三角形內(nèi)角和定理的證明與應(yīng)用

三角形內(nèi)角和的證明及應(yīng)用一、復(fù)習(xí)“三角形內(nèi)角和定理”

我們已經(jīng)知道：三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°。即：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180゜ABC二、論證“三角形內(nèi)角和定理”

怎樣驗(yàn)證三角形的三個(gè)角的和等于180°呢？

即把∠A撕下來放在∠1的位置上，把∠B撕下來放在∠2的位置上。這時(shí)就可得∠ACB和∠1和∠2組成了一條直線，得到∠ACB+∠1+∠2=180゜，就可說明∠A+∠B+∠C=180゜了。

你動(dòng)手試過了嗎？.

在前面我們是采用拼接的方法來說明的。

但是組成的BC和CD真的就是一條直線嗎？很明顯，這是無法確定的言必有“據(jù)”

回顧與思考?1ABD23C(1)如圖,當(dāng)時(shí)我們是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不實(shí)際移動(dòng)∠A和∠B,那么你還有其它方法可以達(dá)到同樣的效果?(2)根據(jù)前面的公理和定理,你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用比較簡捷的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.21“行家”

看“門道”已知:如圖,∠A、∠B、∠C

是△ABC的三內(nèi)角.求證:∠A+∠B+∠C=180°.證明:作BC的延長線CD,過點(diǎn)C作CE∥AB,則

例題欣賞?

你還有其它方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎?.

∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),

∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠3=180°

(平角的定義),∴∠A+∠B+∠ACB=180°

(等量代換).分析:延長BC到D,過點(diǎn)C作射線CE∥AB,這樣,就相當(dāng)于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.這里的CD,CE稱為輔助線,輔助線通常畫成虛線.ABCE213D一題多解在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí),小明的想法是把三個(gè)角“湊”到A處,他過點(diǎn)A作直線PQ∥BC(如圖),他的想法可以嗎?議一議請(qǐng)你幫小明把想法化為實(shí)際行動(dòng).小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí),由此你受到什么啟發(fā)?你有新的證法嗎?證明:過點(diǎn)A作PQ∥BC,則

∠1=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),

∠2=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),

又∵∠1+∠2+∠3=180°

(平角的定義),∴∠BAC+∠B+∠C=180°

(等量代換).所作的輔助線是證明的一個(gè)重要組成部分,要在證明時(shí)首先敘述出來.PQ231ABCABC已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°開啟智慧小組討論一下，還有其他證明方法嗎？把三個(gè)角“湊”到B處,C處，結(jié)果如何？可以試試嗎？ABC證明：過A作AE∥BC，E∴∠B=∠BAE(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)

∠EAB+∠BAC+∠C=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代換)開啟智慧ABCPQR證明：過點(diǎn)P作PQ∥AC交AB于Q點(diǎn)，作PR∥AB交AC于R點(diǎn)?！嗨倪呅蜛QPR是平行四邊形（平行四邊形的定義）∴∠

QPR=∠A

（平行四邊形的對(duì)角相等）∠

RPC=∠B（兩直線平行，同位角相等）∠

QPB=∠C（兩直線平行，同位角相等）∵∠

QPB+∠QPR+∠RPC=180°（平角的定義）∴∠

A+∠B+∠C=180°

（等量代換）三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.∠A+∠B+∠C=1800的幾種變形:∠A=1800

–(∠B+∠C).∠B=1800

–(∠A+∠C).∠C=1800

–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.這里的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.

兩種語言?ABC

小結(jié)拓展例：如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？CABDE解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°．∵AD∥BE，∴∠BAD+∠ABE=180°．∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°．∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°．在△ABC中．∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°．答：從C島看A、B兩島的視角∠ACB=90°

我們證明了三角形內(nèi)角