函數(shù)連續(xù)性定義和間斷點

一、函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點一、函數(shù)在一點的連續(xù)性可見,函數(shù)在點(1)在點即(2)極限(3)連續(xù)必須具備下列條件:存在;有定義,存在;1.定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且注意:在點連續(xù),則極限運算和函數(shù)運算可以交換順序。即：(1)若(2)函數(shù)存在例1:討論函數(shù)在點處的連續(xù)性2.函數(shù)在點連續(xù)的等價定義定義：設(shè)函數(shù)自變量由變到,則叫做自變量的增量；相應的函數(shù)值由變到,則叫做函數(shù)值的增量（改變量）當時,有函數(shù)在點連續(xù)有下列等價命題:右連續(xù)左連續(xù)例2.證明函數(shù)在點連續(xù).定義1：若在某區(qū)間上每一點都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).同理可證：函數(shù)在點連續(xù).3.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.由例2知函數(shù)及在其定義域區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的二、函數(shù)的間斷點若函數(shù)在點不連續(xù)，則稱在點間斷，稱為間斷點.

在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):則下列情形之一函數(shù)

在點雖有定義,但雖有定義,且在無定義;1.可去間斷點，則稱為的可去間斷點但如果，而在點無定義，或者有定義例2：設(shè),討論在x=1的連續(xù)性注意：可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.例3：設(shè),討論在x=0處的連續(xù)性解:2.跳躍間斷點例4：解則稱為函數(shù)的跳躍間斷點如果在點存在左、右極限，但跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點：3.第二類間斷點則稱為的第二類間斷點函數(shù)在點的左、右極限至少有一個不存在，例5：處的連續(xù)性在討論函數(shù)例6解例7解三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點第二類間斷點間斷點(見下圖)可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyx可去型oyx四、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與運算性性質(zhì)1:（局部有界性）若函數(shù)在點連續(xù)則存在的一個鄰域及定值，當時，有。當時，性質(zhì)2:（局部保號性）若函數(shù)在點連續(xù)，則存在的一個鄰域，有性質(zhì)3：（連續(xù)函數(shù)的四則運算法則）例如：例1：證明函數(shù)在內(nèi)是連續(xù)的。性質(zhì)4：（復合函數(shù)的連續(xù)性）例2：討論函數(shù)的連續(xù)性。在上連續(xù)，在上各自連續(xù)連續(xù)，解：函數(shù)可以看做是由，復合而成的，在上各自連續(xù)。所以性質(zhì)5：（反函數(shù)的連續(xù)性）

連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增（遞減）的反函數(shù)必是連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增（遞減）的函數(shù).五、初等函數(shù)的連續(xù)性定理2：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.例如,定理1：基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.備用題

確定函數(shù)間斷點的類型.解:間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.1、解右連續(xù)但不左連續(xù),2、解四、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.兩個定理;兩點意義.反函數(shù)的連續(xù)性.思考題思考題解答是它的可去間斷點練習題練習題答案間斷的演示第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點震蕩間斷點間斷的演示第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點無定義、值太高、值太低跳躍間斷點無窮間斷點震蕩間斷點間斷的演示●●●哎呀,不好!有個洞,還沒有支撐，我掉下去了!!!注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.G間斷的演示●●●哎呀,不好!有個洞,還沒有支撐，我掉下去了!!!注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.正好，連上了，我和其他的點連上了！G間斷的演示●●●哎呀,太高了!夠不著，又有個洞,我還是掉下去了!!!●注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.正好，連上了，我和其他的點連上了！G間斷的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆著了!!!●●注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.正好，連上了，我和其他的點連上了！G間斷的演示●●哎呀,前不著村，后不著店的，就是能單邊撐著，也靠不住啊，我還是掉下去了!!!●注意到：這種間斷點稱為跳躍間斷點.

這點放哪兒能接上呢？●G間斷的演示●●哎，小紅點，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！這種間斷點稱為無窮間斷點G間斷的演示●：Hi,小紅點，你能不能停??？我怎么也停不住，那可怎么連上??？●：Hi,小藍點，你停不住，我也停不住啊。還想連上，你可真逗！●●●●這種間斷點稱為震蕩間斷點。G有界定理;最值定理;零點定理;介值定理.3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例3.設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=

,b=

.提示:1．當時，較等價無窮小量

(B)同階無窮小量

(C)低階無窮小量

(D)高階無窮小量是（）課堂測驗2．下列各式中正確的是（）

B

C