大學(xué)物理課件：機(jī)械波

第二章機(jī)械波波動是一種常見的運動形式。波動以振動為基礎(chǔ)，是振動的傳播。在經(jīng)典物理中，有機(jī)械波（如聲波、水波、地震波等）、電磁波包括光波。在近代物理中，有物質(zhì)波。波動有各種具體形式，但它們的基本特征和數(shù)學(xué)描述相似。本章主要介紹機(jī)械波。主要內(nèi)容：波的一般概念，波如何描述？波動有什么特征（如干涉、衍射、反射、折射）。

2-1波的一般概念一、什么是波？波的產(chǎn)生條件所謂波——振動在空間的傳播。機(jī)械波——機(jī)械振動在空間的傳播電磁波——電磁振動在空間的傳播確切地說，波動是物理量（如位移、壓強(qiáng)、電場和磁場強(qiáng)度等）的周期性變化在空間的傳播。機(jī)械波產(chǎn)生的條件：波源（即做機(jī)械振動的物體）彈性媒質(zhì)（因物體（固體、氣體、液體）內(nèi)部傳播機(jī)械波靠物體彈性才能形成，故這些媒質(zhì)叫彈性媒質(zhì)）如地震波，有震源，地球本身是媒質(zhì)；聲波有發(fā)聲體，空氣是媒質(zhì)；水波，某處擾動是波源，水是媒質(zhì)。由于有空氣，我們生活在充滿音響的世界里。月球上無空氣，因而是一個寂靜的世界。太陽核爆炸聲音巨大，因無媒質(zhì)，地球上不能聽見。但電磁波和光波的傳播不需要媒質(zhì)。二、波的傳播圖像1、橫波與縱波按振動方向和傳播方向的不同，可以分為橫波和縱波橫波縱波為什么會出現(xiàn)橫波、縱波呢？主要與媒質(zhì)彈性有關(guān)。（1）橫波產(chǎn)生原因：

媒質(zhì)可產(chǎn)生切應(yīng)變切應(yīng)變媒質(zhì)能產(chǎn)生切應(yīng)變彈性，切應(yīng)力可以帶動鄰近質(zhì)點振動。形成橫波。固體可以產(chǎn)生切應(yīng)變——傳播橫波液體、氣體不能產(chǎn)生切應(yīng)變——不傳播橫波（2）縱波產(chǎn)生原因：媒質(zhì)可產(chǎn)生正應(yīng)變（拉、壓、體變彈性）媒質(zhì)產(chǎn)生正應(yīng)變彈性，能發(fā)生體積膨脹收縮或拉伸壓縮，從而產(chǎn)生正應(yīng)力，可形成疏密縱波。

固體、液體、氣體均產(chǎn)生正應(yīng)變——傳播縱波正應(yīng)變問：水面波是縱波還是橫波？內(nèi)部傳播縱波。但水面波容易使人產(chǎn)生橫波假象。水面波很復(fù)雜。既不是縱波，也不是橫波，而是一種非彈性波。是表面張力和重力共同作用結(jié)果水波傳播時，水的微團(tuán)繞平衡位置橢圓運動。微團(tuán)相對于平衡位置的位置矢量轉(zhuǎn)動，沿傳播方向落后一個角度，將矢量尖端連起來，便顯示波形。看起來像橫波，實際上并非橫波，更不是縱波。2、行波傳播圖像以橫波為例說明可見：質(zhì)點位移（1）傳播有一定速度，T內(nèi)傳播；（2）質(zhì)元本身不遷移，位相或狀態(tài)傳播；質(zhì)點位移（3）沿傳播方向，位相依次落后；（4）能量傳播（質(zhì)元有動能，形變有勢能）振動狀態(tài)和能量都在傳播的波——行波3、簡諧波即簡諧振動的傳播。任何復(fù)雜波=簡諧波疊加4、幾何描述（幾個名詞）波線——表示波的傳播方向的線（直線或曲線）波面——位相相同的點組成的面波前（波陣面）——最前方的波面即某時刻振動傳到的各點構(gòu)成的同相面。按波面形狀：平面波、球面波、柱面波等。波線波面波前平面波球面波遠(yuǎn)處的球面波、柱面波的局部可以視為平面波平面波、球面波、柱面波都是真實波動的理想近似各向同性介質(zhì)，波線波面，波線為直線。非各向同性則不然。三、描述波的特征量波是周期性振動在空間的傳播。振動是時間周期性的。波必然具有時間和空間兩種周期性。引入物理量描述波的周期性特征1、波的周期T（時間周期性）T——媒質(zhì)中各質(zhì)元振動狀態(tài)復(fù)原一次2、波的頻率（即振動頻率）的時間即振動周期或完成一次全振動的時間或一個完整波通過一點的時間3、波長（空間周期性）——波線上位相差為（相鄰?fù)帱c）的兩點間距一個周期內(nèi)振動傳播的距離一個完整波的長度峰-峰、谷-谷間距疏-疏、密-密間距每隔一個，振動狀態(tài)相同即空間周期性?！幌嗷蛘駝訝顟B(tài)傳播速度（1秒內(nèi)傳播的距離）——波每秒通過的距離中包含的完整波的數(shù)目每秒內(nèi)通過某點的完整波的數(shù)目與媒質(zhì)有關(guān)；與波源有關(guān)

2-2平面簡諧波的描述前述，任何復(fù)雜波都可以視為簡諧波的疊加，故研究簡諧波的規(guī)律有重要意義。此處，僅討論平面簡諧波。4、波速u波在傳播過程中，各質(zhì)元都在振動且傳播方向依次落后，能否用一個數(shù)學(xué)式將這種情形表達(dá)出來？這種描述波的數(shù)學(xué)表達(dá)式叫波函數(shù)（或波動方程）一、平面簡諧波波函數(shù)設(shè)平面波在無限大均勻介質(zhì)中傳播，且無吸收。如圖，一列平面諧波沿正向傳播，原點o的振動表達(dá)式為O點的振動以波速u傳到P點，沿x方向位相依次落后，每隔一個位相落后。P相對于O位相落后：P任意，略下標(biāo)P振動滯后時間位相落后數(shù)值引入波數(shù)k復(fù)數(shù)形式討論：波函數(shù)意義（1）

處振動方程處振動初相落后于原點（2）波形方程特定時刻，各質(zhì)點位移與坐標(biāo)的關(guān)系。時刻質(zhì)元位移分布曲線，或波的位形“照相”橫波：波形曲線與位移分布一致縱波：疏密波，波形曲線位移分布密部密部疏部疏部波形曲線縱波波形橫波波形實際位移位移大小方向（3）都變，波形推進(jìn)處t時刻的位移時刻的位移處（4）時空周期性（5）波函數(shù)只有相對意義與x坐標(biāo)和波速的相對取向有關(guān)與計時起點有關(guān)。如取位移最大處位計時起點即0時刻：（6）——質(zhì)元振動速度——波速即位相傳播速度二、波動動力學(xué)微分方程一般說來，波動有其特有的微分方程。對于機(jī)械波，用動力學(xué)方法（牛頓定律、胡克定律）可以得到機(jī)械平面波動力學(xué)微分方程（推導(dǎo)略）：該方程一般解為：任何物理量只要滿足上述方程，必定以波的形式傳播，傳播速度為u.特例不一定是簡諧波，還有其他形式平面波。在推導(dǎo)微分方程的過程中可以得到不同情況下的波速u：緊繩中橫波固體中縱波固體中橫波氣體中縱波液體中縱波Y、N、B的意義如何？證明：理想氣體聲速證：聲速快，近似絕熱證明：理想氣體聲速例題1已知波函數(shù)（1）波的振幅、波速、波長、頻率、周期、最大振動速度、最大振動加速度。求：（2）波線上相距2m的兩點間位相差。（3）x=0.5m處振動方程（4）t=1s時刻的波形曲線（5）x=1m處質(zhì)點在t=2s時刻的位相與原點在哪一時刻的位相相等。這一位相在t=4s時刻傳到哪一點？解對照（1）波的振幅、波速、波長、頻率、周期、最大振動速度、最大振動加速度。（2）波線上相距2m的兩點間位相差。（3）x=0.5m處振動方程（4）t=1s時刻的波形曲線（5）x=1m處質(zhì)點在t=2s時刻的位相與原點在哪一時刻的位相相等？該位相在t=4s時刻傳到哪一點？這一位相與原點在t=1s時位相相同該位相在t=4s時刻傳到x=3m處平面波向x正方向傳播，已知原點振動曲線如圖，例題2寫出波函數(shù)（波動方程）如果平面波向x負(fù)方向傳播？解（1）求出即可寫出波函數(shù)或如果平面波向x負(fù)方向傳播：2-3波的能量及其傳播波通過介質(zhì)時，質(zhì)元振動且形變，有動能和勢能，所以有能量在介質(zhì)中傳播。如何描述介質(zhì)中波的能量及其傳播？一、能量與能量密度設(shè)平面簡諧波在介質(zhì)中傳播，取質(zhì)元動能：可以證明：證*：以縱波為例此處：能量密度說明：（1）（2）（3）質(zhì)元從前方吸收能量極大，向后方放出能量極小二、能流與能流密度為了描述能量傳播特征，引入能流、能流密度

定義1：單位時間（每秒）內(nèi)通過某面積的波的能量稱為該面積的能流（dt內(nèi)）籠統(tǒng)但不細(xì)致描述波的能量傳播定義2：通過垂直于波傳播方向上單位面積的能流叫做波的強(qiáng)度（能流密度，坡印亭矢量）細(xì)致描述能量傳播波強(qiáng)度（能流密度）與能量密度關(guān)系：現(xiàn)分析：平面波與球面波振幅平面波

球面波球面波函數(shù)三、波的能量吸收實際上，波傳播時，媒質(zhì)要吸收部分能量，2-3波的傳播原理與波的特征波動——一種特殊的運動形式，必然具有一些特有的物理現(xiàn)象：包括，波的干涉（駐波）、衍射、反射、折射、散射。這些現(xiàn)象或特征可以用波的傳播原理解釋。一、波的傳播原理1、惠更斯原理S1

R1

S2R2

荷蘭的惠更斯在解釋波動現(xiàn)象時，于1690年提出了一個原理：S1

R1

S2R2

波前上的每一點都是一個新的球面波波源（子波源），其后任一時刻的子波的包跡便是新的波前?！莞乖砝迷撛?，由前一時刻波陣面，作出下一時刻波陣面?？梢越忉專悍瓷?、折射、衍射、散射核心思想：子波概念；缺陷：不能說明為什么子波不后退需要惠更斯-菲涅耳原理完善2、波的疊加原理理論和實驗證明：

（1）媒質(zhì)中每列波都保持各自獨立傳播的特性，不因其它波的存在而改變（波的獨立性）；

（2）在波的疊加區(qū)域中，各點的振動都是各波單獨存在時在該點引起的振動合成（波的疊加性）；——波的疊加原理例如，音樂會上，各種樂器聲、各種燈光相遇，互不影響和互不改變。波的疊加原理可以解釋：干涉（駐波），但只適應(yīng)強(qiáng)度不太大的波。線性二、波的干涉1、干涉現(xiàn)象與相干條件實驗證明，當(dāng)兩列以上的波在某區(qū)域同時傳播時，可能形成有的地方振動始終加強(qiáng)、另一些地方振動始終減弱的現(xiàn)象，稱為波的干涉。S1S2強(qiáng)強(qiáng)強(qiáng)弱弱弱弱波峰波谷簡言之，幾列波疊加時產(chǎn)生強(qiáng)度強(qiáng)弱的穩(wěn)定分布現(xiàn)象叫波的干涉。S1S2強(qiáng)強(qiáng)強(qiáng)弱弱弱弱波峰波谷水波干涉實驗相長相消相長相消能產(chǎn)生干涉的波叫相干波；相應(yīng)的波源叫相干波源。

相干條件：頻率相同；位相差恒定；振動方向相同。否則不相干。為什么要滿足這些條件？2、相干加強(qiáng)、減弱的條件波程差設(shè)波源的相同，且兩波在疊加區(qū)域振動方向相同。兩波在P點相遇的振動方程為：P點位相差波源位相差傳播路程不同的位相差波程差按同方向、同頻率振動合成：——干涉因子，影響合成的波的強(qiáng)度。如果疊加區(qū)域各點不變，則各點不變；如果疊加區(qū)域各點變化，則各點變化。干涉無干涉保持恒定，則保持恒定，強(qiáng)度穩(wěn)定分布。

哪些地方最大（干涉相長）？哪些地方最?。ǜ缮嫦嘞?？（1）干涉極大（相長）波峰-波峰、波谷-波谷相遇干涉極?。ㄏ嘞┎ǚ?波谷相遇以上滿足了相干條件：頻率相同；位相差恒定；振動方向相同。（2）波程差干涉相長干涉相消

問：如果兩振動頻率不同？如果位相差不恒定？如果兩振動方向不同？還有干涉嗎？三、駐波（干涉特例）特殊情況下，如果兩振幅相同、沿相反方向傳播的相干波疊加，其干涉有何特點？1、駐波方程

駐波——同一媒質(zhì)中，兩列振幅相同的相干波在同一直線上沿相反方向傳播時疊加而形成的波。設(shè)兩波在原點的振動初相均為0

疊加原理討論：（1）各點都在做同頻率、不同振幅的諧振動諧振因子波腹波節(jié)振幅分布波腹（振幅最大，為2A）波節(jié)（振幅最小，為0）—波節(jié)（始終不動）—波腹駐波形成過程圖（2）無位相傳播，同段同相，鄰段反相，無波形移動波腹波節(jié)“駐波”（3）因能流反向，故無能量傳播2、“半波損失”問題當(dāng)波入射到兩介質(zhì)分界面時，入射波和反射波疊加可以形成駐波。若反射波不動，反射點是波節(jié)。意味著在反射點，入射波和反射波位相相反，即反射波位相突變，相當(dāng)于波程差，或者說波反射時損失半個波長。波在反射點位相突變的現(xiàn)象——半波損失什么時候有半波損失？可以證明：當(dāng)垂直入射時，決定于

從小大，反射波有半波損失，界面波節(jié)（波疏）（波密）

從大小，反射波無半波損失，界面波腹（波密）（波疏）3、“自由端”“固定端”問題設(shè)x=0處為端點。反射點可能是波腹，也可能是波節(jié)。入射波反射波O端——自由端反射點是波腹入射波反射波若O端固定不動O端——固定端反射點是波節(jié)S1Cvv反射端為固定點反射端為自由端反射端為固定點：波節(jié)。入射波在反射時有的相位變。反射點為自由端：波腹。半波損失什么是駐波共振？如果將緊弦兩端固定，撥動弦，產(chǎn)生波動，來回反射，合成駐波。穩(wěn)定駐波條件：能形成穩(wěn)定駐波的那些頻率不連續(xù)：—弦振動本征或固有頻率4、駐波共振現(xiàn)象基頻諧頻—弦振動本征或固有頻率如果外界策動源頻率=某個本征頻率時，將激起強(qiáng)的駐波——該現(xiàn)象叫做駐波共振。如果外界策動源頻率=某個本征頻率時，將激起強(qiáng)的駐波——該現(xiàn)象叫做駐波共振。駐波有多個固有頻率，與彈簧振子只有一個固有頻率不同。駐波共振舉例：電動音叉；弦樂（二胡）；激光諧振腔；微波振蕩器；鼓面（二維駐波）；量子力學(xué)中一維無限深勢阱等千斤碼子L四、衍射、散射、反射、折射

衍射——波在前進(jìn)中遇到障礙物時，傳播方向發(fā)生改變，能繞過障礙物邊緣繼續(xù)前進(jìn)的現(xiàn)象。由惠更斯原理，波陣面上的點是子波源。右上圖小孔是子波源。發(fā)出球面子波，能傳到障礙物右邊被擋住部分。這樣，波繞過了障礙物繼續(xù)前進(jìn)。右下圖衍射不顯著，孔大，衍射波基本上還是平面波。只孔邊緣衍射。衍射的顯著程度與障礙物或小孔尺寸d及波長有關(guān)。

所以，無線電波波長長，能繞過很大的障礙物如建筑物、高山，電視信號、電臺信號能進(jìn)入千家萬戶。

光波波長短，很難衍射，需要特殊光學(xué)裝置。X射線波長更短，一般光學(xué)衍射裝置不能使其衍射，要晶體才能衍射。

散射——波傳到媒質(zhì)中懸浮粒子（如塵埃、雜質(zhì)、汽泡、煙霧粒子、密度起伏），這些粒子也成為子波源發(fā)射波動。手電光柱

如光在均勻介質(zhì)中直線傳播，由于有灰塵等從側(cè)面可看到顯灰塵的光柱

太陽光通過大氣層，受大氣分子（分子密度起伏）散射，藍(lán)色光散射最強(qiáng)，可看到蔚藍(lán)色的天空。因為有散射，能看到明媚柔和的陽光，否則，正對太陽看,十分刺眼，而周圍黑洞洞的。

宇航員在太空正對著星體才看到亮光，周圍黑洞洞的。12341234反射用惠更斯原理作圖可以得到反射定律如圖，光線1最先到達(dá)A點，發(fā)射反射線球面子波。光線4最后到達(dá)B點，剛發(fā)射反射線子波，而A點子波已到達(dá)。2、3光線介于前兩者之間。光線4到達(dá)B點時刻，各子波包跡便是該時刻波陣面由于反射波與入射波在同一介質(zhì)，傳播速度相同，故——反射定律12341234折射用惠更斯原理作圖可以得到折射定律1234123414波在兩介質(zhì)中速度不同折射定律2-5多普勒效應(yīng)一、什么是多普勒效應(yīng)？前面已經(jīng)討論：波源和觀察者相對媒質(zhì)靜止波源頻率=波的頻率=接收頻率當(dāng)波源或觀察著相對于媒質(zhì)運動，三頻率還相同嗎？例如，火車鳴笛而來，音調(diào)，鳴笛而去，音調(diào)說明：觀察者接收的頻率波源的頻率

由于波源或觀察者（或兩者）相對于媒質(zhì)運動，使觀察者接收的頻率與波源頻率不同，這種現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)接收的頻率與波源的頻率究竟存在什么關(guān)系？二、多普勒頻移公式討論幾種情況：1、S、R、媒質(zhì)相對靜止，2、S不動SR三個速度，三個頻率R向S運動：RSR離S運動：3、S運動RSSSS每隔發(fā)一個振動第一振動從A發(fā)出經(jīng)達(dá)C第二振動將從B發(fā)出波長——兩位相差為兩點間距。（同相點間距）第二振動從B發(fā)出時，同相點（）是B、C（非A、C）S向R運動RSSSS向R運動此時波長。若S不動：而媒質(zhì)中R不動第二振動從B發(fā)出時，同相點（）是B、C（非A、C）RSR不動RS若S離R運動：RSRS4、S、R都對媒質(zhì)運動RSRSRSRS接收2001February21ASonicBoomF/A-18Hornet5、電磁波頻移公式電磁波傳播不需要媒質(zhì)，以光速c傳播由相對論可以證明得：波源與觀察者相向波源與觀察者相離所以，光源遠(yuǎn)離觀察者，變長，移向紅端——“紅移”實驗證明：來自星體的光譜較地球上同一元素的光譜，幾乎都有“紅移”。說明星體正遠(yuǎn)離地球四面飛去（相互離開）這一結(jié)果支持了“宇宙大爆炸”理論光源遠(yuǎn)離觀察者——“紅移”“宇宙大爆炸”首先由比利時數(shù)學(xué)家勒墨策于1927年提出。1948年，俄國物理學(xué)家伽莫夫進(jìn)行具體化，建立了“大爆炸宇宙模型”認(rèn)為宇宙起源于150億年前的一個密度極大、溫度極高的“原始火球”。原因是，既然現(xiàn)在宇宙在膨脹，反推回去，宇宙最初則是一個奇點（密度無限大、溫度無限高），現(xiàn)在的理論無法描述。那時無原子、分子，更談不上星系、恒星。t=0時刻，發(fā)生爆炸，啟動膨脹，密度降低，溫度降低，在這個過程中發(fā)生一系列相變，后來形成了原子、分子、星體、千姿百態(tài)的物質(zhì)世界。現(xiàn)在星體還在相互遠(yuǎn)離。（是否再收縮？不清楚）大爆炸模型描述了宇宙演化過程，而且有許多實驗證據(jù)。“大爆炸宇宙模型”例題：汽車駛過車站前后，站上觀察者測得其聲音頻率從1200Hz變到1000Hz。已知聲速為330m/s，求車速。解：R不動SS先S向R運動：后S離R運動：R不動SS先S向R運動：后S離R運動：2-6習(xí)題總結(jié)與例題一、波函數(shù)的建立1、已知某點振動（振動方程、振動初始條件、振動圖線等）求波函數(shù)2、由已知波形求波函數(shù)基本方法：設(shè)法求出，或?qū)懗鲆稽c振動方程波函數(shù)二、已知波函數(shù)求1、（兩點間）對照標(biāo)準(zhǔn)方程：2、某點的振動情況：振動圖線等3、某時刻波形：三、作圖t1時刻波形t2時刻波形某點振動曲線某時刻波形曲線求波函數(shù)或直接畫四、波的疊加1、由分波求相遇點的合振動、判斷干涉強(qiáng)弱2、駐波：行波駐波方程，，波節(jié)、波腹位置。駐波行波A、等。注意自由端、固定端入射波反射波O——自由端入射波反射波O——自由端入射波反射波O端——固定端例題1：求下列波函數(shù)（1）x正向傳播的波，原點在計時起點向y負(fù)方向運動且位移為A/2（u=1m/s,）。（2）如右圖曲線。（3）沿x正向傳播的波，某時刻波形如右圖，。（4）沿x正向傳播的波，波形方程：解：（1）設(shè)原點已知：原點在計時起點向y負(fù)方向運動且位移為A/2故原點振動方程：波函數(shù)（2）由原點振動曲線可知由圖（3）時刻波形如右圖設(shè)原點原點題中，所以波函數(shù)為（4）沿x正向傳播的波，波形方程：例題2：沿x正向傳播的波，處點過平衡位置向y負(fù)方向運動，此時，處點正通過處向y正方向運動，（設(shè)）