大學(xué)高等數(shù)學(xué)-21傅立葉級(jí)數(shù)-一般周期的函數(shù)展開(kāi)-習(xí)題課

一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng):(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng):令得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.

組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)定理2.

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分,則有證:

由定理?xiàng)l件,①②對(duì)①在逐項(xiàng)積分,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第七節(jié)一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

第十一章傅里葉級(jí)數(shù)(利用正交性)類似地,用sinkx

乘①式兩邊,再逐項(xiàng)積分可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)①稱為的傅里葉系數(shù);由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級(jí)數(shù)

.稱為函數(shù)

傅里葉目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理3(收斂定理,展開(kāi)定理)設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn),則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,且有

x

為間斷點(diǎn)其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點(diǎn)注意:函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.簡(jiǎn)介目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1)

根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于2)傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近說(shuō)明:f(x)的情況見(jiàn)右圖.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).解:

設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束周期延拓傅里葉展開(kāi)上的傅里葉級(jí)數(shù)定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)法其它機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

將函數(shù)級(jí)數(shù).則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2為周期的函數(shù)F(x),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,得說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)已知又機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理4.

對(duì)周期為2的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

設(shè)的表達(dá)式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).是周期為2的周期函數(shù),它在解:

若不計(jì)周期為2的奇函數(shù),因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級(jí)數(shù):級(jí)數(shù)的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情況見(jiàn)右圖.n＝5機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.將周期函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù),其中E為正常數(shù).解:是周期為2的周期偶函數(shù),因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.在[0,]上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級(jí)數(shù)奇延拓偶延拓正弦級(jí)數(shù)f(x)在[0,]上展成機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

將函數(shù)分別展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù).解:

先求正弦級(jí)數(shù).去掉端點(diǎn),將f(x)作奇周期延拓,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:在端點(diǎn)x=0,,級(jí)數(shù)的和為0,與給定函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦級(jí)數(shù).將則有作偶周期延拓,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

令

x=0

可得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.周期為2的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理其中注意:

若為間斷點(diǎn),則級(jí)數(shù)收斂于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù)

偶函數(shù)余弦級(jí)數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法

作奇周期延拓,展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)

作偶周期延拓,展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)1.

在[0,]上的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)處收斂于2.則它的傅里葉級(jí)數(shù)在在處收斂于

.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

,3.

設(shè)又設(shè)求當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式.解:

由題設(shè)可知應(yīng)對(duì)作奇延拓:由周期性:為周期的正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式的和函數(shù),定義域機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.

寫出函數(shù)傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù).答案:定理3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P2501(1),(3);2(1),(2);3;5;7;8(2)第八節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)

備用題

1.葉級(jí)數(shù)展式為則其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的傅里2.

設(shè)是以2為周期的函數(shù),其傅氏系數(shù)為則的傅氏系數(shù)提示:令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束傅里葉(1768–1830)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級(jí)數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的文獻(xiàn),他深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題傅里葉分析對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.狄利克雷(1805–1859)德國(guó)數(shù)學(xué)家.對(duì)數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出的貢獻(xiàn),是解析數(shù)論他是最早提倡嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家.函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂的第一個(gè)充分條件;了改變絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)中項(xiàng)的順序不影響級(jí)數(shù)的和,舉例說(shuō)明條件收斂級(jí)數(shù)不具有這樣的性質(zhì).他的主要的創(chuàng)始人之一,并論文都收在《狄利克雷論文集(1889一1897)中.1829年他得到了給定證明第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一、以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式

第十一章一、以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)周期為2l函數(shù)f(x)周期為2

函數(shù)F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開(kāi)f(x)的傅氏展開(kāi)式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉展開(kāi)式為(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中定理.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明:

令,則令則所以且它滿足收斂定理?xiàng)l件,將它展成傅里葉級(jí)數(shù):(在F(z)的連續(xù)點(diǎn)處)變成是以2為周期的周期函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其中令(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)證畢機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:其中(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中注:無(wú)論哪種情況,在f(x)的間斷點(diǎn)x處,傅里葉級(jí)數(shù)收斂于如果

f(x)為奇函數(shù),則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

交流電壓經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解:

這個(gè)半波整流函數(shù),它在傅里葉級(jí)數(shù).上的表達(dá)式為的周期是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束n>1

時(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由于半波整流函數(shù)f(t)直流部分說(shuō)明:交流部分由收收斂定理可得2k

次諧波的振幅為

k越大振幅越小,因此在實(shí)際應(yīng)用中展開(kāi)式取前幾項(xiàng)就足以逼近f(x)了.上述級(jí)數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

把展開(kāi)成(1)正弦級(jí)數(shù);(2)余弦級(jí)數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k

處級(jí)數(shù)收斂于何值?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)將作偶周期延拓,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

此式對(duì)也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時(shí),方法1令即在上展成傅里葉級(jí)數(shù)周期延拓將在代入展開(kāi)式上的傅里葉級(jí)數(shù)其傅里葉展開(kāi)方法:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方法2令在上展成正弦或余弦級(jí)數(shù)奇或偶式周期延拓將代入展開(kāi)式在即上的正弦或余弦級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

將函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù).解:

令設(shè)將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理?xiàng)l件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束利用歐拉公式二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式設(shè)f(x)是周期為2l的周期函數(shù),則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意到同理機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式:因此得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束式的傅里葉級(jí)數(shù).例4.

把寬為,高為h,周期為T的矩形波展成復(fù)數(shù)形解:

在一個(gè)周期它的復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為內(nèi)矩形波的函數(shù)表達(dá)式為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為正弦級(jí)數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)公式(x

間斷點(diǎn))其中當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),(偶)(余弦)2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法變換延拓3.傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式利用歐拉公式導(dǎo)出機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.將函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)為什么最好先畫出其圖形?答:

易看出奇偶性及間斷點(diǎn),2.計(jì)算傅里葉系數(shù)時(shí)哪些系數(shù)要單獨(dú)算?答:

用系數(shù)公式計(jì)算如分母中出現(xiàn)因子n－k作業(yè):

P2561(1),(3);2(2);3

從而便于計(jì)算系數(shù)和寫出收斂域.必須單獨(dú)計(jì)算.習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題期的傅立葉級(jí)數(shù),并由此求級(jí)數(shù)(91考研)

解:為偶函數(shù),因

f(x)偶延拓后在展開(kāi)成以2為周的和.故得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束得故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束習(xí)題課級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開(kāi)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展開(kāi)法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法

第十一章

求和展開(kāi)(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)基本問(wèn)題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級(jí)數(shù)展開(kāi).為傅立葉級(jí)數(shù).為傅氏系數(shù))時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);時(shí)為冪級(jí)數(shù);機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:若且則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,概念:且余項(xiàng)若收斂,稱絕對(duì)收斂若發(fā)散,稱條件收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

若級(jí)數(shù)均收斂,且證明級(jí)數(shù)收斂.證:

則由題設(shè)收斂收斂收斂練習(xí)題:

P2571;2;3;4;5機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解答提示:P257

題2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:提示:(1)據(jù)比較判別法,原級(jí)數(shù)發(fā)散.因調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束利用比值判別法,可知原級(jí)數(shù)發(fā)散.用比值法,可判斷級(jí)數(shù)因n充分大時(shí)∴原級(jí)數(shù)發(fā)散.用比值判別法可知:時(shí)收斂;時(shí),與p

級(jí)數(shù)比較可知時(shí)收斂;時(shí)發(fā)散.再由比較法可知原級(jí)數(shù)收斂.時(shí)發(fā)散.發(fā)散,收斂,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P257題3.

設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和也收斂.提示:

因存在N>0,又因利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂,證明級(jí)數(shù)當(dāng)n>N時(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P257題4.

設(shè)級(jí)數(shù)收斂,且是否也收斂？說(shuō)明理由.但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂.問(wèn)級(jí)數(shù)提示:

對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),由比較判別法可知級(jí)數(shù)收斂,收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.例如,取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P257題5.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:提示:(1)P>1

時(shí),絕對(duì)收斂;0<p≤1

時(shí),條件收斂;p≤0

時(shí),發(fā)散.(2)因各項(xiàng)取絕對(duì)值后所得強(qiáng)級(jí)數(shù)

原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因單調(diào)遞減,且但所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂

.由Leibniz判別法知級(jí)數(shù)收斂

;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法?

標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù):先求收斂半徑R,再討論?非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù)通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性.P257題7.求下列級(jí)數(shù)的斂散區(qū)間:練習(xí):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:當(dāng)因此級(jí)數(shù)在端點(diǎn)發(fā)散,時(shí),時(shí)原級(jí)數(shù)收斂.故收斂區(qū)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:

因故收斂區(qū)間為級(jí)數(shù)收斂;一般項(xiàng)不趨于0,級(jí)數(shù)發(fā)散;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.解:

分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù)極限不存在∵原級(jí)數(shù)=∴其收斂半徑注意:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束?求部分和式極限三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法求和?

映射變換法逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分對(duì)和式積分或求導(dǎo)難直接求和:直接變換,間接求和:轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和,再代值求部分和等?初等變換法:分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)）?

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

求冪級(jí)數(shù)法1

易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束法2先求出收斂