2019暑初二數(shù)學(xué)-幾何專練截長補短解析

\\PAGE9\\PAGE8【知識總結(jié)截長補短：截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．若題目條件或求證結(jié)論中含有“a=b+c”的條件，需要添加輔助線時多考慮“截長補短”.【經(jīng)典例題【例1】如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于D．求證【解答】法一截長：證明：如圖，在DC上截取DE＝BD，連接∴△AEC為等腰三角形，又∵AD⊥BC，所以D為EC【練1】如圖，△ABC中，AB＝，BD＝，AD⊥BC于D．∠B＝2∠C，則 A．2+B．2﹣C．+D．﹣【分析】連接AE，則△ABE是等腰三角形，然后利用等量代換即可求出求CD的長連接AE，則△ABE是等腰三角形．【解答】解理由是：在DC上截取DE＝BD，連接【例2如圖，已AP/BCPAB的平分線與CBA的平分線相交ECE的連線DADBCAB先在AB上截取AFADEFAE平分PABSAS即可證得DAEFAE，繼而可證得EFBCAAS證得BEFBECBCBF，繼而證得ADBCAB．AE平分PABDAEFAE，在DAE和FAE中，ADDAEFAEAEDAEFAE(SAS)AFEADEAD//BCADEC180AFEEFB180EFBCBE平分ABCEBFEBC，在BEF和BEC中，EFBEBFEBCBEBEFBEC(AAS)BCBFADBCAFBFAB于點D，若AD＝4，BC＝6，則AB的長為 ∵AE平分，∴△DAE≌△AE（SAS，∵BE平分，∴△BEF≌△BEC（AAS，故答案為【分析】（1）由AD為∠BAC的角平分線，得到∠EAD＝∠CAD，通過△AED≌△ACD，得到ED＝CD，∠AED＝∠ACD＝90°，由于∠ACB＝90°，∠ACB＝2∠B，得到∠B＝45°，∠BDE＝45°，2AB上截AE＝AC，連EDAD為∠BAC的角平分線時，得∠CAD，通過△AED≌△ACD得到∠AED＝∠C，ED＝CD，由已知得到∠B＝∠EDB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB＝ED，即可得解；3，在BA的延長線上截取AE＝AC，連EDAD為∠BAC的角平分線時，得∠BAD＝∠CAD，通過△AED≌△ACD得到∠AED＝∠C，ED＝CD，由已知得到∠B＝∠EDB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB＝ED，即可得解．【解答】證明：（1）AD為∠BAC的角平分，∴△AED≌△ACD（SAS，在△AED與△ACD中，∴△AED≌△ACD（SAS，（3）猜想證明：如圖，在BA的延長線上截取AE＝AC，連接∵AD平分在△AED與△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SAS，又又探討段AB、BD、CD、AC四條線段中，某兩條或某三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系．在△ADB和△ADH中，，∴△ADB≌△ADH（SAS，在△ADB和△ADG中，，∴△ADB≌△ADG（SAS，\\PAGE10\\PAGE112】【問題情徐老師給學(xué)習(xí)的和提出這樣一個問題ACAE＝ABDE．（2）…的證明思路是：延長CB至點E，使BE＝AB，連接AE．可以證得：AE＝DE（請你任意選擇一種思路繼續(xù)完成下一步的證明【變式探究 成立嗎？若成立，請證明；若不成立，寫出你的正確結(jié)論，并說明理由∠EAD．在△ABD，∴△ABD≌△AED（SAS，的證明思路是：如圖3，延長CB至點E，使BE＝AB，連接∴△AEC是等腰三角形∵AD是∠BAC的平分線【變式探究AB+BD＝ACAB+BD＝CD…（5分）理由：如圖4，在CD上截取DE＝DB，連結(jié)AE，∴AD是BE的中垂線AB+BD＝CD；\\PAGE14\\PAGE15⑵如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上∠BAD（1）寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】證明：（1）1，延長EBG，使BG=DF，連接∵在△ABG與△ADF中 ∴△AB≌△ADF（SAS．（12CBM，使在△ABM與△ADF中，∴△ABM≌△AD（SAS．∵∠EAF=∴∠2+∠4=∴∠3+∠4=∠EAF，∠MAE=∠EAF．在△AME與△AFE，∴△AME≌△AFE（AS．∴EF=ME，即②若E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且2∠EAF＝∠BAD，①中的結(jié)論是否仍然成立？【解答】解：（1）ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG∵四邊形ABCD是正方形∴∠BAD＝90°，即∴△EAG≌△EAF（SAS，故圖中全等的三角形有（2）①如圖2，將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合∴△AE