大學高等數(shù)學-21傅立葉級數(shù)-一般周期的函數(shù)展開-習題課

一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運動:(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運動:令得函數(shù)項級數(shù)為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.

組成三角級數(shù)的函數(shù)系證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理2.

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且右端級數(shù)可逐項積分,則有證:

由定理條件,①②對①在逐項積分,得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七節(jié)一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

第十一章傅里葉級數(shù)(利用正交性)類似地,用sinkx

乘①式兩邊,再逐項積分可得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為的傅里葉系數(shù);由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級數(shù)

.稱為函數(shù)

傅里葉目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3(收斂定理,展開定理)設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有

x

為間斷點其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點注意:函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.簡介目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在上的表達式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級數(shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1)

根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.上的表達式為將f(x)展成傅里葉級數(shù).解:

設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

當時,級數(shù)收斂于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數(shù)定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開法其它機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

將函數(shù)級數(shù).則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2為周期的函數(shù)F(x),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.當x=0時,f(0)=0,得說明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)已知又機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理4.

對周期為2的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

設(shè)的表達式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級數(shù).是周期為2的周期函數(shù),它在解:

若不計周期為2的奇函數(shù),因此機動目錄上頁下頁返回結(jié)束n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級數(shù):級數(shù)的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情況見右圖.n＝5機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.將周期函數(shù)展成傅里葉級數(shù),其中E為正常數(shù).解:是周期為2的周期偶函數(shù),因此機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.在[0,]上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù)f(x)在[0,]上展成機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.

將函數(shù)分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).解:

先求正弦級數(shù).去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:在端點x=0,,級數(shù)的和為0,與給定函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦級數(shù).將則有作偶周期延拓,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

令

x=0

可得即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.周期為2的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理其中注意:

若為間斷點,則級數(shù)收斂于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)

奇函數(shù)正弦級數(shù)

偶函數(shù)余弦級數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開法

作奇周期延拓,展開為正弦級數(shù)

作偶周期延拓,展開為余弦級數(shù)1.

在[0,]上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級數(shù)就不同.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習處收斂于2.則它的傅里葉級數(shù)在在處收斂于

.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

,3.

設(shè)又設(shè)求當?shù)谋磉_式.解:

由題設(shè)可知應(yīng)對作奇延拓:由周期性:為周期的正弦級數(shù)展開式的和函數(shù),定義域機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.

寫出函數(shù)傅氏級數(shù)的和函數(shù).答案:定理3目錄上頁下頁返回結(jié)束P2501(1),(3);2(1),(2);3;5;7;8(2)第八節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)

備用題

1.葉級數(shù)展式為則其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的傅里2.

設(shè)是以2為周期的函數(shù),其傅氏系數(shù)為則的傅氏系數(shù)提示:令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束傅里葉(1768–1830)法國數(shù)學家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運用了三角級數(shù)和三角積分,他的學生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的文獻,他深信數(shù)學是解決實際問題傅里葉分析對近代數(shù)學以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠的影響.狄利克雷(1805–1859)德國數(shù)學家.對數(shù)論,數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出的貢獻,是解析數(shù)論他是最早提倡嚴格化方法的數(shù)學家.函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)收斂的第一個充分條件;了改變絕對收斂級數(shù)中項的順序不影響級數(shù)的和,舉例說明條件收斂級數(shù)不具有這樣的性質(zhì).他的主要的創(chuàng)始人之一,并論文都收在《狄利克雷論文集(1889一1897)中.1829年他得到了給定證明第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)一、以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉展開機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式

第十一章一、以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為2l函數(shù)f(x)周期為2

函數(shù)F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開f(x)的傅氏展開式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續(xù)點處)其中定理.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:

令,則令則所以且它滿足收斂定理條件,將它展成傅里葉級數(shù):(在F(z)的連續(xù)點處)變成是以2為周期的周期函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中令(在f(x)的連續(xù)點處)證畢機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:其中(在f(x)的連續(xù)點處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點處)其中注:無論哪種情況,在f(x)的間斷點x處,傅里葉級數(shù)收斂于如果

f(x)為奇函數(shù),則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

交流電壓經(jīng)半波整流后負壓消失,試求半波整流函數(shù)的解:

這個半波整流函數(shù),它在傅里葉級數(shù).上的表達式為的周期是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束n>1

時機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由于半波整流函數(shù)f(t)直流部分說明:交流部分由收收斂定理可得2k

次諧波的振幅為

k越大振幅越小,因此在實際應(yīng)用中展開式取前幾項就足以逼近f(x)了.上述級數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

把展開成(1)正弦級數(shù);(2)余弦級數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k

處級數(shù)收斂于何值?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)將作偶周期延拓,則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

此式對也成立,由此還可導出據(jù)此有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束當函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,方法1令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級數(shù)其傅里葉展開方法:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束方法2令在上展成正弦或余弦級數(shù)奇或偶式周期延拓將代入展開式在即上的正弦或余弦級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).解:

令設(shè)將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理條件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定機動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用歐拉公式二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式設(shè)f(x)是周期為2l的周期函數(shù),則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意到同理機動目錄上頁下頁返回結(jié)束傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式:因此得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束式的傅里葉級數(shù).例4.

把寬為,高為h,周期為T的矩形波展成復(fù)數(shù)形解:

在一個周期它的復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為內(nèi)矩形波的函數(shù)表達式為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束為正弦級數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式(x

間斷點)其中當f(x)為奇函數(shù)時,(偶)(余弦)2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓3.傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式利用歐拉公式導出機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習1.將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形?答:

易看出奇偶性及間斷點,2.計算傅里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨算?答:

用系數(shù)公式計算如分母中出現(xiàn)因子n－k作業(yè):

P2561(1),(3);2(2);3

從而便于計算系數(shù)和寫出收斂域.必須單獨計算.習題課目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題期的傅立葉級數(shù),并由此求級數(shù)(91考研)

解:為偶函數(shù),因

f(x)偶延拓后在展開成以2為周的和.故得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束得故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束習題課級數(shù)的收斂、求和與展開機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法一、數(shù)項級數(shù)的審斂法二、求冪級數(shù)收斂域的方法

第十一章

求和展開(在收斂域內(nèi)進行)基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級數(shù)展開.為傅立葉級數(shù).為傅氏系數(shù))時,時為數(shù)項級數(shù);時為冪級數(shù);機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、數(shù)項級數(shù)的審斂法1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz判別法:若且則交錯級數(shù)收斂,概念:且余項若收斂,稱絕對收斂若發(fā)散,稱條件收斂機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

若級數(shù)均收斂,且證明級數(shù)收斂.證:

則由題設(shè)收斂收斂收斂練習題:

P2571;2;3;4;5機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解答提示:P257

題2.判別下列級數(shù)的斂散性:提示:(1)據(jù)比較判別法,原級數(shù)發(fā)散.因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用比值判別法,可知原級數(shù)發(fā)散.用比值法,可判斷級數(shù)因n充分大時∴原級數(shù)發(fā)散.用比值判別法可知:時收斂;時,與p

級數(shù)比較可知時收斂;時發(fā)散.再由比較法可知原級數(shù)收斂.時發(fā)散.發(fā)散,收斂,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束P257題3.

設(shè)正項級數(shù)和也收斂.提示:

因存在N>0,又因利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂,證明級數(shù)當n>N時機動目錄上頁下頁返回結(jié)束P257題4.

設(shè)級數(shù)收斂,且是否也收斂？說明理由.但對任意項級數(shù)卻不一定收斂.問級數(shù)提示:

對正項級數(shù),由比較判別法可知級數(shù)收斂,收斂,級數(shù)發(fā)散.例如,取機動目錄上頁下頁返回結(jié)束P257題5.討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:提示:(1)P>1

時,絕對收斂;0<p≤1

時,條件收斂;p≤0

時,發(fā)散.(2)因各項取絕對值后所得強級數(shù)

原級數(shù)絕對收斂.故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束因單調(diào)遞減,且但所以原級數(shù)僅條件收斂

.由Leibniz判別法知級數(shù)收斂

;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束因所以原級數(shù)絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、求冪級數(shù)收斂域的方法?

標準形式冪級數(shù):先求收斂半徑R,再討論?非標準形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標準形式直接用比值法或根值法處的斂散性.P257題7.求下列級數(shù)的斂散區(qū)間:練習:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:當因此級數(shù)在端點發(fā)散,時,時原級數(shù)收斂.故收斂區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

因故收斂區(qū)間為級數(shù)收斂;一般項不趨于0,級數(shù)發(fā)散;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.解:

分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù)極限不存在∵原級數(shù)=∴其收斂半徑注意:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束?求部分和式極限三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法求和?

映射變換法逐項求導或求積分對和式積分或求導難直接求和:直接變換,間接求和:轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和,再代值求部分和等?初等變換法:分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)）?

數(shù)項級數(shù)求和機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

求冪級數(shù)法1

易求出級數(shù)的收斂域為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束法2先求出收斂