線性系統(tǒng)可靠控制3

圓形、條形、扇形區(qū)域極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器、動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計(jì)、仿真。

閆浩2014.06.11題目問(wèn)題的提出精確的極點(diǎn)配置必須以精確的數(shù)學(xué)模型為依據(jù)由于不確定性及各種擾動(dòng)的存在，使得精確的極點(diǎn)配置不可實(shí)現(xiàn)精確的極點(diǎn)配置并非是唯一的途徑，將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在復(fù)平面上的一個(gè)適當(dāng)區(qū)域，即可保證系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性系統(tǒng)區(qū)域穩(wěn)定理論第一部分LMI區(qū)域的描述定義對(duì)復(fù)平面中的區(qū)域D，如果存在一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，使得 則稱D是一個(gè)線性矩陣不等式區(qū)域(簡(jiǎn)記為L(zhǎng)MI區(qū)域)。矩陣值函數(shù) 稱為L(zhǎng)MI區(qū)域D的特征函數(shù),特征函數(shù)維的Hermite矩陣，表示矩陣是負(fù)定的。是復(fù)數(shù)變量。的取值是和實(shí)矩陣說(shuō)明：LMI區(qū)域是凸的（王老師46頁(yè)有說(shuō)明）LMI區(qū)域是關(guān)于復(fù)平面上的實(shí)軸對(duì)稱的常見的LMI區(qū)域左半開復(fù)平面相應(yīng)的特征值函數(shù)相應(yīng)的特征值函數(shù)左半復(fù)平面的垂直條形區(qū)域相應(yīng)的特征值函數(shù)如圖陰影部分所示：相應(yīng)的特征值函數(shù)由r>0可推出:復(fù)平面上半徑為r，中心在(-q,0)的圓盤D(r,q)因此，相應(yīng)的特征值函數(shù)可寫為：D－穩(wěn)定性分析定義

對(duì)復(fù)平面中給定的LMI區(qū)域D和實(shí)矩陣如果實(shí)矩陣A的所有特征值都位于區(qū)域D中，即，則稱實(shí)矩陣A是D-穩(wěn)定的。定理：給定LMI區(qū)域其中：，使得則實(shí)矩陣是D-穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)對(duì)稱正定實(shí)矩陣證明：假定存在對(duì)稱陣X滿足MD(A,X)<0.設(shè)λ是矩陣A的任意特征值，且有應(yīng)用Kronecker乘積的性質(zhì)，可得由MD(A,X)<0和X>0可推出即由于的任意性，根據(jù)D-穩(wěn)定的定義，可得矩陣A是D-穩(wěn)定的，定理得證。（俞立101頁(yè)）D穩(wěn)定性定理的應(yīng)用一、LMI區(qū)域?yàn)樽蟀腴_復(fù)平面對(duì)于左半開復(fù)平面，其特征函數(shù)是則由D穩(wěn)定性定理，可得，矩陣A的所有特征值均在左半開復(fù)平面的充分必要條件是存在對(duì)稱正定矩陣X，使得Lyapunov不等式二、復(fù)平面上半徑為r，中心在(-q,0)的圓盤D(r,q)對(duì)于圓盤D(r,q)，其特征函數(shù)是矩陣A的所有特征值均在圓盤D(q,r)的充分必要條件是存在對(duì)稱正定矩陣X，使得

推論給定兩個(gè)LMI區(qū)域D1和D2，矩陣A同時(shí)是D1-穩(wěn)定和D2-穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)對(duì)稱正定陣X，使得第三方圓形、條形、扇形區(qū)域極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)及仿真第二部分圓形區(qū)域?qū)τ谝阎€性定常系統(tǒng)我們希望把系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在以一個(gè)指定的圓形區(qū)域中，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，當(dāng)給定系統(tǒng)的初始條件時(shí)，將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在指定圓形區(qū)域內(nèi)。結(jié)論：系統(tǒng)在狀態(tài)反饋控制下，其閉環(huán)系統(tǒng)所有極點(diǎn)在復(fù)平面區(qū)域D（q，r）內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)以下LMI：有矩陣解和Y，其中，K為狀態(tài)反饋增益陣

證明：將式中的矩陣A替換成整理并引入一個(gè)新的變量可知定理成立。

實(shí)例仿真對(duì)于已知線性定常系統(tǒng)假設(shè)其參數(shù)分別為：希望的閉環(huán)極點(diǎn)配置在以-2為圓心，半徑為2的圓內(nèi)，則設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，當(dāng)系統(tǒng)初始條件為時(shí)，畫出其零輸入響應(yīng)曲線及系統(tǒng)的極點(diǎn)分布圖。電樞電壓控制的他激電機(jī)模型程序clearall;closeall;A=[0,1,0;0,0,1;0,-2,-3]B=[0;0;1];C=[1,0,0]r=2;q=2;setlmis([]);X=lmivar(1,[length(A),1]);Y=lmivar(2,[1,3]);lmiterm([1,1,1,1],-r,1);lmiterm([1,2,2,1],-r,1);lmiterm([1,1,2,1],A+q*eye(3),1);lmiterm([1,1,2,2],-B,1);lmis=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(lmis);X=dec2mat(lmis,xfeas,1)Y=dec2mat(lmis,xfeas,2)K=Y*inv(X)AA=A-B*K;sys=ss(AA,B,C,0);t=0:0.1:10;x0=[0.5;0.3;0.2];[y,t,x]=initial(sys,x0,t);figure(1)plot(t,x(:,1));gridxlabel('t');ylabel('x1');title('initialresponse');figure(2)plot(t,x(:,2));gridxlabel('t');ylabel('x2');title('initialresponse');figure(3)plot(t,x(:,3));gridxlabel('t');ylabel('x3');title('initialresponse');P=eig(sys);xx=real(P);yy=imag(P);figure(4)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;alpha=0:pi/100:2*pi;x=-q+r*cos(alpha);y=r*sin(alpha);plot(x,y)axisequal閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)分布圖條形區(qū)域矩陣A的所有特征值均在h1，h2的垂直條形區(qū)域的充分必要條件是存在對(duì)稱正定矩陣X，使得：成立結(jié)論：對(duì)于系統(tǒng)，存在增益矩陣K，使得系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到D（h1，h2）區(qū)域的充分必要條件是存在正定對(duì)稱矩陣X和矩陣P，使得其中，B1=AX+BP證明：根據(jù)前面條形LMI，使其與控制器構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)滿足：其中，G1=2h1X-[(A+BK)X+X(A+BK)]G2=[(A+BK)X+X(A+BK)-2h2X令P=KX，則實(shí)例仿真對(duì)于已知線性定常系統(tǒng)假設(shè)其參數(shù)分別為：希望的閉環(huán)極點(diǎn)配置在h1=-2，h2=-1的條形區(qū)域內(nèi)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，畫出極點(diǎn)分布圖。電樞電壓控制的他激電機(jī)模型程序clearall;closeall;A=[0,1,0;0,0,1;0,-2,-3]B=[0;0;1];C=[1,0,0]h1=-2;h2=-1;setlmis([]);X=lmivar(1,[3,1]);K=lmivar(2,[1,3]);P=lmivar(2,[1,3]);lmiterm([111X],.5*2*h1,1,'s');%LMI#1:2*h1*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111X],A,-1,'s');%LMI#1:-A*X-X'*A'lmiterm([111P],B,-1,'s');%LMI#1:-B*P-P'*B'lmiterm([122X],A,1,'s');%LMI#1:A*X+X'*A'lmiterm([122P],B,1,'s');%LMI#1:B*P+P'*B'lmiterm([122X],.5*2*h2,-1,'s');%LMI#1:-2*h2*X(NONSYMMETRIC?)

D=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(D);X=dec2mat(D,xfeas,X);P=dec2mat(D,xfeas,P);K=P*inv(X);AA=A+B*K;sys=ss(AA,B,C,0);P=eig(sys);xx=real(P);yy=imag(P);figure(1)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;plot([-2,-2],[-4,4]);plot([-1,-1],[-4,4]);axisequal極點(diǎn)分布圖扇形區(qū)域矩陣A的所有特征值均在以?shī)A角的廣義扇形區(qū)域的充分必要條件是存在正定對(duì)稱矩陣X，使得結(jié)論：對(duì)于系統(tǒng)，存在增益矩陣K，使得系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到區(qū)域的充分必要條件是存在正定對(duì)稱矩陣X和矩陣P，使得其中，B1=AX+BP證明：根據(jù)前面扇形LMI，使其與控制器構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)滿足：其中，令P=KX，則實(shí)例仿真對(duì)于已知線性定常系統(tǒng)假設(shè)其參數(shù)分別為：希望的閉環(huán)極點(diǎn)配置在夾角為120度的扇形區(qū)域內(nèi)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，畫出極點(diǎn)分布圖。clearall;closeall;A=[0,1,0;0,0,1;-10,-9,-4];B=[0;0;1];C=[1,0,0]setlmis([]);X=lmivar(1,[3,1]);P=lmivar(2,[1,3]);K=lmivar(2,[1,3]);lmiterm([111X],.5*0.867*A,1,'s');%LMI#1:0.867*A*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111P],.5*0.867*B,1,'s');%LMI#1:0.867*B*P(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111-X],.5*0.867,A','s');%LMI#1:0.867*X'*A'(NONSYMMETRIC?)lmiterm([111-P],.5*0.867,B','s');%LMI#1:0.867*P'*B'(NONSYMMETRIC?)lmiterm([121-X],0.5,A');%LMI#1:0.5*X'*A'lmiterm([121-P],0.5,B');%LMI#1:0.5*P'*B'lmiterm([121X],0.5*A,-1);%LMI#1:-0.5*A*Xlmiterm([121P],0.5*B,-1);%LMI#1:-0.5*B*Plmiterm([122X],.5*0.867*A,1,'s');%LMI#1:0.867*A*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([122P],.5*0.867*B,1,'s');%LMI#1:0.867*B*P(NONSYMMETRIC?)lmiterm([122-X],.5*0.867,A','s');%LMI#1:0.867*X'*A'(NONSYMMETRIC?)lmiterm([122-P],.5*0.867,B','s');%LMI#1:0.867*P'*B'(NONSYMMETRIC?)程序T=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(T);X=dec2mat(T,xfeas,X);P=dec2mat(T,xfeas,P);K=P*inv(X);AA=A-B*K;sys=ss(AA,B,C,0);P=eig(sys);xx=real(P);yy=imag(P);figure(1)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;x=-5:1:0;y=tan(pi/3)*x;plot(x,y);holdon;x=-5:1:0;y=-tan(pi/3)*x;plot(x,y);axisequal極點(diǎn)配置圖第三方圓形、條形、扇形區(qū)域極點(diǎn)配置動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計(jì)及仿真第三部分圓形區(qū)域線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制形式系統(tǒng)和控制器構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)其中定理動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在以（-q，0）為圓心，r為半徑圓域內(nèi)的充分必要條件使存在正定矩陣X>0,Y>0和矩陣A1、B1、C1，使得線性矩陣不等式成立動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的參數(shù)為：其中矩陣M、N可有確定證明由前面結(jié)論極點(diǎn)配置在以（-q，0）為圓心，r為半徑圓域內(nèi)等價(jià)于，存在正定矩陣P>0，使得和因?yàn)樗栽O(shè)正定矩陣P設(shè)變換矩陣和設(shè)V=diag（U1，U1），在前面式子兩端左乘右乘V，不等式等價(jià)于因?yàn)閯t因此，不等式等價(jià)于設(shè)可以得到給出的定理實(shí)例仿真飛機(jī)垂直翼的動(dòng)態(tài)線性模型：設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器使閉環(huán)極點(diǎn)配置在以（-3，0）為圓心，半徑為2的圓形區(qū)域。程序clear;A=[0,0,1.132,0,-1;0,-0.0538,-0.1712,0,0.0705;0,0,0,1,0;0,0.0485,0,-0.8556,-1.013;0,-0.2909,0,1.0532,-0.6859];B=[0,0,0;-0.12,1,0;0,0,0;4.419,0,-1.665;1.575,0,-0.0732];C=[1,0,0,0,0;0,1,0,0,0;0,0,1,0,0];setlmis([]);X=lmivar(1,[5,1]);Y=lmivar(1,[5,1]);A1=lmivar(2,[5,5]);B1=lmivar(2,[5,3]);C1=lmivar(2,[3,5]);lmiterm([111X],.5*2,-1,'s');%LMI#1:-2*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([1210],-2);%LMI#1:-2lmiterm([122Y],.5*2,-1,'s');%LMI#1:-2*Y(NONSYMMETRIC?)lmiterm([131X],1,A);%LMI#1:X*Almiterm([131B1],1,C);%LMI#1:B1*Clmiterm([131X],3,1);%LMI#1:3*Xlmiterm([1320],A+3);%LMI#1:A+3lmiterm([133X],.5*2,-1,'s');%LMI#1:-2*X(NONSYMMETRIC?)lmiterm([1410],A+3);%LMI#1:A+3lmiterm([142Y],A,1);%LMI#1:A*Ylmiterm([142C1],B,1);%LMI#1:B*C1lmiterm([142Y],3,1);%LMI#1:3*Ylmiterm([1430],-2);%LMI#1:-2lmiterm([144Y],.5*2,-1,'s');%LMI#1:-2*Y(NONSYMMETRIC?)

lmiterm([-111X],1,1);%LMI#2:Xlmiterm([-1210],1);%LMI#2:1lmiterm([-122Y],1,1);%LMI#2:YQ=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(Q);X=dec2mat(Q,xfeas,X)Y=dec2mat(Q,xfeas,Y)A1=dec2mat(Q,xfeas,A1)B1=dec2mat(Q,xfeas,B1)C1=dec2mat(Q,xfeas,C1)I=[1,0,0,0,0;0,1,0,0,0;0,0,1,0,0;0,0,0,1,0,;0,0,0,0,1][U,S,V]=svd(I-X*Y);M=U;N=V*S;B0=inv(M)*B1C0=C1*inv(N')A0=inv(M)*A1*inv(N')-inv(M)*X*A*Y*inv(N')-B0*C*Y*inv(N')-inv(M)*X*B*C0Ac=[A,B*C0;B0*C,A0];P=eig(Ac);xx=real(P);yy=imag(P);figure(4)plot(xx,yy,'*'),holdonholdon;alpha=0:pi/100:2*pi;x=-3+2*cos(alpha);y=2*sin(alpha);plot(x,y)axisequal>>yuanSolverforLMIfeasibilityproblemsL(x)<R(x)ThissolverminimizestsubjecttoL(x)<R(x)+t*IThebestvalueoftshouldbenegativeforfeasibilityIteration:Bestvalueoftsofar

110.00371628.84431435.2245384-3.792018Result:bestvalueoft:-3.792018f-radiussaturation:0.002%ofR=1.00e+09

X=1.0e+03*2.1245-0.01610.0164-0.46040.9372-0.01611.9836-0.01220.0314-0.07050.0164-0.01222.0702-0.9510-0.4168-0.46040.0314-0.95101.82850.09110.9372-0.0705-0.41680.09111.6776Y=1.0e+03*1.31050.0072-0.51830.32860.92500.00721.9862-0.0091-0.00280.0056-0.5183-0.00910.8109-1.01550.08650.3286-0.0028-1.01552.3839-0.16020.92500.00560.0865-0.16022.2491A1=0000000000000000000000000B1=1.0e+03*-6.13550.3509-2.52260.0358-5.85800.43700.0819-0.0577-6.