自動控制基礎(chǔ)第八章

第八章離散控制系統(tǒng)前面各章分析了連續(xù)控制系統(tǒng)，這些系統(tǒng)中的變量是時間上連續(xù)的；隨著被控系統(tǒng)復(fù)雜性的提高，對控制器的要求也越來越高，控制的成本隨著數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜化而急劇上升—模擬實現(xiàn)；隨著數(shù)字元件,特別是數(shù)字計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，采樣控制系統(tǒng)得到了廣泛的應(yīng)用；在采樣控制系統(tǒng)中,有一處或多處的信號不是連續(xù)信號,而在時間上是離散的脈沖序列或數(shù)碼,這種信號稱為采樣信號。第8章離散控制系統(tǒng)8-1離散控制系統(tǒng)的基本概念基本內(nèi)容8-2信號的采樣與恢復(fù)8-3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8-4離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析8-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析8-6離散系統(tǒng)的動態(tài)分析8-7離散系統(tǒng)的校正基本要求正確理解采樣過程，采樣定理，信號復(fù)觀和零階保持器的作用,了解采樣系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的區(qū)別與聯(lián)系。Z變換和Z反變換，熟練掌握幾種典型信號的Z變換和通過部分分式分解進行反變換,了解用Z變換法解差分方程的主要步驟和方法。正確理解脈沖傳遞函數(shù)的概念，熟練掌握簡單采樣系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的計算方法,掌握典型閉環(huán)采樣系統(tǒng)輸出的Z變換表達式。熟練掌握Z域穩(wěn)定性的判別方法。熟練掌握采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法，正確理解終值定理的使用條件、積分環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的型別的關(guān)系。二、數(shù)字控制系統(tǒng)一、采樣控制系統(tǒng)8.1離散控制系統(tǒng)的基本概念計算機控制系統(tǒng)的優(yōu)點：1、有利于實現(xiàn)系統(tǒng)的高精度控制；2、數(shù)字信號傳輸有利于抗干擾；3、可以完成復(fù)雜的控制算法，而且參數(shù)修改容易；4、除了采用計算機進行控制外，還可以進行顯示，報警等其它功能；5、易于實現(xiàn)遠程或網(wǎng)絡(luò)控制。采樣控制系統(tǒng)也是一類動態(tài)系統(tǒng)；該系統(tǒng)的性能也和連續(xù)系統(tǒng)一樣可以分為動態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩部分；這類系統(tǒng)的分析也可以借鑒連續(xù)系統(tǒng)中的一些方法，但要注意其本身的特殊性；采樣系統(tǒng)的分析可以采用Z變換方法，也可以采用狀態(tài)空間分析方法。1、采樣：把連續(xù)信號變成脈沖或數(shù)字序列的過程叫做采樣；2、采樣器：實現(xiàn)采樣的裝置，又名采樣開關(guān)；3、復(fù)現(xiàn)：將采樣后的采樣信號恢復(fù)為原來的連續(xù)信號的過程；4、采樣方式：（1）等周期采樣：（2）多階采樣：采樣是周期性重復(fù)的（3）多速采樣：有兩個以上不同采樣周期的采樣開關(guān)對信號同時進行采樣（4）隨機采樣：采樣是隨機進行的,沒有固定的規(guī)律8.2信號的采樣與復(fù)現(xiàn)一、采樣過程——將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成離散信號的過程實現(xiàn)上述采樣過程的裝置稱為采樣開關(guān)一個連續(xù)信號經(jīng)采樣開關(guān)變成了采樣信號采樣脈沖的持續(xù)時間遠小于采樣周期T和系統(tǒng)的時間常數(shù)可以將窄脈沖看成是理想脈沖，從而可得采樣后的采樣信號采樣信號只在脈沖出現(xiàn)的瞬間才有數(shù)值，采樣過程可以看做是一個調(diào)制過程。二、信號的頻譜時域信號的傅立葉級數(shù)各次諧波的幅值在頻率軸上的分布譜。其中周期為T的時域函數(shù)f(t)=f(t-KT)的傅立葉級數(shù)展開為周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)為拉氏變換將jω代替s得到采樣函數(shù)的傅立葉變換采樣后信號頻譜是以s為周期的。三、采樣定理采樣時間滿足什么條件？才能復(fù)現(xiàn)原信號！連續(xù)信號在時域上是連續(xù)的，但頻域中的頻譜是孤立的；連續(xù)信號采樣之后，具有以采樣角頻率為周期的無限多個頻譜。采樣信號的頻譜采樣定理：為使采樣后的脈沖序列頻譜互不重疊，采樣頻率必須大于或等于原連續(xù)信號所含的最高頻率的兩倍，這樣方可通過適當(dāng)?shù)睦硐霝V波器把原信號毫無畸變的復(fù)現(xiàn)出來。

香農(nóng)定理的物理意義是：滿足香農(nóng)定理的采樣信號中含有連續(xù)信號的信息，該信息可以通過具有低通濾波特性的濾波器復(fù)現(xiàn)出來。信號的恢復(fù)是指將采樣信號恢復(fù)為連續(xù)信號的過程四、信號的復(fù)現(xiàn)（零階保持器）理想濾波器可以將采樣信號恢復(fù)成連續(xù)信號；理想濾波器是物理上不可實現(xiàn)的，因此要尋找一種物理上可實現(xiàn)，特性上又接近于理想濾波器的設(shè)備——保持器。采樣信號只在采樣點上有定義,f*(KT)和f*((K+1)T)都是有定義的,但是在這兩者之間的時間段上連續(xù)信號應(yīng)該是什么樣子呢?這就是保持器要解決的問題.可將展成如下泰勒級數(shù)時，各階導(dǎo)數(shù)的近似值

由此類推，計算n階導(dǎo)數(shù)的近似值需已知n+1個采樣時刻的瞬時值。若上式的右邊只取前n+1項，便得到n階保持器的數(shù)學(xué)表達式。信號的采樣與保持過程零階保持器的數(shù)學(xué)表達式為零階保持器:把采樣時刻KT的采樣值不增不減地保持到下一個采樣時刻（K＋1）T。零階保持器的輸入和輸出信號理想采樣開關(guān)的輸出Laplace變換為零階保持器的輸出為由上式可知零階保持器的傳遞函數(shù)零階保持器的頻率特性為相頻特性為其幅頻特性為其中零階保持器的頻率特性曲線如圖所示，可知零階保持器是一個低通濾波器，但不是理想的低通濾波器，它除了允許信號的主頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過。零階保持器的頻率特性如圖所示零階除了允許主頻譜分量通過之外，還允許一部分附加高頻分量通過。因此復(fù)現(xiàn)出的信號與原信號是有差別的。線性連續(xù)控制系統(tǒng)可用線性微分方程來描述，用拉普拉斯變換分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。對于線性采樣控制系統(tǒng)則可用線性差分方程來描述，用Z變換來分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。Z變換是研究采樣系統(tǒng)主要的數(shù)學(xué)工具，由拉普拉斯變換引導(dǎo)出來，是采樣信號的拉普拉斯變換。8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、z變換對上式進行Laplace變換，得連續(xù)信號經(jīng)采樣后得到的脈沖序列為1.Z變換的定義引入一個新的復(fù)變量代入上式可得z變換的定義式如下稱為的z變換，記作或由此可看出是關(guān)于復(fù)變量的冪級數(shù)。例8-1

求單位脈沖信號的z變換。

解：設(shè)，則由于在時刻的脈沖強度為1，其余時刻的脈沖強度均為零，所以有2.Z變換的求解方法1）級數(shù)求和法例8-2

求單位階躍信號的z變換。

解：設(shè)，則

該級數(shù)的收斂域為，在該收斂域內(nèi)，上式可以寫成如下閉合形式例8-3

求單位斜坡信號的z變換。

設(shè)，則上式兩邊對z求導(dǎo)數(shù)，并將和式與導(dǎo)數(shù)交換，得上式兩邊同乘，便得單位斜坡信號的z變換解：例8-4求指數(shù)函數(shù)的z變換。解：設(shè)，則例8-5設(shè)，求的z變換。解：上式兩邊求Laplace反變換，得再由例8-2和例8-4有2）部分分式法注意：不能直接將代入來求，因為是針對采樣信號進行z變換。3、z變換的基本性質(zhì)其中和為任意實數(shù)。1．線性性質(zhì)：若和z變換為和，則證明：2．時域滯后性質(zhì)若的z變換為，則證明：證明由于當(dāng)時，，所以有3．時域超前性質(zhì)若的z變換為，則證明4．復(fù)位移性質(zhì)已知的z變換函數(shù)為，則證明：

例8－6試用復(fù)位移性質(zhì)求的Z變換。

解5.初值定理和終值定理1初值定理：

設(shè)的z變換為，并且有極限存在，則

2終值定理：

設(shè)的z變換為，且的極點均在z平面的單位圓內(nèi)，則

例8－7設(shè)的Z變換為，試計算的終值。

解

四、z反變換z反變換是z變換的逆運算。其目的是由象函數(shù)求出所對應(yīng)的采樣脈沖序列（或），記作

z反變換只能給出采樣信號，而不能給出連續(xù)信號。注意1部分分式法若象函數(shù)是復(fù)變量z的有理分式，且的極點互異，則可展成如下形式：上式兩邊同乘z，再取z反變換得（8-36）（8-37）（8-38）例8-8已知z變換函數(shù)求其z反變換。解：首先將展成部分分式2長除法對比式可知若z變換函數(shù)是復(fù)變量z的有理函數(shù)，則可將展成的無窮級數(shù)，即例8-9已知z變換函數(shù)為求其z反變換。解：由運用長除法得由此得于是脈沖序列可以寫成3留數(shù)計算法由z變換的定義可知（8-43）設(shè)的極點為，則包圍了的所有極點

（8-48）例8-8已知z變換函數(shù)為試用圍線積分方法求z反變換。解：上式有兩個極點和，且所以五、用z變換法解線性常系數(shù)差分方程1差分的定義假設(shè)在圖8-3所示的采樣系統(tǒng)中，模擬—數(shù)字轉(zhuǎn)換器在離散時間對誤差信號進行采樣，并將瞬時值記為或，則的一階前項差分定義為二階前向差分定義為n階前向差分定義為n階后向差分定義為2.差分方程的解法1）迭代法例8－10

試用迭代法確定，當(dāng)輸入序列為，初始條件時的直到的解序列。解

時，時，時，時，時，2）Z變換法例8－11

試用Z變換法求解，離散函數(shù)差分方程的解已知輸入函數(shù)為解四、脈沖傳遞函數(shù)線性采樣系統(tǒng)初始條件為零時,系統(tǒng)輸出信號的z變換與輸入信號的z變換之比,稱為線性采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),或簡稱為z傳遞函數(shù)。實際采樣系統(tǒng)的輸出信號通常是連續(xù)信號,為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)概念,可在系統(tǒng)的輸出端虛設(shè)一個同步采樣開關(guān),使輸出成為采樣信號。

實際采樣系統(tǒng)設(shè)輸入脈沖序列為由疊加原理可求出系統(tǒng)對脈沖序列的響應(yīng)為

根據(jù)z變換的卷積定理，上式的z變換為

式中：G(z)、R(z)、C(z)分別為g(t)、r(t)、c(t)的z變換。

即采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為采樣脈沖傳函為連續(xù)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)的Z變換系統(tǒng)輸出的采樣信號為經(jīng)虛設(shè)采樣開關(guān)得到的脈沖序列反映的是連續(xù)輸出在采樣時刻的瞬時值。脈沖傳遞函數(shù)和連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一樣表征了采樣系統(tǒng)的固有特性；它除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)系，還與采樣開關(guān)在系統(tǒng)中的具體位置有關(guān)。2、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)由此求該開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。例8-12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，其中連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為解：連續(xù)部分的脈沖響應(yīng)函數(shù)為脈沖傳遞函數(shù)為或由得查表得2)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)時的脈沖傳遞函數(shù)圖8-15例8-13系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-15所示，其中求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)時的脈沖傳遞函數(shù)如圖8-16所示，其脈沖傳遞函數(shù)為各個連續(xù)環(huán)節(jié)z變換的乘積，記為圖8-16串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)的開環(huán)系統(tǒng)例8-14系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-16所示，其中求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：所以由于（3）有零階保持器時的脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

圖8-17帶零階保持器的開環(huán)采樣系統(tǒng)例8-15系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-17所示，其中采樣周期s求其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：由于所以3、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)圖8-18閉環(huán)采樣系統(tǒng)采樣開關(guān)的輸入和系統(tǒng)的輸出分別為整理得于是閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為例8-16閉環(huán)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖8-18所示，其中采樣周期秒，求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，若，求。解：對于階躍輸入函數(shù)有則輸出信號的z變換為于是注意有些閉環(huán)采樣系統(tǒng)不可能求出形式的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出信號的表達式。如圖8-19所示的閉環(huán)采樣系統(tǒng)（8-19）8.4離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、從s平面到z平面的影射關(guān)系由Z變換的定義若令則有S平面的左半平面，z的幅值在0和1之間變化，對應(yīng)z平面單位圓內(nèi)；S平面的虛軸，對應(yīng)z平面的單位圓；當(dāng)由變到時，圖8-19從s平面到z平面的影射2Z域的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定性判據(jù)在z平面上系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的特征根必須全部位于z平面的單位圓內(nèi)。設(shè)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為則閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點位于Z平面上的單位圓內(nèi)?；蛘哒f，所有極點的模都小于1,即，單位圓就是穩(wěn)定區(qū)域的邊界。2.勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)在分析連續(xù)系統(tǒng)時，曾應(yīng)用Routh穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的特征根位于s右半平面的個數(shù)，并依此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于采樣系統(tǒng)，也可用Routh判據(jù)分析其穩(wěn)定性，但由于在z域中穩(wěn)定區(qū)域是單位圓內(nèi)，而不是左半平面，因此不能直接應(yīng)用Routh判據(jù)。線性采樣系統(tǒng)不能直接使用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，因為采樣系統(tǒng)穩(wěn)定邊界是z平面上以原點為圓心的單位圓周，而不是虛軸。為能使用勞斯判據(jù)，可將z平面上單位圓周映射到新坐標(biāo)系中的虛軸，這種變換稱為w變換，或稱雙線性變換。引入如下雙線性變換此時可用Routh判據(jù)判斷采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性。式中，z、w均為復(fù)變量，可分別寫為

代入雙線性變換公式，得w平面虛軸上的點對應(yīng)于上式中實部為零的點，即

則設(shè)z平面上單位圓內(nèi)(u2+v2＜1)對應(yīng)著w平面實部為負數(shù)的左半平面。z平面上單位圓外(u2+v2＞1)對應(yīng)著w平面實部為正數(shù)的右半平面。z平面與w平面的映射關(guān)系所示。例8-17設(shè)采樣控制系統(tǒng)的方框圖如圖所示。采樣周期T=1s,T=0.5s試求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

解系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為將T=1s代入上式，得

進行w變換可求得w域系統(tǒng)的特征方程為

根據(jù)代數(shù)判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件為所以穩(wěn)定時K的取值為

穩(wěn)定時K的取值為

同理可得,T=0.5s時

開環(huán)增益K和采樣周期T對采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性有如下影響：(1)采樣周期T一定時，增加開環(huán)增益K會使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)開環(huán)增益K一定時,采樣周期T越長，丟失的信息越多，對采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性及動態(tài)性能均不利，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。與連續(xù)系統(tǒng)類似地求穩(wěn)態(tài)誤差有兩種方法：1)應(yīng)用z變換終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差的終值；2)應(yīng)用誤差脈沖傳遞函數(shù)計算靜態(tài)誤差系數(shù),進而得到穩(wěn)態(tài)誤差。8.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差負反饋采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在輸入信號作用下，誤差的z變換表達式為1當(dāng)輸入為階躍函數(shù)時定義靜態(tài)位置誤差系數(shù)為則根據(jù)終值定理，有2當(dāng)輸入是斜坡函數(shù)時定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)為穩(wěn)態(tài)誤差為3當(dāng)輸入是加速度信號時定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為穩(wěn)態(tài)誤差為采樣系統(tǒng)誤差除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信號有關(guān)外，還與采樣周期有關(guān)，縮小采樣周期可以減小穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)型別位置誤差速度誤差加速度誤差0型I型0II型00試計算系統(tǒng)分別在單位階躍、單位斜坡、單位拋物線函數(shù)輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差。解例8－18設(shè)離散控制系統(tǒng)的采樣周期為0.2s，開環(huán)傳遞函數(shù)例8-19已知采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，其中，，采樣周期s，求在輸入信號的作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖8-21解：采樣系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為該采樣系統(tǒng)穩(wěn)定在階躍和斜坡函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為因此，在輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為8.6離散控制系統(tǒng)的動態(tài)分析

一、離散系統(tǒng)的時域性能

設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為式中M(Z)、D(Z)——閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)分子多項式和分母多項式

設(shè)pi——閉環(huán)極點

zj——閉環(huán)零點二、Z平面上的特征根與系統(tǒng)的響應(yīng)性能當(dāng)輸入為單位階躍信號時系統(tǒng)輸出信號的z變換為

將上式展成部分分式可得式中：對上式進行z反變換，得采樣系統(tǒng)輸出采樣信號為

上式右邊第一項為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，第二項為暫態(tài)響應(yīng)分量。

顯然,隨極點在平面位置的不同，它所對應(yīng)的暫態(tài)分量也不同。

實數(shù)極點：若實數(shù)極點分布在單位圓內(nèi)，其對應(yīng)的分量呈衰減變化。正實數(shù)極點對應(yīng)的單調(diào)衰減，負實數(shù)極點對應(yīng)的振蕩衰減；共軛極點：有一對共軛復(fù)數(shù)極點pi與pi，即

當(dāng)|pi|＞1時,ci(k)為發(fā)散振蕩函數(shù)；當(dāng)|pi|＜1時，ci(k)為衰減振蕩函數(shù),振蕩角頻率為i為共軛復(fù)數(shù)系數(shù)Ai的幅角。

暫態(tài)響應(yīng)與極點位置關(guān)系

1)當(dāng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點位于z平面上以原點為圓心的單位圓內(nèi)時,其對應(yīng)的暫態(tài)分量是衰減的。2)要使控制系統(tǒng)具有比較滿意的暫態(tài)響應(yīng),其閉環(huán)極點應(yīng)盡量避免分布在Z平面單位圓內(nèi)的左半部,最好分布在單位圓內(nèi)的右半部。3)極點盡量靠近坐標(biāo)原點,相應(yīng)的暫態(tài)分量衰減速度較快。4)離單位圓周最近且附近無閉環(huán)零點的共軛復(fù)數(shù)極點為主導(dǎo)極點。例8－20試求下圖所示離散控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)脈沖序列。

8.7離散控制系統(tǒng)的校正

一、離散系統(tǒng)的根軌跡校正

1.Z平面的根軌跡

2.Z平面上的等ζ線、等線和等線

（1）Z平面上的等ζ線

（2）Z平面上的等線

（3）Z平面上的等線

曲線如圖8-33中的經(jīng)向曲線（縱向曲線）所示。

3.離散系統(tǒng)的根軌跡校正舉例例8－20數(shù)字控制系統(tǒng)的采樣周期為0.1s，試通過Z平面的根軌跡校正設(shè)計控制器的脈沖傳遞函數(shù)，使系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的超調(diào)量，峰值時間。解

圖8-37校正后的根軌跡圖8-38校正后系統(tǒng)的響應(yīng)序列二、脈沖控制器的數(shù)字實現(xiàn)

時，等式右是存儲器保存的輸出量的過去值、輸入量的過去值和輸入量的當(dāng)前值。時，等式右端含有輸入量未來時刻的單項，無法計算當(dāng)前采樣點的輸出值，屬不可實現(xiàn)的脈沖控制器。8.