高中數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí) 2023屆高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)學(xué)案不等式=5

代數(shù)換元戲稱大叔換元。我們已介紹了有些三角幾何不等式，可以采用拉維換元和三角換元處理。還可以采用代數(shù)換元使之更簡單、更方便?！驹囶}13】設(shè)為正實(shí)數(shù)，證明：【解析】消除平方根，可采用下列換元令：，，=1\*GB3①很明顯，于是待證式變?yōu)椋?2\*GB3②由=1\*GB3①可得：，，=3\*GB3③將=3\*GB3③式相乘得：即：=4\*GB3④由不等式得：即：=5\*GB3⑤由于，=5\*GB3⑤式在的條件下成立。即：成立。證畢。（注：這個證法不符合我們的習(xí)慣。）【試題14】設(shè)是正數(shù)，且.證明：【解析】采用代數(shù)換元：，，，則不等式變換為：=1\*GB3①采用柯西-蘇瓦茨不等式得：即：=2\*GB3②采用不等式得：=3\*GB3③由=2\*GB3②=3\*GB3③得：.證畢?！颈绢}變形】設(shè)是正數(shù)，且，證明：【解析】采用代數(shù)換元：，，，則：不等式變形為：=1\*GB3①或：=2\*GB3②或：=3\*GB3③采用不等式得：同理：，三項相加得：=3\*GB3③式得證。證畢?，F(xiàn)在，我們采用變量方法證明經(jīng)典定理。定理：對所有正實(shí)數(shù)，恒有：成立.此式稱為內(nèi)斯比特不等式。證明一：作換元：，，，于是：，，則為：=1\*GB3①即：即：=2\*GB3②由不等式得：.證畢。證明二：作換元：，，則式變換為：=1\*GB3①由于：即：=2\*GB3②故構(gòu)建函數(shù)：，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，且為向上凸函數(shù)。=2\*GB3②式可以表達(dá)成：=3\*GB3③由琴生不等式得：函數(shù)的均值不大于均值的函數(shù)。即：，即：=4\*GB3④則由：得：=5\*GB3⑤既然在區(qū)間單調(diào)遞增，且則：，即：正就是=1\*GB3①式，即式成立。證畢。證明三：向前面一樣，作換元：，上式實(shí)際上就是上題=3\*GB3③式。變換為：化簡為：=6\*GB3⑥由不等式得：=7\*GB3⑦及：即：故：=8\*GB3⑧將=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧代入=6\*GB3⑥得：，即：=9\*GB3⑨由=9\*GB3⑨是可知：當(dāng)時，，故必有因子。則：代入=9\*GB3⑨式得：=10\*GB3⑩因?yàn)?，所以?10\*GB3⑩式得：，即：即：，故：.證畢?！尽吭O(shè)是正數(shù)，且，證明：=1\*GB3①這正是在《拉維換元》中的【試題1】?！咀C明】既然，不失一般性，假設(shè)，則下式：由于：，，，所以：.證畢?！鞠乱粋€方案】如解法一，作代換：，，，且將=1\*GB3①改寫為：=2\*GB3②不是一般性，假設(shè)：，設(shè)，，則直接導(dǎo)出：=3\*GB3③既然，代入=3\*GB3③式可得結(jié)果?！驹傧乱粋€方案】由條件，直接導(dǎo)出等式：，，=4\*GB3④特別是：，，，如果有一個為負(fù)數(shù)，則：.如果，則由不等式得：；；所以：，即：；，即：；，即：則：=5\*GB3⑤既然，則=5\*GB3⑤式即=1\*GB3①式，命題得證。證畢?！驹囶}15】設(shè)是正實(shí)數(shù)，且滿足，證明:=1\*GB3①【解析】將=1\*GB3①式變形為：=2\*GB3②設(shè)：，，，則于是變形為：=3\*GB3③則=2\*GB3②式變形為：=4\*GB3④采用三角換元：，，則，即，且不等式=4\*GB3④式變?yōu)椋?5\*GB3⑤即：則：即：=6\*GB3⑥=6\*GB3⑥式就是本題需要證明的不等式。注意到：，而，于是：于是：=7\*GB3⑦這樣，記，，則=8\*GB3⑧=7\*GB3⑦式右邊就是：=9\*GB3⑨代入=7\*GB3⑦式得：.而這就證明了=6\*GB3⑥式。證畢。我們換一種方法來證明【試題10】?！驹囶}10】設(shè)為正實(shí)數(shù)，且滿足：試證：【解析】我們需要證明不等式：作換元：，，,則：，，,約束條件變?yōu)椋憾C不等式寫成：或：即：=10\*GB3⑩應(yīng)用不等式得：于是=10\*GB3⑩式得證?！驹囶}16】對，且=1\*GB3①證明：=2\*GB3②【解析】采用代數(shù)換元法，令：，，則：，，代入條件=1\*GB3①式得：即：=3\*GB3③由：及：得：即：即：即：=4\*GB3④不等式=2\*GB3②式變?yōu)椋?5\*GB3⑤兩邊平方得：即：=6\*GB3⑥設(shè)：，，，代入=6\*GB3⑥式得：=7\*GB3⑦代入條件=4\*GB3④式得：=8\*GB3⑧由三角恒等式：可以聯(lián)想到=8\*GB3⑧式換元。設(shè)：，，，則，且代入待證不等式=7\*GB3⑦式得：=9\*GB3⑨由于在是向上凸函數(shù)，根據(jù)琴生不等式：對向上凸函數(shù)，函數(shù)的均值不大于均值的函數(shù)值。即：即：.證畢?！驹囶}17】證明：對所有，恒有：=1\*GB3①【注】本題原著解析有誤，此處就不細(xì)講了。作代數(shù)換元：，，則代入=1\*GB3①式，將的分子分母同除以，將的分子分母同除以，將，得：，去分母后化簡，然后用均值定理處理?！驹囶}18】設(shè)為任意實(shí)數(shù)，證明不等式：=1\*GB3①【解析一】考慮為非負(fù)數(shù)情況，設(shè)，則換元：，（）則：，不等式=1\*GB3①變?yōu)椋?2\*GB3②既然有：，對所有，則左邊的上限：=3\*GB3③我們采用柯西-蘇瓦茨不等式給出=3\*GB3③式上限的表達(dá)項=4\*GB3④上式也可采用均值定理的來表述：即：即：=5\*GB3⑤=5\*GB3⑤式其實(shí)就是=4\*GB3④式。既然，，則，代入=4\*GB3④式得：即：=2\*GB3②式得證。證畢?！窘馕龆靠紤]為非負(fù)數(shù)情況，設(shè)，則換元：，，，（）易得：，既然，則待證不等式變?yōu)椋?6\*GB3⑥既然，則：既然，由