經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用

第7節(jié)多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用5、

對于實(shí)際問題中的最值，若從問題本身能斷定它的最大值或最小值一定存在，且在定義區(qū)域的內(nèi)部取得，且若可微函數(shù)在定義域內(nèi)有惟一的駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)的函數(shù)值就是函數(shù)的最大值或最小值．在實(shí)際問題中，若（1）最值存在，（2）駐點(diǎn)唯一，若（1）最值存在，（2）極值唯一，則該極值必為最值.則該駐點(diǎn)必為最值點(diǎn).

對自變量除了限制在定義域內(nèi)取值外，

對自變量除了限制在定義域內(nèi)取值外，并無其他附加條件.無條件極值：條件極值：還有其它的附加條件的極值．(實(shí)際問題)(極值)具有某種約束條件的極值問題稱為條件極值．條件極值無條件極值求函數(shù)極小值.求函數(shù)在條件下的極小值.xyzxyz極小值點(diǎn)為曲面上的最低點(diǎn)(0,0),極小值點(diǎn)為曲線極小值為z=0.上的最低點(diǎn)(1,0),極小值為z=1.方法1：(降元法)使之成為一元函數(shù)的無條件極值問題.

但在很多情況下,這種轉(zhuǎn)化是困難的,有時甚至是不可能的.因此,利用方法1去求條件極值往往較難實(shí)施.為此，介紹一種求條件極值的方法

在約束條件下,求函數(shù)的極值從中解出y,(拉格朗日乘數(shù)法)方法2：代入函數(shù)拉格朗日乘數(shù)法

求函數(shù)在滿足約束條件下的條件極值.問題：可轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)(其中為某一常數(shù),稱為拉格朗日乘子)的無條件極值問題.事實(shí)上,的極值.條件極值問題,

求函數(shù)在滿足約束條件下的條件極值問題,可轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)這樣,

的無條件極值問題.這種方法稱拉格朗日乘數(shù)法.

拉格朗日乘數(shù)法的具體步驟:（1）構(gòu)造拉格朗日輔助函數(shù)（2）解方程組（3）判別是否為極值

求函數(shù)在滿足約束條件下的條件極值.問題：(實(shí)際問題)

由于條件極值幾乎都是實(shí)際問題，而實(shí)際問題又是以求函數(shù)最值為宗旨，實(shí)際問題中的最值問題實(shí)質(zhì)上也是一個極值問題。

拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取得極值的必要條件，因此，按照這種方法所求的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，還需要討論。不過在實(shí)際問題中，往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。例

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有個Cobb-Douglass生產(chǎn)函數(shù)模型現(xiàn)在已知某制造商的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)為每個勞動力與每單位資本的成本分別是150元及250元.該制造商的總預(yù)算是50000元.問他該如何分配這筆錢用于雇用勞動力與資本,以使生產(chǎn)量最高.

即該制造商應(yīng)該雇用250個勞動力而把其余的作為資本投入，這時可獲得最大產(chǎn)量，解這是一個條件極值問題。求函數(shù)在條件令由方程組方程(2)除以方程(1)得將此結(jié)果代入方程組的方程(3)中，得解在條件

例

要用鋼板制作一個容積為的無蓋長方體的容器，若不計鋼板的厚度，怎樣制作材料最省?

設(shè)容器的長為x，寬為y

，高為z，于是,求偏導(dǎo)數(shù)求駐點(diǎn)得于是駐點(diǎn)唯一，所以當(dāng)長方體容器的長與寬為高取時，解1

且所需的材料最省．xy

z容器所需鋼板的面積為解2

設(shè)拉格