值公式稱(chēng)之為節(jié)點(diǎn)x0,x1處的拉格朗日插值基函數(shù)。稱(chēng)之為一次拉格朗日插值多項(xiàng)式特點(diǎn)？Lagrange法1736-1813

2.1一次插值多項(xiàng)式及誤差

2.1一次插值多項(xiàng)式及誤差(2)一次牛頓（Newton）插值公式稱(chēng)之為一次牛頓插值多項(xiàng)式(3)線性（行列式）插值公式稱(chēng)之為一次線性插值多項(xiàng)式(4)一次插值的誤差截?cái)嗾`差R1(x)=f(x)–p1(x)稱(chēng)為插值多項(xiàng)式的誤差定義稱(chēng)為函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)x0、xk的一階差商(均差)；（余項(xiàng)）。明德新民止于至善設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上2階導(dǎo)數(shù)存在,xi[a,b](i=0,1)為2個(gè)互異節(jié)點(diǎn),則對(duì)任何x[a,b],有(且與x有關(guān)）

2.1一次插值多項(xiàng)式及誤差(4)一次插值的誤差估計(jì)特別地x0x1x2f(x)p2(x)f(x)問(wèn)題提出：

2.2二次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)p2(x)

p2(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)2

的多項(xiàng)式;已知數(shù)據(jù)表格：x

x0x1

x2y

y0

y1

y2求一個(gè)多項(xiàng)式p2(x),使其滿足如下條件：（2）p

2(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1,2)

。幾何意義？明德新民止于至善(1)二次拉格朗日（Lagrange）插值公式特點(diǎn)？

2.2二次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)稱(chēng)之為二次拉格朗日(Lagrange)插值多項(xiàng)式.(2)二次牛頓（Newton）插值公式稱(chēng)之為節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,2)處的拉格朗日插值基函數(shù)。

2.2二次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)(1)二次拉格朗日(Lagrange)插值公式補(bǔ)差商概念稱(chēng)之為二次牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式.令,則明德新民止于至善可驗(yàn)證

2.2二次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)(3)逐次線性插值公式二次逐次線性插值多項(xiàng)式明德新民止于至善(4)二次插值多項(xiàng)式的誤差估計(jì)設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上3階導(dǎo)數(shù)存在,xi[a,b](i=0,1,2)為3個(gè)互異節(jié)點(diǎn),則對(duì)任何x[a,b],有(且與x有關(guān)）

2.2二次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)明德新民止于至善

pn(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式;已知數(shù)據(jù)表格：x

x0x1

x2…xny

y0

y1

y2

…yn求一個(gè)多項(xiàng)式pn(x),使其滿足如下條件：（2）pn(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1,...,n)

。問(wèn)題提出：其中l(wèi)i(x)(i=0,1,…,n)是節(jié)點(diǎn)xi處的n次拉格朗日插值基函數(shù)。

2.3n次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)(1)n

次拉格朗日（Lagrange）插值公式明德新民止于至善節(jié)函點(diǎn)數(shù)函數(shù)值其中A為常數(shù).由li(xi)=1可得

2.3n次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)(1)n

次拉格朗日（Lagrange）插值公式明德新民止于至善

2.3n次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)(1)n

次拉格朗日（Lagrange）插值公式明德新民止于至善(2)n次牛頓（Newton)插值公式其中稱(chēng)為的階均差。

2.3n次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)明德新民止于至善（3）n次逐次線性插值公式可驗(yàn)證

2.3n次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)(4)n次插值余項(xiàng)（2）若說(shuō)明：則（1）誤差的大小依賴(lài)于哪些量？節(jié)點(diǎn)的位置和個(gè)數(shù)？（3）pn(x）的特點(diǎn)（優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)）？明德新民止于至善例1解

2.2二次插值多項(xiàng)式及誤差估計(jì)明德新民止于至善functiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x)；fori=1:mz=x(i);s=0;fork=1:np=1;forj=1:nifj~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));end

ends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endM-文件：clearformatlongex0=[144,169,225];y0=[12,13,15];x=175;y=lagrange(x0,y0,x)運(yùn)行程序：結(jié)果：13.230158730158731901年德國(guó)數(shù)學(xué)家龍格(Runge)

給出一個(gè)例子:

定義在區(qū)間[-5，5]上，這是一個(gè)光滑函數(shù)，它的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，對(duì)它在[-5，5]上作等距節(jié)點(diǎn)插值時(shí)，插值多項(xiàng)式情況:問(wèn)題的引入：2.4分段低次插值公式P5(x),P10(x),P16(x)？明德新民止于至善(1)將區(qū)間[-5，5]分割成五等份，得到節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值如下表：x

-5-3-1135y

0.038460.100000.500000.500000.100000.038462.4分段低次插值公式明德新民止于至善節(jié)點(diǎn)處的插值基函數(shù)記為：2.4分段低次插值公式P5(x)=0.03846l1(x)明德新民止于至善那么5次插值多項(xiàng)式函數(shù)為+0.10000l2(x)+0.50000l3(x)+0.50000l4(x)+0.10000l5(x)+0.03846l6(x)其圖形如下：其逼近情況如下圖：明德新民止于至善2.4分段低次插值公式明德新民止于至善(2)將區(qū)間[-5，5]分割成十等份，得到節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為節(jié)點(diǎn)處的插值基函數(shù)記為那么10次插值多項(xiàng)式函數(shù)為其圖形如下：明德新民止于至善2.4分段低次插值公式明德新民止于至善(3)將區(qū)間[-5，5]分割成十六等份，得到節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為節(jié)點(diǎn)處的插值基函數(shù)記為那么16次插值多項(xiàng)式函數(shù)為其圖形如下：明德新民止于至善

從圖中，可看見(jiàn)，在0附近插值效果是好的，即余項(xiàng)較小，另一種現(xiàn)象是插值多項(xiàng)式隨節(jié)點(diǎn)增多而振動(dòng)更多。

這種插值多項(xiàng)式當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí)反而不能更好地接近被插值函數(shù)的現(xiàn)象，稱(chēng)為龍格現(xiàn)象2.4分段低次插值公式（1）I(x)在每個(gè)小區(qū)間[xi，xi+1]上是個(gè)次數(shù)不超過(guò)一的多項(xiàng)式;x

x0x1

x2…xny

y0

y1

y2

…yn求一個(gè)多項(xiàng)式I(x),使其滿足如下條件：（3）I(xi)=yi=f(xi)

(i=0,1,...,n).已知數(shù)據(jù)表格：設(shè)在[a,b]上取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，且

a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b,f(x)的函數(shù)值為yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n),

即（2）I(x）∈C[a,b];

明德新民止于至善稱(chēng)之為f(x)在區(qū)間[a,b]上關(guān)于數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)的分段線性插值函數(shù).說(shuō)明：I(x）的特點(diǎn)（優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)）？失去了原函數(shù)的光滑性。(1)插值公式明德新民止于至善在每個(gè)子區(qū)間[xi，xi+1]，或(2)插值余項(xiàng)明德新民止于至善因此,在插值區(qū)間[a,b]上有(2)插值余項(xiàng)將區(qū)間[-5，5]分成10等份，做分段線性插值函數(shù)，并做出圖形觀察逼近程度。課下練習(xí)：明德新民止于至善2.4分段低次插值公式明德新民止于至善解將區(qū)間[-5，5]分割成十等份，得到節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為節(jié)點(diǎn)處的分段線性插值基函數(shù)記為那么分段線性插值多項(xiàng)式函數(shù)為其圖形如下：明德新民止于至善1、兩點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式求多項(xiàng)式H3(x),使其滿足如下條件：

H3(x)稱(chēng)為兩點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。法1822-1901

2.5埃爾米特(Hermite）插值給定如下數(shù)據(jù)表：x

x0x1y

y0y1

y′

m0m1

H3(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式;（2）明德新民止于至善

節(jié)點(diǎn)基函數(shù)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值x0x1x0x1λ0(x)1000λ1(x)0100μ0(x)0010μ1(x)00011、兩點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式(1)埃爾米特插值公式設(shè)節(jié)點(diǎn)xi處的插值基函數(shù)分別是λi(x)和μi(x)(i=0,1)令由得由得于是

2.5埃爾米特(Hermite）插值明德新民止于至善同理于是令由得同理(1)埃爾米特插值公式

2.5埃爾米特(Hermite）插值

節(jié)點(diǎn)基函數(shù)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值x0x1x0x1λ0(x)1000λ1(x)0100μ0(x)0010μ1(x)0001設(shè)f(x)在包含x0、x1的區(qū)間[a,b]內(nèi)存在4階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x∈[a,b]時(shí),有設(shè)則當(dāng)x∈(x0,x1)時(shí),余項(xiàng)有如下估計(jì)式且與x有關(guān))(2)埃爾米特插值余項(xiàng)1、兩點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的三次Hermite插值多項(xiàng)式

2.5埃爾米特(Hermite）插值明德新民止于至善例已知f(x)=x1/2及其一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)據(jù)見(jiàn)下表,用埃爾米特插值公式計(jì)算1251/2的近似值,并估計(jì)其截?cái)嗾`差.

x121144

f(x)1112

f'(x)1/221/24解得由可得2、n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的埃爾米特插值多項(xiàng)式求一個(gè)多項(xiàng)式H2n+1(x),使其滿足如下條件：H2n+1(x)稱(chēng)為n+1節(jié)點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的2n+1次埃爾米特插值多項(xiàng)式。法1822-1901給定如下數(shù)據(jù)表：x

x0x1…xny

y0y1…yn

y′

m0m1…mn

H2n+1(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)2n+1的多項(xiàng)式;（2）H2n+1(xi)=yi,H'2n+1(xi)=mi(i=0,1,…,n).

2.5埃爾米特(Hermite）插值(1)埃爾米特插值公式設(shè)節(jié)點(diǎn)xi處的插值基函數(shù)分別是λi(x)和μi(x)(i=0,1,…,n)令由得由得從而同理設(shè)由得從而于是

2.5埃爾米特(Hermite）插值

定理

設(shè)f(x)在包含節(jié)點(diǎn)xi的區(qū)間(a,b)內(nèi)存在2n+2階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x∈(a,b)時(shí),有說(shuō)明：且與x有關(guān))(2)埃爾米特插值余項(xiàng)2、n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)帶導(dǎo)數(shù)的埃爾米特插值多項(xiàng)式（1）H2n+1(x)的特點(diǎn)（優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)）？（2）H2n+1(x)和pn

(x)的區(qū)別？但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……（3）插值基函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處取值的特點(diǎn)？

2.5埃爾米特(Hermite）插值已知給定如下數(shù)據(jù)表：x

x0x1…xny

y0y1…yn

y′

m0m1…mn（1）In(x)在每個(gè)小區(qū)間[xi，xi+1]上是次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式;求一個(gè)多項(xiàng)式In(x),使其滿足如下條件：（2）In(x）∈C1[a,b];

（3）3、分段的三次埃爾米特（Hermite）插值多項(xiàng)式明德新民止于至善(1)插值公式3、分段的三次埃爾米特（Hermite）插值多項(xiàng)式(1)插值公式3、分段的三次埃爾米特（Hermite）插值多項(xiàng)式(1)插值公式稱(chēng)為分段三次埃爾米特插值函數(shù).(2)插值余項(xiàng)[xi，xi+1]上，在每個(gè)小區(qū)間或3、分段的三次埃爾米特（Hermite）插值多項(xiàng)式因此，在插值區(qū)間[a,b]上有(2)插值余項(xiàng)說(shuō)明：In(x）的特點(diǎn)（優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)）？導(dǎo)數(shù)一般不易得到。明德新民止于至善

在區(qū)間[a,b]上，給定n+1個(gè)互不相同的節(jié)點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,...,n-1)上是次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式;

2.6*

三次樣條(spline)插值函數(shù)y=f(x)在這些節(jié)點(diǎn)的值為yi=f(xi)(i=0,1,…,n)。如果a=x0<x1<…<xn=b,分段表示的函數(shù)S(x)滿足下列條件，稱(chēng)為三次樣條插值函數(shù).（2）S(xi)=yi(i=0,1,…,n);(3)S(x)∈C2[a,b].問(wèn)題的提出:明德新民止于至善

6.1三次樣條函數(shù)的構(gòu)造S(x)在區(qū)間的表達(dá)式為記明德新民止于至善

6.1三次樣條函數(shù)的構(gòu)造所以同理

(i=1,2,…,n)

(i=0,1,…,n-1)由