北師大版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)2019版-分層隨機(jī)抽樣的均值與方差教學(xué)設(shè)計(jì)

《分層隨機(jī)抽樣的均值與方差》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情境某學(xué)校高一年級(jí)，如果只知道甲班和乙班的數(shù)學(xué)平均成績(jī)和方差，以及甲班和乙班的人數(shù)，而缺少每名學(xué)生的成績(jī)，如何計(jì)算整個(gè)高一年級(jí)數(shù)學(xué)的平均成績(jī)和方差？教師提出問題，引入本節(jié)課的課題.設(shè)計(jì)意圖：如果不知道樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)，只知道分層隨機(jī)抽樣中各層的平均數(shù)和方差，以及各層所占的比例(權(quán)重)，如何計(jì)算樣本的平均數(shù)和方差？這是一個(gè)新問題.提出問題，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引入課題.二、溫故知新.我們前面學(xué)習(xí)了哪些抽樣的方法？如何選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行抽樣？提示：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣與分層隨機(jī)抽樣，當(dāng)總體有明顯的層次差異時(shí)用分層隨機(jī)抽樣..如何計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差？(1)如果在n個(gè)數(shù)據(jù)中，\出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次…、出現(xiàn)fk次(f+f2+.?.+fk=Q，那么這n個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)是x--(xf+xfH Fxf).n11 22 kk(2)方差：S2-—P(x—x>+(x—x>++(x—x)2.nL1 2 n-(3)標(biāo)準(zhǔn)差：s-p(x—x)2+(x—x)2+…+(x—x)2].VnL1 2 n」三、探索分層抽樣的平均數(shù)例1、某公司的高收入員工月平均工資是11000元，中等收入員工月平均工資是6500元，低收入員工月平均工資是2900元.能否認(rèn)為該公司員工的月平均工資收入是11000+6500+2900-6800(元)？這樣計(jì)算平均數(shù)的方法合理嗎？3教師追問：(1)如果該公司有90名員工，其中高收入者、中等收入者和低收入者分別是30名，這種計(jì)算方法合理嗎？（2）如果該公司有10名員工，其中50名屬于高收入者，150名屬于中等收入者，800名屬于低收入者，這種計(jì)算方法合理嗎？先找?guī)酌麑W(xué)生分析，根據(jù)學(xué)生分析的情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)總結(jié).對(duì)于問題（1），由于高收入者、中等收入者和低收入者占的比例相同，這種計(jì)算方法是合理的.對(duì)于問題（2），由于每一類員工所占比例不同，特別是高收入者很少，他們的月平均工資對(duì)該公司員工的月平均工資影響較小.因此，上述計(jì)算方法顯然不合理.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從感性上認(rèn)識(shí)平均數(shù)并不是簡(jiǎn)單的幾個(gè)數(shù)字相加除以數(shù)字的個(gè)數(shù)，還要考慮數(shù)字所占的比例（權(quán)重）.例2、甲、乙兩位同學(xué)相約晚上在某餐館吃飯他們分別在A，B兩個(gè)網(wǎng)站查看同一家餐館的好評(píng)率.甲在網(wǎng)站A查到的好評(píng)率是98%，而乙在網(wǎng)站B查到的好評(píng)率是85%.綜合考慮這兩個(gè)網(wǎng)站的信息，應(yīng)該如何得到這家餐館的總好評(píng)率?教師追問：（1）根據(jù)給出的信息，你能計(jì)算出這家餐館的好評(píng)率嗎？（不能計(jì)算）（2）假設(shè)網(wǎng)站A有100人進(jìn)行評(píng)價(jià)，網(wǎng)站B也有100人進(jìn)行評(píng)價(jià)，你能計(jì)算這家餐館的總好評(píng)率嗎？（好評(píng)率為98%+85%=91.5%）2（3）假設(shè)網(wǎng)站A有100人進(jìn)行評(píng)價(jià)，網(wǎng)站B有200人進(jìn)行評(píng)價(jià)，你能計(jì)算這家餐館的總好評(píng)率嗎？（好評(píng)率為-x98%+2°。x85%x89.3%）300（4）假設(shè)網(wǎng)站A有勺人進(jìn)行評(píng)價(jià)，網(wǎng)站B有n2人進(jìn)行評(píng)價(jià)，你能計(jì)算這家餐館的總好評(píng)率嗎？（好評(píng)率為：設(shè)在網(wǎng)站A評(píng)價(jià)該餐館的人數(shù)為n「其中給出好評(píng)的人數(shù)為mJ在網(wǎng)站B評(píng)價(jià)該餐館的人數(shù)為n2，其中給出好評(píng)的人數(shù)為m2.由題目條件,空=98%，m=85%.綜合A，B兩個(gè)網(wǎng)站的信息，這家餐館的總好評(píng)率應(yīng)為n n

0.98n+0.850.98n+0.85n 1 2

n+n=0.98———+0.85?—―n+nn+n其中，和分別是各自的權(quán)重，總好評(píng)率等于相應(yīng)的好評(píng)率與其n+nn+n權(quán)重乘積的和.所以除非再知道A，B兩個(gè)網(wǎng)站評(píng)價(jià)人數(shù)的比例關(guān)系，否則并不能求出總好評(píng)率.設(shè)計(jì)意圖：通過問題設(shè)計(jì)，給學(xué)生搭建臺(tái)階，使問題的跨度減小，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入思考，最后得出結(jié)論這樣使一般的學(xué)生比較容易接受.抽象概括：1.一般地，將樣本a1,a2,…巴和樣本b1,(…,bn合并成一個(gè)新樣本，則這個(gè)新樣本的平均數(shù)為a+a+???+a+b+b+???+bma+a+???+anb+b+???+b-1 2 m 1 2 n= ,-1 2 m+ ,-1 2 mm+n m+nm m+nnm_n_= x+ x.m+n1m+n2其中樣本aJa2,…,am的平均數(shù)為『樣本b1,4,…,bn的平均數(shù)為X2，記w=———,w=---稱為權(quán)重.1m+n2m+n2.設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)和相應(yīng)權(quán)重分別為X1,X2,…,Xn和w1,w?,…,wn,則這個(gè)樣本的平均數(shù)如何計(jì)算？設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)和相應(yīng)權(quán)重分別為X1,X2,…,Xn和w1,w2,…,wn,則這個(gè)樣本的平均數(shù)為wa+w2X2+…+wnX/為了簡(jiǎn)化表示，引進(jìn)求和符號(hào)，記作wx+wX+ +wX=乙wxi=1四、探索分層抽樣的方差例3、甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成績(jī)?yōu)?0.5分，方差為500；乙班的平均成績(jī)?yōu)?5分，方差為360.那么

甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績(jī)和方差分別是多少？讓學(xué)生自己完成甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績(jī)的計(jì)算，教師可以找兩名學(xué)生板演計(jì)算過程.解：設(shè)甲班50名學(xué)生的成績(jī)分別是a1,a2，…,a50，那么甲班的平均成績(jī)、權(quán)50905090，x=〃「a+a50=80.5（分）,攻甲 50 甲（a一x）+（a一x）H b（a一x）用一々―S 2―50 50―J―500.設(shè)乙班40名學(xué)生的成績(jī)分別是b1,b2,…,bJ那么乙班的平均成績(jī)、權(quán)重和方差分別為TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"一 b+bH Fb （八） 40X= 240-=85\分）,W=\o"CurrentDocument"乙 40 乙90（b-X）2+（b-X）2+…+（b-X）2s2二 乙 2 乙 40 乙一二360乙 40如果不知道a,a2,…,a^和b1,b2,…,b40，只知道甲、乙兩班的平均成績(jī)、方差及權(quán)重，那么根據(jù)前面的分析，全部90名學(xué)生的平均成績(jī)應(yīng)為甲甲乙乙9090X=3X+3X=—x80.5+—x85=82.5（分）甲甲乙乙9090提出問題：如何計(jì)算90名學(xué)生的方差?先讓學(xué)生進(jìn)行充分的思考討論，然后引導(dǎo)學(xué)生利用方差公式進(jìn)行推導(dǎo).全部90名學(xué)生的方差可以用式子進(jìn)行計(jì)算，s2=w甲50=——xl90Ls2進(jìn)行計(jì)算，s2=w甲50=——xl90Ls2甲因此，+（X甲一X}]s2+乙（x乙一X）2忡s2+（無乙一X）2]40500+（80.5-82.5）2]+癡x[360+（85-82.5）250x500+50x4+40x360+40x6.2590根據(jù)方差的意義，全X442.78.部90名學(xué)生的方差為，它與運(yùn)用式子①得出的結(jié)果是否一致呢?TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"一(「D+藝(b—D901i i，它與運(yùn)用式子①得出的結(jié)果是否一致呢?i=1 i=1實(shí)際上藝(a一x)2=光(a一x+x一x)2i=1 i=1=R^(^ax^)2+2(a.—x甲)(x'甲-x)+(x甲-x)2]i=1\o"CurrentDocument"=R(a-x)+2(x-x)R(a-x)+50(x-x)2.i甲 甲 i甲 甲i=1 i=1因^為(a—x)=a+a+,?,+a-50x=0,i=1所以藝(a一x)2=X(a-x)+50(x-x)2.i=1 i=1同理S(b-x)2=X(b-x>+40(x-x>.=1 =1S(a-x》+E(b-x)2于是 ― 90S(a.—x甲)+50(x甲-x)2+S(b-x)2+40(x-x)29050s(a[〈J。(x-040S(b-x?4°(--x)2=X-==i 1 甲 1 X-i=i 1 乙 90 50 90 90 40 90讓學(xué)生代入公式求全部90名學(xué)生的方差教師找兩名學(xué)生板演計(jì)算過程.抽象概括：設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為-,x，…,-，方差分別為s2,s2,…,s2，相應(yīng)1 2n 1 2n的權(quán)重分別為31g2,…,3n則這個(gè)樣本的方差為s2=S3i[的權(quán)重分別為31g2,…,3ni=1亍為這個(gè)樣本的平均數(shù).設(shè)計(jì)意圖：分層隨機(jī)抽樣樣本方差公式的推導(dǎo)，運(yùn)算量比較大，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求比較高，教師要根據(jù)學(xué)生的具體情況，進(jìn)行必要的引導(dǎo)，幫助學(xué)生完成推導(dǎo)過程由于推導(dǎo)過程比較煩瑣，推導(dǎo)出公式后，要求學(xué)生記住這個(gè)公式.五、課堂總結(jié)引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方面進(jìn)行歸納：.分層隨機(jī)抽樣的均值與方差公式的推導(dǎo)..分層隨機(jī)抽樣的均值與方差公式的應(yīng)用.六、課后作業(yè).教材第171頁練習(xí)第1題..教材第173頁練習(xí)第1題.板書設(shè)計(jì)4.2分層隨機(jī)抽樣的均值與方差一、分層隨機(jī)抽樣的均值1.一般地，將樣本a1,a2，…巴和樣本b1,b2,…,bn合并成一個(gè)新樣本，則這個(gè)新樣本的平均數(shù)為a+a+???+a+b+b+???+bma+a+???+a—[ 2 m 1 2 n= -—1 2 mm+n m+nmnb+bH bbm_n_H 1 2 m-- XH x.m+nn m+n1m+n2其中樣本a/a2,…,am的平均數(shù)為『樣本b『',…,bn的平均數(shù)為X2.記w————,w——--稱為權(quán)重1m+n2m+n2.設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)和相應(yīng)權(quán)重分別為X,,…,Xn和％,嗎，…,匕,則這個(gè)樣本的平均數(shù)為w1^+w2X2+…+wnX/為了簡(jiǎn)化表示，引進(jìn)求和符號(hào)記作WX+wXH bwX=￡WXi-1二、分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為工,X，…,無，方差分別為S2,S2,…,S2，相1 2n 1 2n應(yīng)的權(quán)重分別為％32，…,3n，則這個(gè)樣本的方差為S2=￡①[s；+(X-X>],i=1其中X為這個(gè)樣本的平均數(shù)教學(xué)研討本案例通過設(shè)計(jì)問題情