復(fù)變函數(shù)-第一講

課程名稱復(fù)變函數(shù)教材《復(fù)變函數(shù)》(四版)西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室編總學(xué)時(shí)32學(xué)時(shí)教師姓名__劉艷__課程簡(jiǎn)介1對(duì)象復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、共形映射等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、2學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。3背景復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開(kāi)方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。直到十八世紀(jì)，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。4復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時(shí)期的三位代表人物。經(jīng)過(guò)他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。二十世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。5第一講復(fù)數(shù)6§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算

§2復(fù)數(shù)的表示方法

§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根7一、復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位:對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定:82.復(fù)數(shù):9兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等.復(fù)數(shù)z

等于0當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于0.說(shuō)明兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的大小,如果不全是實(shí)數(shù),就不能比較大小,也就是說(shuō),復(fù)數(shù)不能比較大小.10二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1.兩復(fù)數(shù)的和:2.兩復(fù)數(shù)的積:3.兩復(fù)數(shù)的商:114.共軛復(fù)數(shù):實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).例2解125.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):以上各式證明略.13例解14例解1516

1.點(diǎn)的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指數(shù)表示法§2復(fù)數(shù)的表示方法171.點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示：

數(shù)z與點(diǎn)z同義.182.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

稱向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)z=x+iy的模或絕對(duì)值；以正實(shí)軸為始邊,以為終邊的角的弧度數(shù)稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角.(z≠0時(shí))19輻角無(wú)窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz。

z=0時(shí)，輻角不確定。

計(jì)算argz(z≠0)的公式20當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。

當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加。

當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減。

214.利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.225.復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)23利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式6.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示24引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方程（或不等式）來(lái)確定它所表示的平面圖形。例1用復(fù)數(shù)方程表示:（1）過(guò)兩點(diǎn)zj=xj+iyj

(j=1,2)的直線；（2）中心在點(diǎn)(0,-1),

半徑為2的圓。oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)

（-∞<t<+∞）25xy(z)O(0,-1)226例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為注意.復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化,以適應(yīng)不同問(wèn)題的需要.27指數(shù)表示式為故三角表示式為指數(shù)表示式為28二、復(fù)球面1.南極、北極的定義29球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.我們可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大”與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng),記作.因而球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大的幾何表示.球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面.2.復(fù)球面的定義303.擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡(jiǎn)稱復(fù)平面.對(duì)于復(fù)數(shù)來(lái)說(shuō),實(shí)部,虛部,輻角等概念均無(wú)意義,它的模規(guī)定為正無(wú)窮大.復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴(kuò)充復(fù)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來(lái).3132

1.復(fù)數(shù)的乘積與商

2.復(fù)數(shù)的乘冪

3.復(fù)數(shù)的方根§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根33定理1

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz234幾何意義將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。定理1可推廣到n個(gè)復(fù)數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z235要使上式成立,必須且只需k=m+n+1.36定理2

兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。證明Argz=Argz2-Argz1即：由復(fù)數(shù)除法的定義z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）37設(shè)z=reiθ，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。2.復(fù)數(shù)的乘冪定義n個(gè)相同的復(fù)數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個(gè)）。定義特別：當(dāng)|z|=1時(shí)，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ一棣模佛(DeMoivre)公式。38問(wèn)題給定復(fù)數(shù)z=rei，求所有的滿足ωn=z的復(fù)數(shù)ω。3.復(fù)數(shù)的方根（開(kāi)方）——乘方的逆運(yùn)算當(dāng)z≠0時(shí)，有n個(gè)不同的ω值與相對(duì)應(yīng)，每一個(gè)這樣的ω值都稱為z的n次方根，39當(dāng)k=0，1，…，n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的根，而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。